2022年高中数学抛物线解题方法总结归纳 .docx

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1、精品_精品资料_圆锥曲线抛物线学问点归纳1 抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的准线2 抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点.yM 2PKoFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦准距： FKp通径：过焦点垂直于轴的弦长为 2 p .M1Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点平分焦点到准线的垂线段：OFOKp .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 抛物线标准方程的四种形式：可编辑资料 -

2、 - - 欢迎下载精品_精品资料_y22 px, y22 px,x 22 py, x 22 py.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： 焦点在一次项的轴上,开口与“2p”方向同向4 抛物线 y22 px 的图像和性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点坐标是：p ,0 2,准线方程是： xp .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦半径公式：（称为焦半径）是：pPFx0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点弦长公式 ：过焦点弦长PQ

3、xpxpxxp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线 y 22 px上的动点可设为 P y, y 或 P 2 pt 2, 2 pt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 p5 一般情形归纳：方程图象焦点准线定义特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2=kxk0 时开口向右k/4,0x=4k/到焦点 k/4,0的距离等于到准线 x= 4k/的距k0 时开口向上0,k/4y=4k/到焦点 0,k/4的距离等于到准线 y= 4k/的距k0上的两点,满意 OA OBO为坐标原点 求证：1A,B两

4、点的横坐标之积,纵坐标之积为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12直线 AB经过一个定点解： 1设 Ax1,y1, Bx2,y2, 就 y22=2px1 , y 2=2px2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y12y 2=4p2x1x2,OA OB, x1 x2+y1y2=0,由此即可解得： x1x2=4p2, y1y2= 42p定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2直线 AB的斜率 k= y2x2y1 =y2y2x122 py1y=12y12 p2 p,y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

5、载精品_精品资料_直线 AB的方程为 yy1=2 py1y2y 2x 1 ,2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 yy1+y2 1yy2=2px, 由1可得 y=2 px 2p,y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AB 过定点 C2p,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y2中点,求点 M 到 y 轴的最小距离x 上移动,设点 M 为线段 AB 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：抛物线焦点1F ,04,准线 l ： x

6、1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 A 、 B 、 M 在准线 l 上的射影分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 B 、 M,设点 M x , y ,M 1M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| AA1 | BB1 | | AF| BF| | AB | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| MM|1 | AA | BB |1 | AB | ,11122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| MM 1x01 , |4AB |3 ,可编辑资料

7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x013 ,所以 x 425 ,即04x 的最小值是 5 04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M 到 y 轴的最小距离是 54,当且仅当 AB 过点 F 是取得最小距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 设抛物线 y2=2px（ p0）的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BCx 轴证明直线 AC 经过原点 O分析：证直线 AC 经过原点 O,即证 O、A、C 三点共线,

8、为此只需证 kOC=kOA此题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何学问y去解决DA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一：设 AB：x=my+p ,代入 y2=2px,得 y22pmyP2=02O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理,得 yAyB= p2,p 2ENFxCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 yB=y A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCx 轴,且 C 在准线 x=p 上,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C（p ,yB）2可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 kOC=yB= 2p = yApyAxA2=kOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线 AC 经过原点 O证法二：如图,记准线 l 与 x 轴的交点为 E,过 A 作 ADl,垂足为 D就 ADEFBC连结 AC 交 EF 于点 N,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| EN | = | CN|= | BF | ,| NF | = | AF |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AD | AC | AB |BC| AB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_|AF|=|AD|, |BF|=|BC|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|EN|= | AD | BF| = | AF | BC | =|NF|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | AB |即 N 是 EF 的中点 从而点 N 与点 O 重合,故直线 AC 经过原点 O点评：此题的“几何味”特殊浓,这就为此题注入了活力 在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到 yAyB=p2 这个重要结论 仍有些证法充分利用了平面几何学问, 这也提示广大师生对圆锥曲线几何性质的重视, 也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例 8 、已知抛物线,点

11、A2,3,F 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦 点 , 如 抛 物 线 上 的 动 点 到 A 、 F的 距 离 之 和 的 最 小 值 为,求抛物线方程 .分析：在解析几何中, 关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题,运用纯代数方法解,导致复杂运算,因而常运用几何方法与相关 曲线的定义.解：留意到抛物线开口大小的不确定性（1） 当点 A 和焦点 F在抛物线的异侧时,由三角形性质得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解得 p=2 或 p=6.留意到 p=6 时,抛物线方程为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时如 x=2,就

12、,与点 A 所在区域不符合.当 p=2 时,抛物线方程为,当x=2 时,符合此时的情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 当点 A 和焦点 F 在抛物线的同侧时（如图） ,作 MN准线 l 于点 N,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解得易 验 证抛 物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符合此时情形.于 是 综 合 （ 1 ） 、（ 2） 得 所 求 抛 物 线 方 程 为或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.点评：求解此题有两大误区： 一是不以点 A 所在的不同区域分情形争论, 二是在由（ 1）（或（ 2）导出抛物线方程后

13、不进行检验.事实上,在这里不论是A在什么位置,总得成立,此题进行的检验是必要的 .例 9 已知抛物线 y2x 与直线yk x1 相交于 A、B两点 ,求证; OAOB ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 OAB 的面积等于 10 时,求k 的值分析: 根与系数的关系、 弦长公式 或应用向量解y AN题 .OxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明: 设Ay 2 , y, By 2 , y ;N 1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NA1y 2 , y NB1y 2 , y ,由 A,N,

14、B共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1y1 y22y2y2 y1 y2y1y1 y2 y1y2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y1y2y1 y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OA . OBy1 y222y1 y2y1 y2 1y1y2 0OAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 SOAB11y2y12y 2x由yk x得ky 21yk0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

15、迎下载精品_精品资料_S OAB1 1yy 21112k 2410 ,k16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法 2: 由 OMAB 知点 M 的轨迹是以原点和点 2p,0为直径的圆 除去原点 立刻可求出同学练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 抛物线 yx 2 的焦点坐标为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A0,1 4B0,1 4C 1 ,04D1 ,04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案: A解析: 从中学学的抛物线 二次函数 到高中的抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品_精品资料_2 已知点A3,4, F是抛物线 y 28x 的焦点,M 是抛物线上的动点 ,当 MAMF 最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小时,M 点坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A0,0B 3,26 C 2,4D3,26 答案:C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析: 把 MF 转化为 M 到准线的距离 MK ,然后求 MAMK 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23 过抛物线 y4 x 的焦点作直线交抛物线于A x1, y1, B x2 , y2 ,如 x1x2

17、6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么 AB 等于 A10B8C6D4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案: B解析:ABAFBFppxx12x1x2p22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 抛物线顶点在原点 ,对称轴为坐标轴 ,焦点在直线 xy20 上,就其方程为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A y 24 x或 x4 yB x 24 y或 y4 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C x28 y或 y8xD 不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_答案:C解析: 解直线与两轴交点坐标 ,进而求 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 过点0, 2与抛物线 y28 x 只有一个公共点的直线有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 条B2 条C3 条D很多条答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分 ,它的方程为 x 22y 0y20,在杯内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_放一个玻璃球 ,要使球触及到杯的底部 ,就玻璃球的半径 r 的范畴为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0r1B

19、0r1C 0r1D 0r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案: C 解析: 设圆心 A0,t,抛物线上的点为 Px,y, 列出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAx2 yt 2y 222t yt 2 转化为二次函数问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 抛物线 y 22 px p0的动弦 AB长为 aa2 p ,就 AB中点 M 到 y 轴的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_短距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A aB2pC ap22D ap 2可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品_精品资料_答案: D解析: 可证弦 AB 通过焦点 F 时,所求距离最短可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 直线 l 过抛物线 y 2ax1a0 的焦点 ,并且与 x 轴垂直 ,如 l 被抛物线截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的线段长为 4,就 aA4B2C1D142答案: A解析: 所截线段长恰为通径 a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 过抛物线 yax 2a0 的焦点 F 作始终线交抛物线于 P、Q 两点,如 PF与 FQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

21、料_的长分别为 p、q,就 1p1 等于 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2aB 1C 4aD42 aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案: C解析: 考虑特殊位置 ,令焦点弦 PQ平行于 x 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 设抛物线y22 px , p0 的轴和它的准线交于 E点,经过焦点 F的直线交抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线于 P、Q 两点直线 PQ与抛物线的轴不垂直 ,就FEP 与 QEF 的大小关系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

22、_A FEPQEFB FEPQEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C FEPQEFD 不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12答案: C解析: 向量解法 : 由 A、F、B 共线得y yp 2 重要结论 ,进而得出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k PEkQE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 已知抛物线 yx 21 上肯定点 B1,0 和两动点 P、Q ,当 P 点在抛物线上运可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_动时, BPPQ ,就点 Q 的横坐标的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A,3B1,C -3,-1D,31,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案: D12 过抛物线焦点 F的直线与抛物线交于两点 A、B,如 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1, B1 ,就A1FB1A45B60C 90D120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2答案: C 解析:FA12 pp2y2, y1 ,FB22 pp , y , 2由于 A、F、B 三点共线 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222以 1y 2 yp y 2