2022年高中数学新课程创新教学设计案例篇____平面的基本性质.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -14 平面的基本性质教材分析这篇案例是在中学平面几何学问的基础上进一步争论平面的基本性质平面的基本性质是争论立体几何的基本理论基础,这节课既是立体几何的开头课,又是基础课, 同学对本节内容懂得和把握得如何,是能否学好立体几何的关键之一这节课的教学重点是平面的基本 性质,难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言教学目标1. 在引导同学观看摸索生活中的实例、实物模型等的基础上,总结和归纳出平面的基本性质,初步学会用数学的眼光去熟悉和感受现实的三维空间2. 会用图形语言、文字语言、符号语言精确

2、描述三个公理,能用公理及推论解决有关问题,提高同学的规律推理才能3. 通过画图和识图,逐步培育同学的空间想象才能,使同学在已有的平面图形学问的基础上,建立空间观念任务分析这节课是立体几何学习的基础,但同学空间立体感仍不强为此, 教学时要充分联系生 活中的实例,如自行车有一个脚撑等,通过实例,使同学尽快形成对空间的正确熟悉,建立初步的空间观念.在联系实际提出问题和引入概念时,要合理运用教具,如讲解公理1 时,可让同学利用手中的直尺去测桌面是不是平的.讲解公理2 时可让同学观看教室的墙面的关系等 通过这些方式加强由模型到图形,再由图形返回模型的基本训练,逐步培育同学由图形想象出空间位置关系的才能当

3、用文字和符号描述对象时,必需紧密联系图形,使抽象与直观结合起来, 即在图形的基础上进展其他数学语言在阐述定义、定理、公式等重要内容时,宜先结合图形,再用文字和符号进行描述,综合运用几种数学语言,使其优势互补,这样,就有可能收到较好的成效,给同学留下较为深刻的印象教学设计一、问题情形1. 利用你手中的直尺,如何判定你课桌的桌面是不是平的2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳,为什么？3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,硬纸板与讲台面不重合,能否说这两个平面只有一个公共点？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8

4、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（利用多媒体屏幕出现问题情形,即在屏幕上显现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出,能够活跃课堂气氛,激发同学学习爱好,从而引导同学积极主动的去探究问题）二、建立模型1. 探究公理（ 1）问题 1 的探究老师提出问题,引发同学摸索：如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的了？（把直尺放在物体表面的各个方向上,假如直尺的边缘与物体的表面不显现缝隙,就可判定物体表面是平的）老

5、师点拔： 这是判定物体表面是不是平的的一个常用方法假如物体表面是平的,把直尺边缘无论如何放在平面上,就边缘与平面都没有缝隙,也就是说, 假如一条直线上的两点 在一个平面内,那么这条直线上的全部点都在这个平面内由此,可以归纳出公理1公理 1假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的全部点都在这个平面内（如图14-1）这时我们说, 直线在平面内或平面经过直线这一性质是平面的主要特点弯曲的面就不是到处具有这种性质老师进一步分析：为了书写的简便,我们把代数中刚学习过的有关集合的符号,引入立体几何中把点作为基本元素,直线、平面即为“点的集合 ”,这样：点 A 在直线 a 上,记作 A a. 点

6、A 在直线 a 外,记作 A a. 点 A 在平面 内,记作 A .点 A 在平面 外,记作A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -直线 a 在平面内,记作 a.直线 a 在平面外,记作 a公理 1 用集合符号表示为：A a, B a, A ,B ,就有例：证明假如一个三角形的两边在一个平面内,那么第三边也在这个平面内留意：在分析过程中,肯定要

7、强调“要证明直线在平面内,就应当证明什么？条件中有没有,没有如何去制造”通过这种逆推思路的分析,培育同学良好的摸索习惯练习：判定以下命题的真假 假如一条直线不在平面内,就这条直线与平面没有公共点 过一条直线的平面有很多多个 与一个平面没有公共点的直线不存在 假如线段AB 在平面 内,就直线AB 也在平面内a（ 2）问题 2 的探究老师提出问题,引发同学摸索：自行车有一个脚撑就可站稳,为什么？（由于前轮着的点、后轮着的点、脚撑着的点三点在一个平面上,而且为了站稳, 前轮着的点、后轮着的点、脚撑着的点三点不共线,因此我们可以估计：过不共线的三点有且只有一个平面）老师演示： 用相交于一点的三根小棍的

8、三个端点作为空间不在始终线上的三个点（如图14-2）,当把作为平面的硬纸板放在上面时,这张作为平面的硬纸板不能再 “动”了,由于一动就要离开其中的一个点, 硬纸板所在平面就不能确定了, 正犹如刚才的发觉： 过不共线的三点有且只有一个平面公理 2经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面（如图14-3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -公理

9、2 也可以简洁的说成：不共线的三点确定一个平面老师演示课件：在空间给定不共线的三点 A, B, C（如图 14-4）,作直线 AB , BC, CA ,再在直线 BC, CA ,AB 上分别取动点 P, Q, R,作直线 AP, BQ , CR,让 P,Q,R 分别在直线 BC , CA , AB 上运动,我们可以看到这些直线 “编织 ”成一个平面老师出示问题：试举出一个应用公理2 的实例（例如,一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）（ 3）问题 3 的探究老师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上,让同学观看, 并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？（不能,由于平面是无限延展的,所以这两

10、个平面应当有一条经过这公共点的直线）老师点拔： 我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面,所以我们有时要看模型或图形, 但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的明白这个实例说明白平面具有如下性质公理 3假如两个不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线（如图14-5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

11、 -公理 3 的数学符号语言： P , P a, P a老师进一步概括：为了简便,以后说到两个平面,如不特殊说明,都是指两个不重合的平面 假如两个平面有一条公共直线,就称这两个平面相交这条公共直线叫作这两个平面 的交线由公理可见,两个平面假如有一个公共点,那么就有无穷多个公共点,全部公共点在公共直线上,即它们的交线上.交线上的每一个点都是两平面的公共点练习：判定以下命题的真假假如两个平面有两个公共点A , B,那么它们就有很多个公共点,并且这些公共点都在直线 AB 上两个平面的公共点的集合可能是一条线段2. 推出结论老师明晰：由于两点确定一条直线,依据公理2 简洁得出如下推论：推论 1经过一条

12、直线和直线外的一点,有且只有一个平面已知：点 A ,直线 a,Aa（如图14-6） 求证：过点A 和直线 a 可以确定一个平面分析： “确定一个平面 ”包含两层意思：一是存在,二是唯独这两层都应证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（说明：这个证明可以由老师引导同学一起分析完成,但步骤老师肯定要板书）证明：存在性由于 Aa,在 a 上任取两点

13、B, C,所以过不共线的三点A , B, C 有一个平面（公理2） 由于 B , C ,所以 a（公理1）故经过点 A 和直线 a 有一个平面唯独性假如经过点A 和直线 a 的平面仍有一个平面 ,那么 ,由于 B , C,所以 B , B （公理1）故不共线的三点A ,B , C 既在平面内又在平面内所以平面 和平面 重合（公理2）所以经过点A 和直线有且只有一个平面有时“有且只有一个平面”,我们也说 “确定一个平面 ”类似的可以得出下面两个推论：推论 2经过两条相交直线,有且只有一个平面（如图14-7）推论 3经过两条平行直线,有且只有一个平面（如图14-8）三、说明应用例题两两相交且不过同

14、一点的三条直线必在同一个平面内（如图14-9）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -已知： ABAC A ,ABBC B, ACBC C 求证：直线AB ,BC ,AC 共面证法 1：由于 ABAC A ,所以直线 AB , AC 确定一个平面（推论2） 由于 B AB ,C AC ,所以 B , C , 故 BC（公理1）因此,直线AB ,BC

15、 ,CA 都在平面内,即它们共面证法 2：由于 A直线 BC ,所以过点 A 和直线 BC 确定平面（推论 1）由于 A , B BC,所以 B 故 AB, 同理 AC,所以 AB , AC , BC 共面证法 3：由于 A, B, C 三点不在一条直线上,所以过 A ,B , C 三点可以确定平面（公理2）由于 A , B ,所以 AB（公理1）同理 BC, AC,所以 AB ,BC , CA 三直线共面摸索：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略,为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页

16、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（不能,假如三条直线两两相交且过同一点,就这三条直线可以不共面）练习1. 三角形、梯形是平面图形吗？2. 已知：平面外有一个 ABC ,并且 ABC 三条边所在的直线分别与平面交于三个点 P,Q, R求证 P, Q, R 三点共线四、拓展延长1. 四条直线两两相交且不过同一点,这四条直线是否肯定共面？2. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面了？四个平面了？点评这篇案例在老师指导下,从现实生活中挑选和确定问题进行争论,以类似科学

17、家探究的方式使同学主动的解决问题,猎取学问,应用学问, 并在探究过程中充分利用模型、进行数学试验等多种渠道在问题探究的过程中,同学的空间想象才能、动手才能、解题才能等得到了提高这篇案例充分发挥老师的主导作用和同学的主体作用,让同学参加到问题的探究中,让同学成为 “演员 ”,变成主角,成为解决问题的决策者,而老师只是充当配角这样做不仅激发了同学的学习爱好,活跃了课堂气氛,仍充分发挥了同学的主体意识和主观能动性,能让同学从详细问题的分析过程中得到启示,让同学在相互争论的过程中学会自己分析转换问题,解决问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载