2022年高中数学基本不等式的解法十例.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学基本不等式问题求解十例一、 基本不等式的基础形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 a2b22ab ,其中a, bR ,当且仅当ab 时等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ab2ab ,其中a,b0,当且仅当ab 时等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b23常考不等式：2abab2,其中a,b0,当且仅当 ab 时等号成立.可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2211ab二、常见问题及其处理方法问题 1：基本不等式与最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题思路：（ 1）积定和最小：如ab 是定值,那么当且仅当ab 时,ab min2ab .其中a ,b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）和定积最大：如ab 是定值,那么当且仅当ab 时,ababmax22,其中a,bR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1： 如实数a, b 满意 2 a2b1 ,就 ab 的最大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：很明显,和为定,依据和定积最大法就

3、可得：2a2b2a2 b12242a b2 2ab2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 ab1 时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：函数yax1a0, a1的图象恒过定点A,如点在直线mxny1 上,就 mn的最大值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由题意可得函数图像恒过定点A 1,1,将点A 1,1代入直线方程mxny1 中可得 mn1 ,明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_显,和为定,依据和定积最大法就可得：2mnmn1 ,当且仅当mn1时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

4、242x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 2： 已知函数fx22x 2,就 fx 取最小值时对应的x 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 析 ： 很 明 显 , 积 为 定 , 根 据 积 定 和 最 小 法 就 可 得 ： 2x12x 22 2x12x 21 , 当 且 仅 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x12x2x1 时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 已知 x2 ,就x1的最小值为.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 析 ： 由 题 意 可 得 x20 , x21x21

5、, 明 显 , 积 为 定 , 根 据 和 定 积 最 大 法 就 可 得 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212x2x21x22 ,当且仅当x21x2x21x1 时取等号,此时可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x10 . x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_2例题 3： 如对任意x0 ,xx 3x 1a 恒成立,就a 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 分式形式的不等式,可以考虑采纳常数分别的方法.xaax23x1xx23x1 max可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法1： 将xx23x化简可得1x2x3x12x15x 3x11xx13 x110 ,观看分母,很明显可以得到积为定值,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据积定和最小的法就可得：x2 ,当且仅当xxxxx1 时取等号. 故而可得分式的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品_精品资料_分母 x1350xx1x13 xxx213x1max1 ,因此可得：5a1 .51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 2：将x23 x化简可得1x2xx13 x0 ,令fxxx0 ,这是一个对x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_勾函数,故而可得fxx1 xf12 .故而分母x13fxx35 ,代入分式函数取倒数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 011x135xxx213 xmax1 因此可得：a1 .55可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_问题 2：“ 1”的代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题思路：依据mfxfxmm0 ,对所求内容进行乘除化简即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14例题 4：如两个正实数x、y 满意xy1 ,且不等式xy m243m 有解,就实数 m 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1414xy14y4xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由题意可得xy1 ,左边乘以xy1可得：x,化简可得：41可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x y1411y4x ,很明显y 4x中积为定值,依据积定和最小的法就可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4xy4xy4xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_y4xy4xy4xx2y14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4xy22 ,当且仅当 4xy14xy时取等号. 故而可得x4 .y84xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式 xy22m3m 有解,亦即m43mxy4min4 ,亦即m23m40 ,解得 m4 或者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1 ,故而可得m,14,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 如 x0 ,y0 ,且122 ,就 4x2xyxy3 y 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

11、品资料_解析： 由2 xy2 xy4x3 y ,化简题干条件可得12xy42x2 y2 乘以所求内容可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_144x3 y142xy2x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x3y2xy2 x2 y2xy2 x2 y,化简后可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 x2 y4 2 xy2xy2 x2 y41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x3 y,很明显2x2y4 2xy中二者积为定值,依据积定和最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy2x2 y可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品_精品资料_2x2 y42xy2x2 y4 2 xy2x2 y4 2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小法就可得24 ,当且仅当2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xyx02 x2 y2 xy2 x2 y92xy2x2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_亦即y3 时取等号.此时可得24 x3ymin2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 3：方程中的基本不等式解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边,利用基本不等式求解即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 5：（ 2022湖南高考）如实数

13、a, b12满意 1222abababab,就 ab 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由题意可知可以利用基本不等式,依据基本不等式可得：ab122ab,当且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仅当 12b ab2a 时取等号,化简后可得：1a2 4ab22 ,此时5b2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 如 lg3x lgy lg x y 1,就 xy 的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 将题干条

14、件化简可得：lg 3xylgxy1 3xyxy1 ,由题意需要求解xy ,故而可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知利用不等式xy2 xy ,将条件化简可得：3xy1xy2xy 当且仅当xy 时等号成立,化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简上式可得3xy12xy03xy1xy10

15、xy1xy1 ,此时 xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 4：含参基本不等式问题解题思路：利用含参不等式的解法求解即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2例题 6： 已知2a2421对于任意的x1,恒成立,就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxA a 的最小值为3B a的最小值为4C a 的最大值为2D a 的最大值为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由题意可知参数为a,将自变量移项可得：a 22a24 xx4x ,观看等式右侧,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xxx1可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品_精品资料_可知等式右侧经配凑可得积为定值,依据积定和最小可得：4x124x1x1x14 ,当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当4x1x1x3 时取等号, 此时可得4x2x1min5 .由 a 22a24x 对于任意的 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1,恒成立可得： a2a24xx1min5 ,化简可得a3a10 ,解得3a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21变式 6： 已知 a0, b0,如不等式m28m恒成立,就m 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab2ab可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由题意可知参数为m,将双自变量a 、 b 移项可得：m28m212ab ab恒成立,故而可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 m28m212ab,将不等式右侧化简可得212ab52b2 a ,很明显可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abminabab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积为定值,依据积定和最小法就可得：2b2a22b2a4 ,当且仅当2b2aab1 时取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ababab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号.故而2 12ab abmin9 ,代入

18、不等式中可得m28m9 化简为m9m10 解不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式可得1m9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题 5：不等式与其他问题结合（向量与不等式） 例题 7：已知的最小值为 OAaOBbOCa0, b0 ,且 A, B , C 三点在同一条直线上,就 11ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由三点共线可得ab1,观看形式采纳“1的”代换,故而11ab1 1abab12 ba ,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式右侧积为定值,故而利用积定和最小法就可得：ba2ba2 ,当且仅当baab1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时取等号.故而可得112ba3 .ababab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（不等式与解析几何

20、）例题 8：如直线11axby20（ a0 , b0 ）被圆 x2y 22x4 y10 截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的弦长为4,就的最小值为.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 将圆化为标准方程可得22x1y24 ,依据弦长为4 可得直线经过圆心.将圆心1,2代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入直线方程可得3a2b2ba2 .观看求解形式可得采纳“1的”代换方法, 即 11ab1 1aab22b,化简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 112baab很明显积为定, 依据积定和最小法就可得：2 2ba2 2 ,当且

21、仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab当 2ba2a222时取等号,故而可得113 2baababab322.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abb22ab22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（基本不等式与线性规划）例题 9：设x, y 满意条件3xy xy6020 ,如目标函数zaxby（ a0, b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最大值为12,就32的最小值为.abx0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 析 ： 作 出 可 行 域 如 图 所 示

22、： 故 而 可 得zax+by在 点 H4,6取 最 大 值 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 a6b122 a3b6 ,由题意可得采纳“ 1的”代换求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322a3b129b4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 32ababab66,观看分子可得分子积为定值,依据积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9b4a9b4a9b4aa3可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_定和最小法就可得：212 ,当且仅当abababb2 时取1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_129b4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号,故而可得32abab4 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（不等式与解三角形）例题7：中,角,的对边分别为, , ,且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - -

24、 - - - - - - -（ 1）求角的大小.（ 2）如,求的最大值 .（3）求ABC 周长的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1）由题意与余弦定理可得a 2b 2c22bc cos Ab 2c2bc ,解得cos A1,故而 A23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由余弦定理可得a 2b2c2bc3 ,故而 bc3b 2c2 ,由基本不等式a 2b22ab 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bc3b 2c22bcbc3 , 当

25、 且 仅 当 bc3 时 取 “ =”号 . 故 而 可 得 三 角 形 的 面 积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABCbc sin A333 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）由余弦定理可得a2b2c2bc3 ,故而bcb 2c23 ,由基本不等式2abab 可2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： b2c22bc233bcbc33bc23bc2bc3bc23 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 bc3 时取 “=号”.故而可得三角形的周长C ABCabc33 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载