2022年高一数学必修函数的基本性质.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学必修 1 函数的基本性质1奇偶性（1）定义：假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 f x= fx,就称 fx为奇函数.假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 f x=fx,就称 f x为偶函数.假如函数fx 不具有上述性质,就f x不具有奇偶性.假如函数同时具有上述两条性质,就fx既是奇函数, 又是偶函数.留意： 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质. 2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,就 x 也肯定是定义域内的

2、一个自变量（即定义域关于原点对称）.（ 2）利用定义判定函数奇偶性的格式步骤： 1第一确定函数的定义域,并判定其定义域是否关于原点对称. 2确定 f x与 f x的关系. 3作出相应结论：如 f x = fx 或 f xf x = 0 ,就 f x是偶函数. 如 f x = fx 或 f x fx = 0 ,就 f x是奇函数.（ 3）简洁性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 fx, g x 的定义域分别是D1, D2 ,那么在它们的公共定义域上：可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇+奇=奇,奇奇=偶,偶 +偶=偶,偶偶=偶 2单调性（ 1）定义：一般的,设函数y=fx 的定义域为I, 假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1, x2,当 x1x2 时,都有fx1 fx2）,那么就说fx在区间 D 上是增函数（减函数） .留意： 1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质. 2必需是对于区间D 内的任意两个自变量x1, x2.当 x1x2 时,总有fx1 fx2（ 2）假如函数y=f x在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有（严格的） 单调性,区间D 叫做 y=fx的单

4、调区间.（ 3）设复合函数y= fg x ,其中 u=g x , A 是 y= fg x定义域的某个区间,B 是映射 g : x u=gx 的象集：如 u=gx 在 A 上是增（或减）函数,y= f u在 B 上也是增（或减）函数,就函数y= fg x 在 A 上是增函数.如 u=g x在 A 上是增（或减）函数,而y= fu 在 B 上是减（或增）函数,就函数y= fg x 在 A 上是减函数.（ 4）判定函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 1任取 x1, x2 D,且 x1x2. 2作差 fx1 fx2. 3变形（通常是因式分解和配方）. 4定号

5、（即判定差fx1f x2的正负）. 5下结论（即指出函数fx在给定的区间D 上的单调性） .（5）简洁性质奇函数在其对称区间上的单调性相同.偶函数在其对称区间上的单调性相反.在公共定义域内：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增函数f x增函数g x 是增函数.减函数f x减函数g x是减函数.增函数f x减函数g x 是增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

6、_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数.减函数f x增函数g x 是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3最值（1）定义：最大值：一般的,设函数y=fx的定义域为I ,假如存在实数M 满意：对于任意的x I ,都有 fx M .存在 x0 I ,使得 fx0 = M .那么,称M 是函数 y=fx的最大值.最小值：一般的,设函数y=fx的定义域为I ,假如存在实数M 满意：对于任意的x I ,都有 fx M .存在 x0 I ,使得 fx0 = M .那么,称M 是函数 y=fx的最大

7、值.留意： 1函数最大（小）第一应当是某一个函数值,即存在x0 I ,使得 f x0 = M . 2函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的,即对于任意的x I ,都有 f x M （ fxM ）.（2）利用函数单调性的判定函数的最大（小）值的方法： 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值. 2利用图象求函数的最大（小）值. 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a,b上单调递增,在区间b, c 上单调递减就函数y=f x在 x=b 处有最大值f b.假如函数y=fx在区间 a,b上单调递减,在区间b, c 上单调递增就函数y=f x在 x=b 处有

8、最小值f b.4周期性（1）定义：假如存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有 fx+T = f x,就称 fx为周期函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）性质： fx+T = fx经常写作Tf x2f xT , 如 fx 的周期中, 存在一个最小的正数,就称它为fx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最小正周期.如周期函数fx的周期为T,就 f x（ 0）是周期函数,且周期为T.|四典例解析4x【奇偶性典型例题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1以下五个函数： （ 1） y1 x x0 .（ 2） yx1 .（ 3）y

9、2.（ 4） ylog 2 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） ylog 2 xx21 ,其中奇函数是,偶函数是 ,非奇非偶函数是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：判定函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,如函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必需是等价变换过程（要保证定义域不变）.题型二：奇偶性的应用例 2设 f（x）是定义在R 上的奇函数,如当x 0 时, f（ x） =lo g3（ 1+x）,就 f（ 2） = _.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知f x 奇函数, 当 x

10、 （ 0,1）时,f xlg,那么当 x （ 1,0）时, f11xx 的表达式是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4如奇函数f x 是定义在（1 ,1）上的增函数,试求a 的范畴：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f a2f a240 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知得f a2f a24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 fx 是奇函数,故f a24f 4a2 ,于是f a2f 4a2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f x 是定义在（1, 1）上的增

11、函数,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a241aa3a22211a33a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a2415a3或3a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即不等式的解集是3,2【单调性典型例题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1

12、1 设函数 f x2a1xb是R上的减函数, 就 a 的范畴为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A a121B a2C a11D a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 函数yx2bxc x0, 是单调函数的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A b0B b0C b0D b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 已知f x 在区间 , 上是减函数,a, bR 且 ab0 ,就以下表达

13、正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A f af b faf bB fa f bf af b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C fa f b faf bD fa f bf af b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示： ab0 可转化为 ab 和 ba 在利用函数单调性可得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 如右图是定义在闭区间上的函数yf x 的图象 , 该函数的单调增区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间为例 2画出以下函数图象并写出函数的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）

14、yx22|x |1（2） y|x22x3|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3依据函数单调性的定义,证明函数在上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4.设f x 是定义在R 上的函数, 对 m 、nR 恒有f mnf mf n ,且当 x0 时, 0f x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求证：f 01 .（ 2）证明： xR 时恒有f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求证：f x 在 R 上是减函数.（ 4）如f xf 2x1,求 x 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解

15、： 1 取 m=0 , n=1 就f 1011,由于0所以f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f f 0f 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 x0 就x0由条件可知f xo可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于 1（ 3）设 x1f 0x2 就f xxf xf x0 ,所以f x0 xR 时,恒有f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 f x2 f x1 f x2x1x1= f x1 f x2x1 fx1= f x1 1f x2x1 可编辑资料 - - -

16、欢迎下载精品_精品资料_由于 x1x2 所以 x2x10 所以f x2x1 1 即 1f x2x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于f x1 0 ,所以f x1 1f x2x10所以 f x1 f x2 0 ,即该函数在R 上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 由于f xf 2x1 ,所以f xf 2xf 2 xx 2f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 2xx20 ,所以x的范畴为 x2或 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：（复合函数单调性）1.函数yx22x3 的增区间是（） .可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3,1B 1,1C,3D1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.函数 yx 22x的单调递增区间为（）80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ,8B ,1C 1,D 8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题型五：周期问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例

18、6已知函数yf x 是定义在 R 上的周期函数,周期T5 ,函数yf x1x1 是奇函数 又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知 yf x 在 0,1 上是一次函数,在1, 4 上是二次函数,且在x2 时函数取得最小值5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：f 1f 40 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 yfx, x1,4的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 yf x 在 4,9 上的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：f x 是以 5 为周期

19、的周期函数,f 4f 45f 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 yf x1x1 是奇函数,f 1f 1f 4 ,f 1f 40 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1,4 时,由题意可设f xax225 a0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f 1f 40 得 a1225a42250 , a2 ,f x2 x2251x4) .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

20、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfx1x1 是奇函数,f 00 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又知 yf x 在 0,1 上是一次函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可设f xkx0x1 ,而f 1212253 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k3 ,当 0x1 时,f x3x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而当1x0 时,f xf x3 x ,故1x1 时,f x3x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

21、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 4x6 时,有1x51 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xf x53 x5) 3 x15 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 6x9 时, 1x54 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xf x52x52252 x7 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x3x15,4x62.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x75,6x9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载