2022年高中数列知识大总结6.docx

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1、精品_精品资料_第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前n 项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质.留意提炼一些重要的思想和方法,如：观看法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与争论思想、化归与转化思想等.学问网络可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列与正整数集关系等差数列数列等比数列特别数列求和方法通项公式递推公式定义通项公式中项前 n项的和公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一课时数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精

2、品_精品资料_四、数列通项an 与前 n 项和Sn 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. Sna1a2a 3nanaii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. anS1n1SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课前热身可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 数列an的通项公式为a3n 228 n, 就数列各项中最小项是B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnA第项B第项C第项D第项可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品_精品资料_4. 已知数列an是递增数列,其通项公式为an 2n , 就实数的取值范畴是 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 数列an的前 n 项和 Snn 24n1 , ,就 an2n12n5n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型一归纳、猜想法求数列通项【例 1】依据以下数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 7, 77, 777, 7777, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：将数列变形为71091,721091,7310

4、91 ,7n1019可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将已知数列变为1+0 , 2+1 , 3+0 , 4+1 , 5+0 , 6+1 , 7+0 , 8+1 , 9+0 ,.可得数列的通项公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ann1 1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项.S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二应用an求数列通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知数列an的前 n 项和Sn ,分别求其通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n Sn32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 ：当 n1时, a1S3121 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 n2时, anSnSn 13n23n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 3n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a11 不适合上式,故an12 3n 1n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、利用递推关系求数列的通项【例 3】依据以下各个数列1an的首项和递推关系,求其通项公式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1, 2an 1an24n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由于an 1an14n 2,所以1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1an14n 211 11 122n1112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a 2a1 2 13111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3a22 35可编辑资料 - - - 欢迎下载

7、精品_精品资料_a4a31 11 2 57可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,anan 11 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22n32 n1以上 n1 个式相加得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana111122 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： an114n24n34n2an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 拨 ： 在 递 推 关 系 中 如an 1anf n , 求an 用 累 加 法 , 如anf n,求 a n用 累 乘 法 , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1panq ,求a n 用待定系数法或迭代法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课外练习1113 设 an, nN ,就an 1与an 的大小关系是 C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1A. an 1ann2B. an 12n1 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. an 1anD. 不能确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1

9、an112 n21112n3n10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n32n2所以 an 1an ,选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题5已知数列an的前 n项和 Snn 24n1,就 an2, n12n5,n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7已知数列nan 的通项n98 （ n99N）,就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是a10, a9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：构造函数 yxx981999998x99可编

10、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由函数性质可知,函数在, 99 上递减,且y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在 99,）上递增且 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 999,10）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a9a11a12a301a1a2三、解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10最大, a9最小学问要点2递推关系与通项公式6.2 等差数列之,不成立.

11、 anamnmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系：通项公式：an 1ananda1n1) d 2anan man m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广： an变式： a1damnannana1m) d1d; Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1danamnm判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： an即： andn a1d ,f nknm,k, m为常数）an 1an差数列中项法：d 常数）（ nN ）an是等可编辑资料 -

12、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknm,（ k ,m为常数 是数列an成2an 1anan 2（ nN an是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的充要条件.等差中项：列通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a,b, c 成等差数列, 就 b 称 a与c 的等差中项,anknbk,b为常数 an是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 b. a,b, c 成等差数列是 2

13、bnn2ac 的充前 n 项和公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要条件.前 n 项和公式SAn 2Bn A, B为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sa1nan n.Sn2na1nn1 d2课前热身2等差数列an中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 4a6a8a10a12120,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： Snd n2 2a1d n, 2就a91a11的值为 C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即Snf nAn 2Bn可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_nSAn 2Bn A, B为常数 A 14B 15C 16D 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是数列an成等差数列的充要条件.解 a 91a11a 932 ad 1 a932 a22 d12016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5等差数列an的基本性质其中 m, n, p, qN 983335可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如mnpq,就 amana paq 反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.62a 37 d0可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等差数列an中,a10, S9S12 ,就前 10247d0d247可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 11 项的和最大.又S1313a12a13 13a32a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：S9S12, S12S90132 a328d 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a11a120, 3a110,248d0d3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a110,又a10从而24d37可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an为递减等差数列S1

16、0S11 为最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知等差数列an的前 10 项和为 100,前 100 项和S12 S136a6a7 013a70可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 10 ,就前 110 项和为 110解：S10, S20S10, S30S20, S110S100,a7课外练习 一、 挑选题0, a60S6最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成等差数列,公差为D 其首项为1. 已知an数列是等差数列,a1010 ,其前 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S

17、10100 ,前 10 项的和为S10010项的和S1070,就其公差d 等于 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10010109D 210, D22A. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又S110S110S100 100yS10 1050n10D10（9822） 12n3C11013n n142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 22n40n10 2981022. 已可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B13D 23知等差数列an中,所以当n10时, ymax102a 7a916, a41,就 a12 等于（A）可编辑资料 -

18、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知A 15B 30C 31D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a312, S120, S130解： a7a12a9a415a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出公差d 的范畴,二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指出S1, S2, S12 中哪一个值最大,并说3. 设Sn 为 等 差 数 列an的 前 n 项 和 ,可编

19、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明理由.S414, S10S730,就 S9=54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d anf n nan Snan n24. 已 知 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为Sn , 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：S126 a1a12 6 a3a10 S1221,就 a 2a5a8a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x25. 设 F 是椭圆7少有 21 个不同点y 21 的右焦点,且椭圆上至6走 1 m ,乙每分钟走5 m ,甲、乙开头运动后几

20、分钟相遇？假如甲乙到对方起点后立刻折返,甲连续每分钟比前一分钟多走1 m ,乙连续每分钟走5 m ,那么,开头运动几分钟后其次次相遇？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pi i1,2,使解：设 n 分钟后第一次相遇,依题意有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1F ,P2 F ,P3 F ,nn12 n5n702可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组 成 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 就 d 的 取 值 范 围 为解得 n7, n20舍去）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,1 ,0011010故第一次相遇是在开头运动后7 分钟

21、.设 n 分钟后其次次相遇,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别2 nnn15n370可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 71和（ 71）,由题意得：2解得 n15, n28舍去）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 71）（ nd21 dn71120故其次次相遇是在开头运动后15 分钟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1d1 ,又d010 已 知 数 列an1中 ,a13,前n 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_101d0或0d1Sn n21 an11可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品_精品资料_1010三、解答题求证：数列an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 记 为Sn , 已 知求数列an的通项公式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1030, a2050设数列an an 1的前 n 项和为Tn ,是否存在实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求通项an .如Sn =242 ,求 n数 M ,使得 TnM 对一切正整数n 都成立？如存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ana1n1d在,求 M 的最小值,如不存在,试说明理由.1可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1030, a2050解：SSn21 n n22a1 an1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组a19d30a119d50n 1an 1n 1Sn 1Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a112d2an2n101 n22an 11n1 an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 Snann1d, S =242整理得,nan 1n1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2n n1 n n1an 21) an 2nan 1n2an 11 n2 an 1n1) an可编辑资料 -

24、 - - 欢迎下载精品_精品资料_12n解得 n211或n224222舍去）2n 2an1an 11an 2n1 an 2anan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走2 m ,以后每分钟比前一分钟多数列an为等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a13, na n 1 n1an11122n112n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 22a115a 2a12T1 1n2 311155712n112n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即等差数列an 的公差为

25、21 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ana1n1d3 n1 22 32n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n111又当n1N 时, Tn6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an an 12n1 2n3要使得 TnM 对一切正整数n 恒成立,只要M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,所以存在实数M 使得 Tn6M 对一切正整数 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都成立, M 的最小值为 1 .66.3 等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问

26、要点1 定义：假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比成等比数列. q1时, Sn, S2nSn, S3nS2n, 仍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比 , 记 为成等比数列.6 等比数列与等比数列的转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q,（ q0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 递推关系与通项公式 an是等差数列c anc0, c1 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系：an 1qan等比数列.可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_m通项公式： anaq n 1an是正项等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1推广： anaqn mlog c anc0, c1 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等比中项： 如三个数a,b, c 成等比数列, 就称 b 为 an既是等差数列又是等比数列an是各可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a与c 的等比中项,且为bac,注： b 2ac项不为零的常数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是成等比数列的必要而不充分条件.4. 前 n 项和公式7 等比数列的判定法an 1可编辑资料 -

28、 - - 欢迎下载精品_精品资料_na1Sa 1qn q1aa q q1定义法：anq（常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11n1q1q中项法：2an 1anan 2an0an为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 等比数列的基本性质,其中 m, n,p, qN 等比数列.通项公式法： ankqnk, q为常数）an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如mnpq,就 amanapaq 反 之为 等 比 数 列 . 前n项 和 法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

29、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不真； qn man2, anamnan man mnN Snk 1列.q n （ k ,q为 常 数 ）a为 等 比 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an为等比数列,就下标成等差数列的对应项1. 设f n22 42721023 n 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nN,就f n等于（ D）求 an ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 8n172n 1B 81 7如 Tnlg a1lg a 2

30、lg an, 求Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 2 8n 317D 2 8n 417在等比数列an中,如a150 ,就有等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已 知数列an是等比数 列,且a1a2ana1a 2a 29 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sm10, S2m30,就 S3m70（问题引入）1n29, nN 成立,类比上述性质,相应的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想：bn是等比数列,公比为.2在等比数列bn中,如 b191 就有等式成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明如下：bn 11a2 n 1411a2 n24立.解：由等比数列的性质可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111a1a 6a 3a 432可编辑资料 - - - 欢迎下载精