2022年高一数学必修《概率》公式总结以及例题.docx

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1、精品_精品资料_ 3.概率大事：随机大事（random event）,确定性大事 :必定大事 certainevent和不行能大事 impossibleevent .随机大事的概率 统计定义 ： 一般的,假如随机大事A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我们称大事A 发生的概率为 P Amn说明 ： 一个随机大事发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重复大事时某个大事是否发生, 具有频率的稳固性 ,而频率的稳固性又是必定的, 因此偶然性和必定性对立统一 不行能大事和确定大事可以看成随机大事的极端情形 随机大事的频率是指大事发生的次数和总的试验次数的比值,它

2、具有肯定的稳固性,总在某个常数邻近摇摆,且随着试验次数的不断增多,这个摇摆的幅度越来越小,而这个接近的某个常数,我们称之为概大事发生的概率 概率是有庞大的数据统计后得出的结果,讲的是一种大的整体的趋势,而频率是详细的统计的结果 概率是频率的稳固值,频率是概率的近似值概率必需满意三个基本要求： 对任意的一个随机大事A ,有 0P A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 用 和分别表示必定大事和不可能大事, 就有P1, P0 假如大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A和B互斥,就有 : P ABP AP B古典概率（ Classicalprobabilitymodel

3、 ）： 全部基本领件有限个 每个基本领件发生的可能性都相等满意这两个条件的概率模型成为古典概型假如一次试验的等可能的基本领件的个数为个n ,就每一个基本领件发生的概率都是1 ,假如某个大事A 包含了其中的m 个等可能的基本领件,就大事A 发生的概率为nP Am n几何概型 （ geomegtric probability model）：一般的, 一个几何区域 D 中随机的取一点, 记大事“改点落在其内部的一个区域d 内”为大事 A ,就大事 A 发生的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Ad的侧度D的侧度（ 这里要求 D 的侧度不为 0,其中侧度的意义由 D 确定,一般的

4、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段的侧度为该线段的长度.平面多变形的侧度为该图形的面积.立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点： 基本领件等可性 基本领件无限多颜老师说明： 为了便于讨论互斥大事,我们所讨论的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机的取点,指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其外形无关.互斥大事 exclusive events ：不能同时发生的两个大事称为互斥大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对立大事 （ complementary events）：两个互斥大

5、事中必有一个发生,就称两个大事为对立大事,大事 A 的对立大事 记为： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_独立大事的概率：如A ,B 为相互独立的大事大事,就 P ABP A P B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A1 ,A2, . ,An 为两两独立的大事, 就 PA 1A 2 .A nP A 1P A 2.P A n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_颜老师说明： 如 A ,B 为互斥大事 , 就A , B中最多有一个发生, 可能都不发生,可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但不行能同时发生,从集合的关来看两个大事互斥,即指两个大事的集合的交集是空集 对立大事是指的两个大事,而且必需有一个发生,而互斥大事可能指的许多事 件,但最多只有一个发生,可能都不发生 对立大事肯定是互斥大事 从集合论来看：表示互斥大事和对立大事的集合的交集都是空集,但两个对立大事的并集是全集, 而两个互斥大事的并集不肯定是全集两个对立大事的概率之和肯定是1 ,而两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互 斥 事 件 的 概 率 之 和 小 于 或 者 等 于 1 如 事 件A, B是 互 斥 事 件 , 就 有可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P ABP AP B一 般 的 , 如 果A1,A 2 ,., An两 两 互 斥 , 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A1A2.AnP A1P A2.P AnP A1P A 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本教材中 A1A2.An指的是A1, A 2 ,., An中至少发生一个 在详细做题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中,期望大家肯定要留意书写过程,设处大事来, 利用

8、哪种概型解题, 就依据那种概型的书写格式,最重要的是要设出所求的大事来,详细的格式请参照我们课本上（新课 标试验教科书 - 苏教版）的例题例题选讲：例 1. 在大小相同的 6 个球中, 4 个是红球,如从中任意选2 个,求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？【分析】 题目所给的 6 个球中有 4 个红球, 2 个其它颜色的球,我们可以依据不同的思路有不同的解法解法 1：（互斥大事）设大事A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,就其互斥大事为A意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P A1165152P A1- P A141 - 114

9、1515可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为.15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：（古典概型）由题意知,全部的基本领件有6515 种情形,设大事A 为“选2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 2 个球至少有 1 个是红球” ,而大事 A 所含有的基本领件数有4243142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14所以 P A15答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为14.1542, 24 , 43, 就有P A4224431465656565656515解法 3：（独立大事概率）不

10、妨把其它颜色的球设为白色求,设大事A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,大事 A 有三种可能的情形： 1 红 1 白. 1 白 1 红. 2 红,对应的概率分别为：答：所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为14.15评判： 此题重点考察我们对于概率基本学问的懂得,综合所学的方法, 依据自己的懂得用不同的方法,但是基本的解题步骤不能少.变式训练 1： 在大小相同的 6 个球中, 2 个是红球, 4 个是白球,如从中任意选取3 个,求至少有 1 个是红球的概率？解法 1：（互斥大事）设大事A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,就其互斥大事为A , 意义为“选取 3 个球都是白

11、球”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C43CP A3643652P A1 - P A1 -4654555321321443211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为解法 2：（古典概型）由题意知,全部的基本领件有4.5C6365432120 种情形,设大事A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 “ 选取 3个球 至少有1个是红 球” ,而事 件 A 所 含 有的 基本 大事数 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C22414243216, 所以P

12、A164205可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为4.5243165454321654542316545214165415解法 3：（独立大事概率）设大事A 为“选取 3 个球至少有1 个是红球” ,就大事 A 的情形如下：红 白 白1 红 2 白白 白 红白 红 白可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_红 红 白2 红 1 白红 白 红白 红 红241165415421165415可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以P A313145155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答：所选的 3 个球至少

13、有一个是红球的概率为4.5变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品, 4 只正品,有放回的从中任抽2 次,每次抽取 1 只,试求以下大事的概率：（ 1）第 1 次抽到的是次品（ 2）抽到的 2 次中,正品、次品各一次解： 设大事 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 大事 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P A21, P B634224664（或者 P B924424）66669可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 第 1 次抽到的是次品的概率为14,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为39可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 3： 甲乙两人参与一次考试共有3 道挑选题, 3 道填空题,每人抽一道题,抽到后不放回, 求（ 1）甲抽到挑选题而乙抽到填空题的概率？（ 2）求至少 1 人抽到挑选题的概率？【分析 】（ 1）由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到挑选题而乙抽到填空题是独立的,所以可以用独立大事的概率（2）大事“至少 1 人抽到挑选题”和大事“两人都抽到填空题” 时互斥大事,所以可以用互斥大事的概率来解：设大事 A 为“甲抽到挑选题而乙抽到填空题”,大事 B 为“至少 1 人抽到挑选题” ,就 B为“两人都抽到填空题”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

15、资料_333P1 P1333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 1） P A或者P A33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） P B6510321655或者P BP66P123P52就6510P B1P B11455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 甲抽到挑选题而乙抽到填空题的概率为3 ,少 1 人抽到挑选题的概率为4.105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 4：一只口袋里装有 5 个大小外形相同的球,其中3 个红球, 2 个黄球,从中不放回摸出 2 个球,球两个

16、球颜色不同的概率？【分析 】先后抽出两个球颜色相同要么是1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解 : P A322354543或者 P A63C5525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 5： 设盒子中有6 个球,其中 4 个红球, 2 个白球,每次人抽一个,然后放回,如连续抽两次,就抽到1 个红球 1 个白球的概率是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解 :P A422466664224466669可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 急救飞机向一个边长为1 千米的正方形急救区域空

17、头急救物品,在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品落在水池及距离水池10 米的范畴内时,物品会失效,假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范畴之外的）,求发放急救物品无效的概率？【分析 】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量解： 如图,设急救物品投放的全部可能的区域,即边长为1 千米的正方形为区域D ,大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“发放急救物品无效”为A ,距离水池 10 米范畴为区域d,即为图中的阴影部分,就d测度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 P AD测度可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8050答： 略28010100022501041041000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_颜老师说明： 这种题目要看清题目意思,为了利用几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件,但假如涉及到网格的现象是一 般就不需要这个条件,由于超出一个网格,就会进入另外一个网格,分析是同样的变式训练 1：在的上画一正方形线框,其边长等于一枚2硬币的直径的 2 倍,向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计,求硬币完全落在正方形内的概率？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解：

19、P Ad测度24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D测度424141232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式训练 2：如图, 设有一个正方形网格, 其中每个小正三角形的边长都是a , 现有始终径等于 a 2 的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率？【分析 】由于圆的位置由圆心确定,所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 如图,正三角形 ABC 内有一正三角形A1B1C1,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABa,A 1DB 1EA 1F1 a , AD6BEA

20、1Dtan30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 a ,A61 B1AB2 ADa3 a313aC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当圆心落在三角形A1B1C1之外时,硬币与网格有公共点C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有公共点的概率PS ABC - SS A 1B1C1FA B C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 a2423 13a 2431 1 1A1ADaB1a/6EB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 a 240.82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 硬币落下后与网格有公共点的概率为

21、0.82 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变 式 训 练 3 ： 如 图 , 已 知 矩 形ABCD中 ,AB5 , AC7 ,在正方形内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任取一点 P ,求APB90 的概率？1252255756AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_略解： P A变式训练 4：平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r a 的P硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？解： 设大事 A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置,有硬币的中心向距离最近的

22、平行线作垂线OM ,垂足DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 M , 线段 OM 的长度的取值范畴为0 , a,其长度就是M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几何概型全部的可能性构成的区域D 的几何测度,只有当0OMa 时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满意2a大事 A 的区域 d 的几何测度,所以rP Ar , a 的长度ar0, a 的长度a答： 硬币不与任何一条平行线相碰的概率为ara【评判与链接 】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域D 和区域 d ,懂得它们的关系以及它们的测度如何来刻画.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_蒲丰投

23、针问题： 平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为2a （ a0 ） ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向平面内任意的投掷一枚长为ll2a的针,求针与平行线相交的概率？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以表示针与此直线的交角,如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知 0xa,0,有这两式可以确定x -平面上的一个矩形,这是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为了针与平行线相交,其充要

24、条件为xl Sin 2l,有这个不等式表示的区域A 为图中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_阴影部分,由等可能性知P ASA0 2 SSindl aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 l, a 已知 ,就以值代入上式即可运算P A 的值, 反过来,假如已知P A 的值 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就也可以利用上式来求,而关于 P A 的值,就可以用试验的方法,用频率去近似它,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_既 :如 果

25、投 针 N次 , 其 中 平 行线 相 交 的 次 数 为 n 次 , 就 频 率 为N, 于 是 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Alan于是N,l Na n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注释：这也是历史上出名的问题之一,用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率, 再用频率近似概率来建立等式,进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来运算,如中国的祖冲之父子俩,仍有撒豆试验,也是可以用来求的.会面问题： 甲乙两人商定在 6 时到 7 时在某的会面, 并商定先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率？解： 设“两人能会面”为

26、大事A,以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会的点的时间,就两人能够会面的充可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要条件为：xy15在平面上建立如下列图的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_坐标系,就x, y的全部可能的结果是边长为60 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正方形 ,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由几何概型知, P AS6024527可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AS答： 两人能会面的概率7.1660 216可编辑资料

27、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 课本上一道例题的变式训练：如图,在等腰直角三角形ABC 中,在斜边AB 上任取一点 M ,求 AMAC 的概率？【分析 】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D ,当点 M 位于如图的AC 内时 AMAC ,故线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC 即为区域 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:在 AB 上截取AC AC,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AMAC P AMAC AC

28、AC2ABAB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： AMAC 的概率为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式训练】 如图,在等腰直角三角形ABC 中,在ACB内部任意作一条射线CM ,与线段 AB 交于点 M ,求 AMAC 的概率？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解： 在 AB 上截取AC AC,在ACB内部任意作一条射线CM ,满意条件的 M 看可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作是在线段AC 上任取一点 M ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AMA

29、C P AMAC AC AC2ABAB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】 这种解法看似很有道理, 但认真一看值得深思, 我们再看看题目的条件已经发生了转变, 虽然在线段上取点是等可能的,但过和任取得一点所作的射线是匀称的,所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线,在确定基本领件时肯定要留意观看角度,留意基本领件的等可能性 .正解：在ACB内的射线是匀称分布的, 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的,在 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上截取AC AC,就ACC 67.5,故满意条件的概率为67.5900.75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

30、_精品资料_评判： 这就要求同学们依据不同的问题选取不同的角度,确定区域D 和 d ,求出其测度, 再利用几何概型来求概率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3.利用随机模拟法运算曲线yx 2 , y0,和x2 所围成的图形的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析 】在直角坐标系中作出长方形（yx 2 , y0, y4, x2 所围成的部分,用随机可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）解：（ 1） 利用运算机或者运算器生成两组0 到 1 区间上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的随机数,

31、 a0rand , b0rand可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 进行平移变换：a2a 0, b4b0 ,其中a,b 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_别随机点的横坐标和纵坐标（ 3） 假如作 N 次试验,数处落在阴影部分的点数N 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用几何概型公式运算阴影部分的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SN 1由8N得出S8 N 1N2.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评判： 这是一种用运算机模拟试验的方法,结合几何概型公式来运算如干函数围成的图形面积,其基本原理仍是利用我们教材上介绍的撒豆试验,只是用随机数来代替豆子而已,另外要求我们懂得用试验的频率来近似概率的思想.另外这种题目到我们学习了积分,仍可以有下面的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Sx 2x 3dx22.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_030可编辑资料 - - - 欢迎下载