2022年高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三角函数恒等变换学问归纳与整理一、基本公式1、必需把握的基本公式（1） ） 两角和与差的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC CS S同名乘积的和与差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ST S CCSTT1TT异名乘积的和与差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 二倍角的三角函数S22S C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22C 2CS22C1212 S差点等于 1可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_T2 T221T（3） ） 半角的三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1C22C1C22T1C21Cs i nT21c o s1c o s s i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、懂得记忆的其他公式（1） ） 积化和差1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC2 C 1C 同名相乘用余弦.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2S SC - CS1S C2SSCSS1 2异名相乘用正弦.留首项,用加法.剩尾项,用减法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 和差化积可编辑资料

3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_C22SS2 S正弦加减得异名. 余弦加减得同名.加法得 2 倍首项.1 / 21减法得 2 倍尾项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -C22SS2 SC22CC2 CS22CC2 S（3） ） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）22TS

4、21T221TC221T2T2T221T2（4） ） 帮助角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a s i nxb c o sx22ab s i nx其中：tanb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常见的几种特殊帮助角公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sinx sinxcos x3 cosx2 sinx42 sinx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3sinxcos x2 sinx6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

5、_s i xns i xnc o xs3 c o sx2 s i nx 42 s i nx 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3s i nxc o xs2 s i nx 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、懂得证明1、两个基本公式的证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ CC CS S 的证明方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在单位圆内利用两点间的距离公式证明.运算纷杂.在化简中留意使用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2“ sincos1 ”可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ CC CS S 的证明方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在单位圆内利用向量的数量积证明.运算简便.运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明.或者：在单位圆内利用三角函数线证明.构图较难. 利用三角函数

7、线的加减、平移来代换.2、由两角和向差的演化方法：用代替,代入两角和的公式即可推导出两角的差公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、由余弦向正弦的演化方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：可推导出正弦的两角的和公式.4、由正弦和余弦推导正切cos 2sin ,绽开即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法：利用： sincos5、由两角和推导二倍角tan 可以推导出正切的两角和与差有的公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法：把换成代入两角和的公式,即可得到二倍角的三角函数公可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_式.6、由余弦的二倍角推导半角方法：由余弦的二倍角公式：C2222CS2C2112 S,把 2换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成,即换成,通过移项,整理,开方即得正弦、余弦的半角公式.然2后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T另外：关于正切的另一个半角公式：2sin1cos1cos sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以通过：tan2sin2cos2来懂得.特殊体会其演化过程中的转化思想：分子、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

9、料_分母同时乘一个式子,向二倍角靠拢；然后再利用二倍角化简.7、由两角的和与差推导积化和差方法：整体摸索法：两角的和与差的和差必定会相互抵清一些项.相加会抵消尾项,相减会抵消首项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这与完全平方的和与差的加减类似.2aba2b会抵消中间项,剩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下首尾项的 2 倍.而 a2ba2b 会抵消首尾项,剩下中间项的2 倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、由两角的和与差推导和差化积方法：对于两角和差的和与差来说,化成积并不难.利用绽开相抵原就即可

10、得到.关键是角度的转换问题.只有一个角无法绽开.因此引入了一个合新3 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的角度变换方法： 把单角：和转换成两角的和与差：,22.于时可以利用和差绽开相抵原就得到和差化积的目的.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、万能公式的懂得方法：利用二倍角公式转换：sin2 sincos22,然

11、后把分母“ 1”奇妙利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用. sin2 sincos221,这种思路在三角函数的转化中应用特别广泛.值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得高度关注.sin2 sincos2212 sin2cos222,然后上下再同时除以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos即得.2sin2cos 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同样利用二倍角公式转化余弦：cos22cos 222sin2cos=2sin2 1可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再奇妙利用“ 1”的转化：cos 2sin2 ,上下同时除以即得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22sin22cos 2cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于正切的万能公式,直接利用二倍角公式即得.10、帮助角公式的懂得方法：帮助角公式实际上是两角和与差的逆运算.只是通过一些转换化成：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sincoscossin的形式而已.对于a sin xb cos x 来说：要通过换元法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_来转换, 这种换元法叫三角换元法 （以前的换元法

13、叫代数换元法） .三角换元法是一种特别奇妙的换元方法,利用它能把两个毫不相干的变量联系起来,从而得到简化式子的作用.分析摸索过程如下：如直接换元：令a ,就怎样用三角函数式表示b 了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无法完成换元过程,因此：a sin xbcosx 化不成sincoscossin的形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式.如提公因式了；假如公因式为ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就得： a sin xb cosxab 1bsin x1 cos x ,此时令acos1,也无法用三角b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_函数表示出1 ,因而化不成：asincoscossin的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以公因式必定与a 、b 同时有联系.考虑到三角函数的产生环境,我们不妨将常数 a 、b 放到直角三角形中来摸索：如a 、b 分别是直角三角形的两直4 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

15、_精品资料_角边,得斜边为：22ab .这个常数22ab 明显与 a 、 b 都有关系.假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如公因式是22ab ,就a sin xb cos x 化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin xb cos x22ab asin x22abbcos x22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时令a22abcos（此时在直角三角形中, a 为邻边,22ab为斜边）可编辑资料

16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以：b22absin（此时在直角三角形中,b 为对边,22ab 为斜边）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 a sin xbcosx 化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin xb cos x22ab cossin xsincos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据两角和的正弦公式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin xb cos x22ab cossin xsin2cos x =a2b sin x可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_在直角三角形中：tanb （对边：邻边）a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当然：如令asin,就b2222ababcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就于是a sin xb cosx 化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin xb cos x2222ab sinsin xcos222cos x =a2b cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以：a sin xb cosxab cosxab cos

18、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时：tana （对边：邻边）b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在此推导过程中,千万留意：两种演化中的是不同的（实质上这两个角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互余）.不然就会产生以下错觉：sin xcosx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如留意到两个角互余,那么就会得到：sin xcosx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面来分析这个结论：右边sinxcosx 2可编辑资料 -

19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx 2cos xcos x 22cos x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由诱导公式得：cos x 2sinx左边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以结论成立.三、实际运用1、给角求值：告知已知角度,求出它的一些倍角、半

20、角等的值.（1）求 sin15 、 cos15 的值方法 1：直接用半角公式可求得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin15 =31cos30122223234242322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_231=231262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos15 =1243cos30122323224242322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_231=231262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224方法 2：由

21、两角的差求得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 15sin4530 sin45cos30cos 45sin 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=232162622222444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得：cos15cos4530 cos 45cos30sin 45sin 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=232162622222444方法 3：用 60与 45的差角求得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 15sin6045 sin60cos45cos 60sin 45可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品_精品资料_=321262622222444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得：cos15cos6045 cos 60cos 45sin 60sin 45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 123226622222444方法 4：利用直角三角形作图运算6 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

23、- - -如图：直角三角形中,30, 90.B延长到 D,使.就易知： 15设 1,就 2,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2+3D1530C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCsin 15DBBC22BCCD1A212318431（2 423）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=122311162231624可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可求得 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos15CD DBCD22BCCD232123238432（2 4323）

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=236622236244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 5：利用诱导公式和倍角公式求解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用诱导公式我们知道：cos150 的值,然后利用倍角公式可求得cos75 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值,再利用诱导公式就可以求出sin15的值. cos150 =3 ,213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos75 sin151cos1502624242362284可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可得：sin150 = 1 ,213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin 75 cos151cos1502624242362284可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

26、载精品_精品资料_（ 2）求sin15+ cos15 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 1：分别求出sin15的值：62和cos15 的值：6244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二者相加得：sin15cos1562644226642可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 2：直接利用帮助角公式运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin15+ cos152 sin1545 362sin60222可编辑资料 - - - 欢迎下载精

27、品_精品资料_方法 3：奇妙利用公式：2sin2cos1 和倍角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin15cos15sin152cos15 12sin15cos151sin 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=112366242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 4：运用向量运算：将sin15+cos15 写成：sin151+ cos151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这 样 可 以 看 成 两 个 向 量 的 数 量 积 . 如 图 ： 在 单 位 圆 内 , 设 向 量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

28、OAcos 15,sin 15 ,向量 OB1,1 .就向量 OA 和 OB 之间的夹角为45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 15=30 | OA |1 , | OB |2 .由向量数量积公式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAOB| OA | OB| cos 30sin151 + cos151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin15cos15| OA | OB| cos30123622可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求 11tan15的值Btan15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：方法 1

29、：直接求 tan15 的值有些困难.（O当然用半角可求） .可考虑能否奇妙转化.考虑到常数“1”的转化. tan45 =1,原式A可化为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan 45tan15tan4515 tan603可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan45 tan151sin15cos15sin15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 2：代入tan15sin15得：原式cos15cos15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos151sin15cos15sin15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos15c

30、os158 / 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos15 cos151sin 15sin 1513cos15 cos1532sin152sin1512cos1512 cos15sin15 sin 151sin 301sin 30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22231

31、111222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 3：直接代入：6262626262266262622262621tan1562sin 154cos1562462 得：62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan1531tan151可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法 4：代入tan1562sin 154cos1562462 并化简得：62tan1523可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式=11tan15 tan153313123333123312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）求sin15sin 30sin 75 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：方法 1：30是特殊角,关键是求1575的值.如用积化和差来 运算,就有些复杂.可考虑把75转化为15