2022年高一数学必修一函数讲义.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -其次章、函数第一节、函数一、函数1、函数的定义： 设集合 A 是一个非空的数集,对A 中的任意数x,依据确定的法就f ,都有唯独确定的数y 与它对应,这种对应关系叫做集合A 上的一个函数,记作yfx, xA .其中, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做自变量, 自变量的取值范畴叫做函数的定义域.全部函数值构成的集合,即y yfx, xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做这个函数的值域.2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系,需检验：（ 1）定义域和对应法就是否给出

2、.（ 2）依据给出的对应法就,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯独的函数值y.例 1、以下图形中,能表示y 是 x 的函数的是（）yyyyxxooxooxABCD例 2、以下等式中,能表示y 是 x 的函数的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. yxB.y2x1C.y1x2D.y1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、如何判定函数的定义域：（ 1）分式的分母不能为零.（2）开偶次方根的被开方数要不小于零.（3）多个函数经过四就运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）函数x0 中

3、x 不为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、求以下函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）f x32 x .（ 2）32 xf x2x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）f x x2

4、40 .（4）f xx241x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、求以下函数值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）f x2x1, x1,2,3,4（ 2）f xx22x1, x0,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）f x1 , x x1,（ 4）f x2 x1 , x1,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、函数的 3 要素： 定义域、值域和对应法就.判定两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同.注：在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就商定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数

5、的全体构成的集合.例 5、以下各对函数中,是相同函数的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. f xx2 , g xxB.f x2x, g xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. f xx2 , g xxD.f x2x, g xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、区间： 设 a, bR,且 a b,满意 ax b 的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作a,b. 满意 ax b 的全体实数x 的集合,叫做开区间,记作a,b .满意 a x b 或 a x b 的全体实数x 的集合,都叫做半开半

6、闭区间, 分别记作 a,b 或 a,b .分别满意x a,x a,x a,x a 的全体实数的集合分别记作a, , a, , ,a , ,a .6、映射： 设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射其中 x 叫做原象, y 叫做象.注：映射可以是多对一,不行以一对多.即A 中元素不行剩余,B 中元素可以剩余.特殊的,集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射,叫做一一映射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、_精品资料_7、映射个数的确定： 如集合 A 有 m个元素,集合B 中有 n 个元素,就A 到 B 的映射有n m 个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、已知集合A 1,2,3, B a ,b.问：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 到的不同映射：A(2) 到的不同映射：BB 有多少个？A 有多少个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2

8、 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8、映射与函数的关系： 函数是特殊的映射.9、复合函数：二、函数的表示方法1、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系.2、图像法： 用图像表示函数关系.3、解析法（公式法） ：用代数式表示函数关系.三、分段函数在函数的定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应法就,这样的函数叫做分段函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知函数f x| x |x122x 2可编辑

9、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）用分段函数的形式表示该函数.（ 2）画出该函数的图像.（ 3）写出该函数的值域.四、函数的单调性1、增函数和减函数的定义： 设函数 yf x 的定义域为I ,假如对于定义域I 内的某个区间D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内的任意两个自变量x1 , x2 ,当x1x2 时,都有f x1f x2 ,那么就说f x在区间 D 上是增函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数. 区间 D 称为 yf x 的单调增区间. 假如对于区间D 上的任意两个自变量的值x1 , x2 ,当

10、x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,都有f x1f x2 ,那么就说f x 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 yf x 的单调减区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间.2、图像特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -增函数：自左向右图象是上升的减函数

11、：自左向右图象是下降的3、函数单调性的判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）定义法：任取x1 , x2D ,且x1x2 ,判定yfx2fx1的符号, 如y 0, fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 D 上单调递增,如y 0, fx在 D 上单调递减.（2）图像法： 依据图像直观的判定函数的单调性.（3）直接法： 依据一些特殊函数的性质,直接得出函数的单调性,如一次函数中的k 0, 直接得出函数为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）结论： f x与- f x具有相反的单调性.f x 与f xc （c 为常数）具有相同可编辑资料

12、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的单调性. a 0 时,af x 与f x具有相同的单调性,a 0 时,af x 与f x 具有相反的单调可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性.如f x0 ,就1与f x 具有相反的单调性.f x0 时,f x 与f x 具有相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的单调性.如f x 与g x 具有相同的单调性,就f xg x 与f x 和g x 都具有相同的单调可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_性.例 8、争论以下函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） yx3（2） y| x |1（3） y1 x0x（ 4）y x22 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、证明函数f xx1 在 0,1x上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、求函数f xx1 在区间x 0,2 上的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、复合函数单调性判定：同增异减可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品_精品资料_例 11、判定函数y2 x24 在（ -2, +）上的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、函数的奇偶性1、奇函数、偶函数的定义： 一般的,对于函数f x 的定义域 D 内的任意一个x ,都有xD ,可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 f xf x,那么f x 就叫做奇函数,f xf x ,那么f x 就叫做偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12、判定奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）f xx21（ 2）f xx3x（ 3）f xx（4）f xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13、判定函数f x0, x0的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22, x02、图像特点：（ 1）奇

16、函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）奇函数3、函数奇偶性的判定：yf x 的定义域为D,如 0D ,就f 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）依据定义：第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称,假如不关于原点对称,就函数没有奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如定义域关于原定对称,再确定f x 与f x 的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最终作出相应结论： 如 f xf x 或f xf x0 , 就f

17、 x 是奇函数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f xf x 或f xf x0 ,就f x 是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）依据图像：如函数的图象关于原点对称,就函数为奇函数.如函数的图象关于y 轴对称,就函数为偶函数.（ 3）依据性质：奇函数+奇函数 =奇函数.偶函数 +偶函数 =偶函数.奇函数奇函数偶函数.偶函数偶函数偶函数.奇函数偶函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4 ） 函 数 的 分 拆 ： 任 何 一 个 函 数f x都 可 以 拆 分 成 一 个 奇

18、 函 数 和 一 个 偶 函 数 的 和 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xF xG x, 其中F xf xf 2x （偶函数）, G xf xf 2x（奇函数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_4、复合函数 yfg x的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数f x, gx, fg x的定义域都是关于原点对称的,那么由 ug x, yf u的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到 yfgx的奇偶性的规律是:函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ug x奇函数奇函数偶函数偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

20、品_精品资料_yf u 奇函数偶函数奇函数偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yfg x奇函数偶函数偶函数偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即当且仅当ug x 和 yf u 都是奇函数时 ,复合函数yfg x是奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、利用奇偶性求函数解析式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14、如函数f x 是定义在R 上的偶函数, 当 x0 时, f xx22x ,求当 x0时,函数f x可编辑资料 -

21、 - - 欢迎下载精品_精品资料_的解析式.6、函数奇偶性与单调性综合应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15、函数f x 是定义在R 上的奇函数, 在 0, 上是增函数, 且f 10 ,就满意f x0 成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_立的 x 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16、定义在 2,2 上的偶函数g x,当 x0 时, g x 为减函数,如g 1mg m 成立,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 的取值范畴.其次节、一次函数和二次函数一、一次函数的性质与图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精

22、品_精品资料_1、一次函数的概念： 函数 ykxb k0 叫做一次函数,定义域和值域都为R,它的图像是直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线,其中 k 叫做该直线的斜率,b 叫做该直线在y 轴上的截距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、一次函数的性质与图像：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一次函数ykxbk

23、0图像yb0Ox性质单调性奇偶性增函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k0yyb0OxOx增函数非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yb0Oxk0yyb0OxOx减函数奇函数减函数非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、已知函数y2m1 x13m, m 为何值时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）这个函数为正比例函数.（ 2）这个函数为一次函数.（ 3）函数值y 随 x 的增大而减小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）这个函数的图

24、像与直线yx1 的交点在 x 轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、假如一次函数ykxb k0 的图像经过一、三、四象限,那么（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 k0,b0B 、 k0, b0C 、 k0,b0D 、 k0,b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、直线 ykxb 过点 2 ,22 和 0,22 ,求直线ykxb 与坐标轴围成三角形的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_二、二次函数的性质与图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、二次函数的概念： 形如 yax2bxca0 的函数叫做二次函数其定义域是R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、二次函数的解析式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式：f xax2b

26、xca0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点式：f xaxh2ka0 , h, k 是二次函数的顶点坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两根式：f xa xx1 xx2 a0 ,x1 , x2 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、二次函数的性质与图像二次函数yax2bxca0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a0图像定义域R可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_2值域 对称轴顶点坐标y 4acb,24 ayxb2ab4acb 2,2a4 a, 4acb 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性b0yax2bxca0是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性x,xb 2 abb 是减函数,2a, 是增函数4acb2x,xb 2 abb 是增函数,2a, 是减函数4acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最值x时, ymin2a4ax时,2aymax4a可编辑资料 - - -

28、欢迎下载精品_精品资料_例 4、设 abc 0,二次函数f x ax2 bx c 的图象可能是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：（ 1） ax2 bx c0 恒成立的充要条件是a0. 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） ax2b

29、xc0 恒成立的充要条件是a0. 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5、设f xx22ax2 ,当 x1, 时,f xa 恒成立,求a 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、待定系数法一般的,在求一个函数时,假如知道这个函数的一般式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再依据题设条件求出这些待定的系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、已知一次函数的图像经过5,2 和 3,4 ,求这个函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

30、- - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知二次函数yf x 的图像过A0,5, B 5,0 两点,它的对称轴为直线x2 ,求这个二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三节、函数与方程一、函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、函数零点的概念：对于函

31、数yf x xD) ,把使f x0 成立的实数x 叫做函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x xD) 的零点.即函数f x 的图像与 x 轴交点的横坐标叫这个函数的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、以下函数中没有零点的是（）212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. f xxB. fxxC. f xxD. f xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、零点存在定理：假如函数yf x 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f af b 0 ,那么函数yf x 在区间a ,b 内至少有一个零点.既存在x0 a, b ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx00 ,这个 x0 就是方程的根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、如方程2ax2x10 在 0,1内恰有一解,就a 的取值范畴是（）可编辑资