2022年高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_2.1.1 指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念其次章基本初等函数学问点整理2.1 指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 xna, aR, xR, n1 ,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示.当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示. 0 的 n 次方根是 0.负数a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式,这里n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数

2、.当 n 为偶数时, a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根式的性质： a a .当 n 为奇数时,aa .当 n 为偶数时,a| a |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：mannam a0, m, nN, 且 n1 0 的正分数指数幂等于0正数的负分数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1 m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数幂的意义是： an nn m a0, m, nN, 且 n1 0 的负分数指数幂

3、没有意义留意口诀： 底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa数取倒数,指数取相反数rsr（ 3）分数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ arasar s a0, r , sR a ars a0, r , sR ab ar br a0, b0, rR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.1.2 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义函数yax a0 且 a1 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y

4、ya x图象y10,1ya xy1y0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域Ox（ 0,+ ）Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过定点图象过定点（ 0,1 ）,即当 x=0 时, y=1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数值的变化情形y1x 0, y=1x=0, 0 y1x 0y 1x 0, y=1x=0, 0 y 1x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 变化对图

5、象的影响在第一象限内,a 越大图象越高,越靠近y 轴. 在其次象限内,a 越大图象越低,越靠近x 轴在第一象限内,a 越小图象越高,越靠近y 轴. 在其次象限内,a 越小图象越低,越靠近x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义2.2 对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x如 aN a0,且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b负数和零没有对数对数式与指数

6、式的互化：xlog a NaN a0, a1, N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x（ 2）几个重要的对数恒等式:log a 10 , log a a1 , log a ab 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ,即 log10N .自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）对数的运算性质假如 a0, a1,M0, N0 ,那么M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加法： log a Mlog a Nlog a MN

7、减法： log a Mlog a Nlog aN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘：nlog a Mlog a Mn nRlog a NaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n loga b Mn log baM b0, nR换底公式：log a Nlog b N b log b a0,且b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义函数 ylog axa0 且 a1 叫做对数函数可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1yx1ylog a x0ayx1 y1loga x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象O1, 0x1,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域0,值域R过定点图象过定点1,0,即当 x1时, y0 奇偶性单调性在 0, 上是增函数非奇非偶在0, 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log ax0x1log a x0x1log ax0x1log a x0x1log ax00x1log a x00x1函数值的

9、变化情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 变化对 图象的影响6 反函数的概念在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近x 轴在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近y 轴在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数yf x 的定义域为A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子 x y假如对于 y 在 C 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的任何一个值,通过式子x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子x y 表示 x 是 y

10、的函数,函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 x y 叫做函数yf x 的反函数,记作x f1 y ,习惯上改写成y f 1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域.从原函数式yf x 中反解出 xf1 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 xf1 y 改写成 yf1 x ,并注明反函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 8）反函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数yf x 与反函数 yf x 的图象关于直线 yx 对称可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_1函数yf x的定义域、值域分别是其反函数yfx 的值域、定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1如 Pa,b在原函数yf x 的图象上,就P b, a 在反函数 yfx 的图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,函数（ 1）幂函数的定义yf x要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,函数 yx叫做幂函数,其中 x 为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质 图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限,第 四 象 限 无 图象幂函数是偶函数时,图象分布在第

12、一、二象限 图象 关 于 y 轴 对称 .是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 .是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在 0,上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性： 当为奇数时, 幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当q（其中pp, q 互质, p 和 qZ ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 p 为奇数 q 为奇数时,就qqpyx

13、是奇函数,如 p 为奇数 q 为偶数时,就qyx p是偶函数,如p 为偶数 q 为奇数时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p就 yx 是非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象特点：幂函数yx , x0, ,当1 时,如 0x1,其图象在直线yx 下方,如 x1 ,其图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在直线 yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线 yx 上方,如 x1 ,其图象在直线 yx 下方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）二次函数解析式的三种形式补充学问二

14、次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式：f xax2bxca0 顶点式：f xa xh2k a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两根式：f xa xx1 xx2 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求（ 3）二次函数图象的性质f x 更便利bb4 acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二

15、次函数f xax2bxca0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为x, 顶点坐标是,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2abbb2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,抛物线开口向上,函数在, 上递减,在 , 上递增,当 x时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4acb 22a2a2 abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fmin x.当 a0 时,抛物线开口向下,函数在, 上递增,在 ,上递减,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4ab4acb 22a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x时,

16、2afmax x4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数f xax2bxca0 当b24ac0 时,图象与 x 轴有两个交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M1x1,0,M2x2,0,|M1M2 | | x1x2 |a|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）一元二次方程ax 2bxc0 a0 根的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整, 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关

17、系定理（韦达定理）的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统的来分析一元二次方程实根的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设一元二次方程ax 2bxc0 a0 的两实根为x1, x2 ,且 x1x2 令f xax 2bxc ,从以下四个方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置： xb判别式：端点函数值符号2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）二次函数f xax2bxc a0 在闭区间 p, q 上的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 f x 在区间 p, q 上的最大值为 M ,最小值

18、为 m ,令 x01 pq 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）当 a0 时（开口向上）bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如p ,就2amf p如 pq ,就2amf 如2a2aq ,就 mfq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fqOffpxOfqxfpOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f pb 2af b 2aqff b 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如b2ax0 ,就 Mf qb2ax0 ,就 Mf pffxqp0x0OxOxf 当 aff b 2a如b2af p ,就 M0 时 开口p向b 下 2af p如 pb2aqq ,就 Mf b2a如b2aq ,就 Mf qf b 2af b 2af f2abffqppOxOxOx如b2ax0 ,就 mfqf qb2afx0 ,就 m qf p fpf b2af ffb2apqx0x0OxOxfqfp可编辑资料 - - - 欢迎下载