2022年高一数学寒假课程第讲-基本初等函数.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第四讲基本初等函数一、学问梳理1.指数与对数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab Nblog aN （ a 0, a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s2.指数与对数的性质指数运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r s a ra sa ra0, r、 sQ ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rs a aa0,r、 sQ ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

2、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abra rbr a0,b0, rQ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（注）上述性质对r、 sR 均适用 .对数运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log a MN log a Mlog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M log aNlog a Mlog a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn log a Mn log a M（ M 、 N 0,a 0,a1）可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广：log a m Mn logM m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a换底公式：log a Nlog b N log b a（ a , b 0, a1, b1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.指数函数、对数函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形如 y a x （ a 0 且 a 1, x 0）叫做指数函数（exponential function ）,其中 x 是自变量,函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域为 R .形如 y log ax （ a 0 且 a 1, x 0）的函数,叫做对数函数（logarithmic function ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义,留意指数函数与幂函数的区分.（ 2） 留意底数的取值范畴.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）幂函数定义：一般的,形如yxR) 的函数称为幂函数,其中为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）幂函数性质： 全部的幂函数在（0, +）都有定义并且图象都过点（1, 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0, 上是增函数 .特殊的,当1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幂函数的图象下凸.当01时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数 .在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象在 y 轴右方无限的靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图象在x 轴上方无限的靠近x 轴正半轴 .二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题,要特殊重视定义域.2.指数函数、对数函数的单调性打算于底数大于1 仍是小于 1,要留意对底数的争论.3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：以0 和1 为桥梁.利用函数的单调性.作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,争论复合函数的单调性是

7、解决问题的重要途径.三、典型例题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】比较以下各数的大小：log20.35,132 ,5lg 25,133 ,5lg 15,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：log2 0.35 0 ,其他各数都大于零,故log2 0.35最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 lg 10 1, lg 100 2, 1lg 15 lg25 2 2 3 8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

8、 - 欢迎下载精品_精品资料_132对于与5133,第一,它们都属于区间（0,1）,且是同底的幂,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考虑函数y x3为减函数,5113233.55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是有log 210.35325133lg155lg 2523 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.7又例 :比较以下各组数的大小：（ 1） 6 0.7 , 0.7 6 , log6.（ 2） log0.7 , log0.70.71.11.2可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）6 0.7 1, 0 0.7 6 1, log6 0 ,log 0.7 6 0.7 6 6 0.7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）log1.10.71log 0.7 1.1, log1.20.71.log 0.7 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数 y log 0.7x 为减函数,0log 0.7 1.1log 0.7 1.2 . log1.1 0.7 log1. 2 0.7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再例 ：当 a b 1,以下不等式正确的有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1bA. 1a b1aabB. 1a1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bC. 1ab1a 2abD. 1a1

11、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 0 1b 1a1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数 y 1b x为减函数,y x a 在（ 0,1）上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 1b 1ab 1aa,应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧提示： 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性,同时充分利用0 和1 为桥梁,能使比较大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_的问题得到解决.【例 2】 已知函数 y a 2x2a x21（ a 0, a 1）在区间 1,1 上的最大值为14,求 a 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：y a x1 22 u12 ,又1x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 1 时, u 1 ,a , u a1 , u12 为 u 的增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2函数的最大值为14a 22a1a3或a5

13、舍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0 a 1 时, u a,1 , u a1 , u12 为 u 的增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的最大值为14221211aaa1 或a 31 舍）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上得, a1 或a3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2技巧提示： 指数函数与二次函数的复合函数,争论复合函数的单调性是解决问题的重要途径可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_又例 ：已知f x log 4 2 x3x .求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）f x 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求函数f x 的最大值及对应的x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）由 2 x3x 20 ,得f x 的定义域为1,3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

15、_精品资料_记 u 2 x3x 2 （ x 1） 24,对称轴为x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 的增区间为（1, 1】,减为区间【 1, 3） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2） u （ x 1） 2 44,当 x 1 时有最大值y 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】函

16、数 y2 x 1113的定义域是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1 ,2B. , 1 2C. ,D. ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由12x 1130 ,得2 x 1131,即2 x 113 1 0 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x由 3为减函数,2 x10 .故所求定义域为1x.选 A.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧提示： 这里充分利用指数函数的单

17、调性,通过解简洁的指数不等式得到所求定义域.同样,可以充分利用对数函数的单调性,通过解简洁的对数不等式得到某些问题的解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又例 ：如2log a31 ,就 a 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由2log a31 ,即2log a3log a a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 时,log ax 是增函数,于是2a, a .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载精品_精品资料_当 a 时,log ax 是减函数,于是22a, a .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上可知 a 的取值范畴是a 或a 2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再例 ：解不等式log 1 a2 x22ab xb 2x10 （ a 0, b 0） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由log 1 a2 x22 ab xb2 x10 ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 xx2ab2xb2 xa 0,即bx2a10 .b可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa1bx2 或a1b2 （舍去） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a b 时,x当 a b 时, xlog a 1blog a 1b2 .2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 a b 时,不等式

20、无解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】函数 ylog 1 x222x 的单调递增区间是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由x22 x0 ,得 0x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而函数 ux2x1 x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22即 u 在0,1 上是增函数,在1,2 上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_又 ylog 1 2u 是减函数,ylog 1 x222x 单调递增区间是1,2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧提示： 对于复合函数的单调性,一要留意在定义域内争论问题.二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判定.最终依据复合函数的单调性原就做出结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又例 ：求函数yx 2 3 x129的单调递减区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 3x 91可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：明显y的定义域是R .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 ux23x9 ,就 ux3 227 .24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ux23x9 的单调递增区间为, 3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 y12x 2 3x 9u1是 u 的减函数,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y12x 2 3x9的单调递减区间为, 3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

23、精品资料_再例 ：已知 a 0 且 a 1函, 数f xlog ax 在定义域 2,3 上的最大值比最小值大1 ,就 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为.解析：由题意,有loga 3loga 21,即3log a21 , a 2 , 3 .32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】当 a 1 时,证明函数f x axax1 是奇函数 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由a x 10得

24、x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数定义域x x 0是关于原点对称的点集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxxxx又 f x a1a1a1aa1 ,f x a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a x1a x1a x1a xa x1ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 -

25、- - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x f x .所以函数f x axa x1是奇函数 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧提示： 对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明,在判定f x 与f x 关系时,也可采纳如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价证法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xf x1（ f x）, f xf xf x1 （ f x ） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x如此题可另证如

26、下：xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa1 a1aa1,即f x f x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa x1ax1a xax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数f x axxa1是奇函数 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又例 ：设 a 是实数,f x a 2x（ x R）21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）试证明对于任意a , f x 为增函数.（ 2）试确定 a 值,使f x 为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精

27、品_精品资料_解析：（ 1）设x1 ,x2 R,且x1 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f x1 f x2 （ a2a22222 x1x2x 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx2 112 212 212 112 112 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于指数函数xy2 在 R 上是增函数,且x1 x2 ,所以2x1 2 x2 ,即2 x1 2 x 2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 2x 0 得2x1 1 0, 2 x2 1 0,所以f x1

28、f x2 0.即f x1f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,f x 为增函数 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如f x 为奇函数,就f x f x ,即 a2 x1a2 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形得： 2a22x2 x12x22 x12 2x2x1 ,解得 a 1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 a 1 时, f x 为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】已知 0 x 1, a 0, a1,比较log

29、a 1x 和loga 1x 的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：方法一：当a 1 时,loga 1x loga 1x log a 1x log a 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log a 1x 2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l

30、oga 1x loga 1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0 a 1 时,loga 1x loga 1x log a 1x + log a 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log a 1x2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ loga 1x loga 1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,在题设条件下,总有lo

31、ga 1x loga 1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二：log a 1loga 1x log 1xx 1x log 1x 11x log 1 x 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 log 1 x 1x2 log 1xx 1x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ loga 1x loga 1x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3技巧提示： 比较大小通常实行作差变形判定符号.假如比较两个正数的大小时,亦可实行作商变形与“ 1”比较的方法