2022年高中数列求和方法集锦 .docx

《2022年高中数列求和方法集锦 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数列求和方法集锦 .docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的位置.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要肯定的技巧.下面,简洁介绍下数列求和的基本方法和技巧.第一类：公式法利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列的前 n 项和公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna1n2an na1nn1d2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、等比数列的前 n 项和公式na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna1 1

2、 1q n qa1an q q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、常用几个数列的求和公式n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 Snk123k 1nnn1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 Sn3、 Snnk 212k1nk 313k122322333n 216n 3 12nnnn12 n11 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次类：乘公比错项相减等差等比这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 anbn 的前 n可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项和,其中 an , bn 分别是等差数列和等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：求数列 nq n 1 q 为常数 的前 n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：、假设 q =0, 就 Sn =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、假设 q =1,就 Sn123n1 nn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、假设 q 0 且 q 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 Sn1

4、2q3q 2nq n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_qSnq2q 23q 3nq n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式式： 1qSn1qq 2q 3q n 1nq n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn111qqq 2q 3q n 1nq n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S11q nn1q1qnq n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1qnnq nSn1q 21q可

5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述： Sn0q1 n n201 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1qn2nqn q0且q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：数列 nq n 是由数列 n 与q n 1对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,课本中的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的,但要留意应按以上三种情形进行分类争论,最终再综合成三种情形.第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用.裂项法的实质是将

6、数列中的每项通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终到达求和的目的通项分解裂项如：1、乘积形式,如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 an1nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 an2n2 n 21 2n111 12 2n112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 an4、 ann n11 n2211 22n1nn1 n1) n111 n211,就S11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn1) 2 nnn

7、12 nn2 n 1n12 nnn12 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、根式形式,如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1nn1nn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：求数列1,1,12231,341nn,的前 n 项和 Sn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1nn11=1) nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111Sn122331Sn1n111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_例 3：求数列1,1,13241,351nn,的前 n 项和 Sn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于：1nn111=2) 2nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就： Sn111 11 2324 11nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nS1 1231112n1n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn42 n22n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：要先观看通项类型,在裂项求和时候,特别要留意：到底是

9、像例2 一样剩下首尾两项,仍是像例 3 一样剩下四项.第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列反序,再把它与原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列相加,就可以得到n 个 a1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4：假设函数f x对任意 xR都有f xf 1x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 anf 01f n2f nf n1 nf 1 ,数列 an 是等差数列吗？是证明你的结论.可编辑资料

10、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求数列1anan 的的前 n 项和 Tn .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1、 anf 01f n2f nf n1 nf 1 倒序相加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anf1n1f nn2f n1f nf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_101nn12n21nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就,由条件：对任意xR都有f xf 1x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

11、2an2222（2 n1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann1an 1n2an 1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而：数列 an 是 a12, d1 的等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、1anan 1n11Tn =11n2111n1n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21Tn =233441113345（ n1） n21111n1n22n2n2n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n故： Tn =2n4解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的.此例题

12、不仅利用了倒序相加法,仍利用了裂项相消法.在数列问题中,要学会敏捷应用不同的方法加以求解.第五类：分组求和法n有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,假设将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5：求数列 1+ nnn12 n 1 的前 n 项和 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 an1nn1bnn2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna1b1 a2b2

13、 a 3b3 anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sna1Sn1Sn1a 2a311122311n1an 1322b1b211nn1322b312n2 nbn 23221 n2 n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令Tn122322n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Tn2222323n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

14、式式： 12Tn1222232 n 1n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tn1222232 n 1n2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_TnTnn12 nn121) 2 n2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故： Sn11n1n12 n121nn112 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6：求数列 x n1 的前 n 项和 S xnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

15、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：将 a xn122 用完全平方和公式绽开,再将其分为几个数列的和进行求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： a xn1 2 = xn 22xn1 12 =x 2n21= x 2n1 2 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nx nx nxnx 2nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nS x22 1x 2 x42 1 4x x2 n2 1 2n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nSx 2x4x2 n 2221

16、 2x 1 4x 1 2n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_首项x 2 ,公比x 2 等比数列常数列首项 1 x2 ,公比 1 x2 等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、令 Tnx2x 4x2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1时, Tnx2x4x2 n = 111n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 时, Tnx 2x4x2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

17、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 n2xxx=21x2 n 22xxx21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、令 M n、令 Gn22 1 2x2 1 4x2n 1 2 nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1时, Gn 1 2x 1 4x 1 2n111nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 时, G n 1 2x1 1 4x1 1 2 nx111x2n 2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=x 2 nx1 1 22x=x 2x 2n 2x 21x2=x 2x2 n 21可编辑资料 - - -

18、 欢迎下载精品_精品资料_xx2 n 2x2x 222xxx 2x 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= x2x 2n 2=x 21x2nx 2 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 n1=x2n x 21综上所述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1时, SnTnM nGnn2nn4 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2n 2x2x2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 时, SnTnM nGnx212nx 2n x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个题,除了留意分组求

19、和外,仍要留意分类争论思想的应用.第六类：拆项求和法在这类方法中,我们先争论通项,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和.例 7：求数列 9, 99, 999, 的前 n 项和 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启示同学先归纳出通项公式a10 n1 可转化为一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n个等比数列与一个常数列.分别求和后再相加.n解：由于： an101就： Sn99999可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nS101nS101110 2102110 310 3110 n 110

20、 n1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1010 n10nn11010 n 110Snn9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8： S =1 12 13 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2解：由于： a482 nn 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n就： Sn = 122 n2 n1113n24811 n1n 等差 +等比,利用公式求和2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 1 n n1211 221121 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=n n11 22解析：依据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载