2022年高三数学一轮复习知识点归纳与总结椭圆.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第五节椭圆 备考方向要明白考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁性质2.明白圆锥曲线的简洁应用3.懂得数形结合的思想.1.椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考的重点考查内容, 三种题型均有可能显现,如2022 年山东 T10 等2.直线与椭圆位置关系问题始终是高考的重点,多以解答题形式考查,难度相对较大,如2022 年陕西 T19 等.归纳 学问整合 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 椭圆的定义1满意以下条件的点

2、的轨迹是椭圆在平面内.与两个定点F1、F 2 的距离之和等于常数.常数大于 |F1F2|.2焦点：两定点3焦距：两焦点间的距离探究 1.在椭圆的定义中,如2a |F 1F 2|或 2a|F1F2|,就动点的轨迹如何？提示： 当 2a |F1F 2|时动点的轨迹是线段F1F2.当2ab0y2x2 a2 b2 1ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质范畴 a x a b y b bx b ay a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - -

3、- - - - - -第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心： 0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 a,0, A2a,0顶点B10, b, B20, bA10, a, A20 ,a B1 b,0, B2 b,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长轴 A1A2 的长为 2a轴短轴 B1B2 的长为 2b焦距|F 1F 2| 2

4、c离心率e c,e 0,1aa, b, c 的关系c 2 a2 b2探究 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示： 离心率ec越接近a1, a 与 c 就越接近,从而ba2 c2就越小,椭圆就越扁可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平.同理离心率越接近0,椭圆就越接近于圆自测 牛刀小试 x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1椭圆1A. 3C. 3 3 1 的离心率为 168B.12D. 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.解析： 选 D a2 16,b2 8, c2 8, e c

5、2a222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 F 1, F2 是椭圆 x y169 1 的两焦点,过点F 2 的直线交椭圆于A,B 两点,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AF 1B 中,如有两边之和是10,就第三边的长度为 A 6B 5C4D 3解析： 选 A依据椭圆定义,知AF1B 的周长为 4a 16,故所求的第三边的长度为1610 6.3椭圆 x2 my2 1 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,就m 的值为 11A. 4B.2C2D 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 A由题意知a21, b2 1,且 a 2b,就 1

6、 4,得 m 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如椭圆xy2216m2 1 过点 2,3,就其焦距为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 23B 25C43D 45解析： 选 C把点 2,3的坐标代入椭圆方程得m2 4

7、,所以 c2 16 4 12,所以c23,故焦距为2c 43.x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5设 F 1、F2 分别是椭圆 1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的 中2516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点, |OM |3,就 P 点到椭圆左焦点的距离为 2解析： 由题意知 |OM | 1|PF2 |3,就 |PF2 | 6.故|PF 1|2 5 6 4.答案： 4椭圆的定义、标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆2x y2 1 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且3可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的另外一个焦点在BC 边上,就 ABC 是周长是 A 23B 6C43D 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022山东高考 已知椭圆C： a2 b2 1ab0的离心率为2 .双曲线 x y 1 的渐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,就椭圆 C 的方程为2222xyxyA. 8 2 1B.12 6 1x2y2x2y2C.16 4 1D.20 5 1自主解答 1 依据椭圆定义,ABC 的周长等

9、于椭圆长轴长的2 倍,即 43.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由离心率为3得, a22 4b2,排除选项B,双曲线的渐近线方程为yx,与椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四交点组成的四边形的面积为16 可得在第一象限的交点坐标为2,2,代入选项A 、C、D,知选项 D 正确答案 1C2D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

10、 - - - - -用待定系数法求椭圆方程的一般步骤1作判定：依据条件判定椭圆的焦点在x 轴上,仍是在y 轴上,仍是两个坐标轴都有可能.x2y2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设方程：依据上述判定设方程a2 b2 1ab0或 b2 a2 1 ab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 找关系：依据已知条件,建立关于a、b、c 或 m、n 的方程组.4 得方程：解方程组,将解代入所设方程,即为所求.留意： 用待定系数法求椭圆的方程时,要“ 先定型,再定量” ,不能确定焦点的位置时,可进行分类争论或把椭圆的方程设为mx2 ny21 m0, n0 .可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为3,且椭圆上一点到椭圆2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的两个焦点的距离之和为12,就椭圆 G 的方程为 22解析： 设椭圆方程为x 2 y 2 1ab0,依据椭圆定义2a 12,即 a 6,又 c 3,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab222a2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c33,故 b a c 36 27 9,故所求椭圆方程为36 9 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2答案： x2 y 1可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品_精品资料_369x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知F 1, F2 是椭圆C： a2b2 1 ab0的左、右焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1 PF 2 .如 PF 1F2 的面积为9,就 b .解析： 设椭圆的焦点坐标为 c,0依据椭圆定义和PF 1F2 是一个面积等于9 的直角三角形,|PF1| |PF 2| 2a,有 |PF1| |PF 2| 18,|PF1|2 |PF 2|2 4c2.式两端平方并把、两式代入可得4c2 364a2,即 a2 c2 9,即 b2 9,故 b 3.答案： 3椭圆的几何性质及应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精

13、品_精品资料_例 22022 安徽高考 如图, F 1, F 2 分别是椭圆C：x2y2b2 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ab0 的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF 2 与椭圆 C 的另一个交点, F 1AF 2 60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1求椭圆 C 的离心率.2已知 AF

14、1B 的面积为403,求 a, b 的值.自主解答 1 由题意可知,AF 1F2 为等边三角形,a 2c,所以 e 122法一： a2 4c2, b23c2,直线 AB 的方程可为y3x c将其代入椭圆方程3x2 4y2 12c2,得 B 8c, 33.5 5 c所以 |AB|1 38c 016c.55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 SAF1B |AF| |AB|sin F11635AB a23 2 403,解得 a 10,b 53.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12112 c2 5a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二： 设|AB | t

15、 .由于 |AF 2| a,所以 |BF 2| t a.由椭圆定义 |BF1| |BF 2| 2a 可知, |BF 1|3a t.再由余弦定理3at2 a2 t2 2atcos 60 可得, 8t 5a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 SAF1B1a8323 2 403知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aa2525a 10, b 53.椭圆离心率的求法求椭圆的离心率或范畴 时,一般是依据题设得出一个关于a, b , c 的等式 或不等式 ,利用 a2 b2 c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范畴x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

16、_3椭圆a2 b2 1ab0的两顶点为Aa,0,B0, b,且左焦点为F , FAB 是以角 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为直角的直角三角形,就椭圆的离心率e 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1A.2B.51 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15C.4D.3 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 B依据已知a2 b2 a2 a c 2,即 c2 aca2 0,即 e2 e 1 0,解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 5e,故所求的椭圆的离

17、心率为25 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4椭圆a2 5 1a 为定值,且a5的左焦点为F,直线x m 与椭圆相交于点A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -B, FAB 的周长的最大值是12,就该椭圆的离心率是 解

18、析： 设椭圆右焦点为F ,由图及椭圆定义知,|AF| |AF | |BF| |BF | 2a.又 FAB 的周长为 |AF | |BF | |AB| |AF | |BF | |AF | |BF | 4a,当且仅当AB 过x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右焦点 F 时等号成立,此时4a 12,就 a 3,故椭圆方程为e c 29 5 1, 所以 c 2,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.a3答案： 23直线与椭圆的综合x2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3如图,椭圆C： a2 b2 1a b 0的离心率为2,其左焦点到点可编辑

19、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P2,1的距离为10.不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段AB被直线 OP 平分1求椭圆 C 的方程.2求 ABP 面积取最大值时直线l 的方程自主解答 1 设椭圆左焦点为F c,0,就由题意得2c 2 110,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1解得a ,2c 1,a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所以椭圆方程为x42y 1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 Ax1, y1, Bx2, y2,线段 AB 的中点为M

20、.当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线AB 的方程为x 0,与不过原点的条件不符,舍去故可设直线AB 的方程为y kxmm 0,ykx m,由消去 y,整理得 3x2 4y212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322 8kmx4m2 12 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k x就 64k2m2 43 4k24 m2 12 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精

21、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x1 x2 8km 2,3 4k4m2 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x23 4k2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以线段 AB 的中点 M 4km 2,3m 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4k3 4k13m 2km可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 M 在直线 OP： y2x 上,所以.得 m 0舍去 或 k 3222.3 4k3 4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时方程为3x2 3mxm2 30,就可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_ 312 2m 0,x1 x2 m,m2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 |AB|1 k2x1x23. x392可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |x 12|6 12m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 P 到直线 AB 距离为 d,就|8 2m|2|m 4|d32 2213.设 ABP 的面积为S,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1S 2|AB | d36 m 42 12m2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 m 23, 0 0,23令 um12 m2m42, m

23、23, 23 , u m 4m4 m2 2m 6 4m 4m17m 17所以当且仅当m 17时, um取到最大值故当且仅当m 17时, S 取到最大值综上,所求直线l 方程为 3x 2y 27 2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法x2

24、y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 2022 洛阳模拟 已知椭圆a2 b2 1ab0 的离心率为2 ,短轴的一个端点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M 0,1,直线 l ：y kx 1与椭圆相交于不同的两点A, B.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1如|AB |426,求 k 的值.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求证：不论k 取何值,以AB 为直径的圆恒过点M .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解： 1由题意知 c 2b 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2由 a2 b2 c2

25、 可得 c b 1, a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆的方程为x22 y21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13y kx ,由x2得2k2 1x243kx16 0.9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 1,2 16 2 42k2 1 16 16k2 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 k9设 Ax1, y1, Bx2, x2,9 0 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x x4k, x16,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123

26、 2k2 11x29 2k2 12412 4426可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |AB|1k2|x1 x2|1 k2 x1 x2 2 4x1x2k9k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得 23k4 13k2 100,即 k2 123 k2 10 0, 解得 k1. 2证明： MA x1, y1 1, MB x2, y2 1, MA MB x1x2 y11 y2 1 1 k2x1x24k x1 x2 163 2k 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_392216 1k16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 2k2 116k

27、9 2k2 1 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 0.不论 k 取何值,以AB 为直径的圆恒过点M .1 个规律 椭圆焦点位置与x2、y2 系数之间的关系22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_给出椭圆方程x y 1 时,椭圆的焦点在x 轴上 . mn0.椭圆的焦点在y 轴上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

28、_mn0mn.1 种思想 数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,摸索时也要联想到图形当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系2 种方法 求椭圆标准方程的方法1定义法：依据椭圆定义,确定a2, b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程2待定系数法：依据椭圆焦点是在x 轴仍是y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后依据条件确定关于a、b、c 的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程3 种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧1椭圆上任意一点M 到焦点 F 的全部距离中,长轴端

29、点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为ac,最小距离为a c.2求椭圆离心率e 时,只要求出a, b,c 的一个齐次方程,再结合b2 a2 c2 就可求得 e0e1 3 求椭圆方程时,常用待定系数法,但第一要判定是否为标准方程,判定的依据是：中心是否在原点.对称轴是否为坐标轴.答题模板 直线与圆锥曲线的位置关系典例 2022 北京高考 满分 14 分已知曲线C：5 mx2 m2y2 8m R1如曲线 C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范畴.2设 m 4,曲线 C 与 y 轴的交点为A, B点 A 位于点 B 的上方 ,直线 y kx4 与曲线 C 交于不同的两点M , N,

30、直线 y 1 与直线 BM 交于点 G.求证： A, G, N 三点共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 快速规范审题第1问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 审条件,挖解题信息观看条件： 方程的曲线是焦点在x椭圆的标准方程x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 审结论,明确解题方向轴上的椭圆 2a2

31、1a b0 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看所求结论：求 m 的范畴 需建立关于m 的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 建联系,找解题突破口确定 a2, b22828建立关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆的标准方程a, b 5 mm 2 ,m的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5m0m20,88解不等式组 ,得 m 的取值范畴5 mm 2第2问1 审条件,挖解题信息观看条件 ： m 4.曲线 C 与 y 轴交于 A,B 与直线 y kx 4 交于 M , N.直线 y 1 与可编辑资料 - - - 欢迎下

32、载精品_精品资料_直线 BM 交于 G把 m 4代入曲线 C的方程 曲线并令 x 0,得 A、 B的坐标C 的方程 x2 2y2 8, A0,2, B0, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 审结论,明确解题方向利用斜率转化观看所证结论：证明 A, G,N 三点共线 证明 kAN kAG .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 建联系,找解题突破口联立方程 y kx 4 与 x2 2y2 8利用根与,消元 系数的关系 确定M ,N 的坐标满意的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_写出 BM的写出 kAN ,写出 G 的坐标 证明 kAN kAG 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程并令 y 1kAG 的表达式 精确规范答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1曲线 C 是焦点在x 轴上的椭圆,