2022年高中数学双曲线抛物线知识点总结2.docx

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1、精品_精品资料_双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面内到两个定点,的距离之差的肯定值是常数2a2a的点的轨迹.2222方程xy1a0, b0yx1a0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a 2b2简图O_x_Ox_xa或xa, yRya或ya, xRy_y范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点a,00,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点c,00,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_渐近线byxay

2、a xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率ec e1 aec e1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴关于 x 轴、 y 轴及原点对称关于 x 轴、 y 轴及原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线方程a、b、c 的关系a 2a 2xyccc2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点题型一求双曲线的标准方程nx2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、 给 出 渐 近 线方 程 yx 的 双 曲 线 方 程 可 设 为2mmn20, 与 双 曲

3、线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a2b21 共渐近线的方程可设为x2y2a 2b20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、留意：定义法、待定系数法、方程与数形结合.【例 1】求适合以下条件的双曲线标准方程.（ 1） 虚轴长为 12,离心率为 5 .4（ 2） 焦距为 26,且经过点 M （ 0, 12）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2（ 3） 与双曲线y1 有公共渐进线,且经过点A3, 23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2916可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品_精品资料_x2y2y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）设双曲线的标准方程为221 或ab221 aab0, b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知, 2b=12 , ec = 5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b=6 , c=10, a=8.x2a4y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程为64361 或1 .6436可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）双曲线经过点M （ 0, 12）, M （ 0, 12）为双曲线的一个

5、顶点,故焦点在y 轴上,且 a=12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 2c=26, c=13. b2c2a 2144 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2标准方程为yx1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_214425x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）设双曲线的方程为a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3, 23在双曲线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_232239161 得144 x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以双曲线方程为194题型二 双曲线的几何性质2方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特殊是e、a、b、c 四者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关系,构造出ex2c 和 c2ay2a 2b 的关系式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】双曲线a 2b21a0, b0 的焦距为 2c,直线 l 过点（ a, 0）和（ 0, b）,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点（ 1, 0）到直线 l 的距离与点（ -1, 0）

7、到直线 l 的距离之和 s 4 c .求双曲线的离心率5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e 的取值范畴.xy解：直线 l 的方程为1,级 bx+ay-ab=0 .ab由点到直线的距离公式,且a 1,得到点（ 1, 0）到直线 l 的距离 d1b a a 21 ,b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理得到点（ -1, 0）到直线 l 的距离 d 2ba a21 ,b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sd1d22ab22ab2ab .c可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 s 4 c ,得 2ab 4 c ,即5a c2a22c2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是得 5 e212e2 ,即4e425e2250 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解不等式,得5425e5 .由于 e1 0,所以 e 的取值范畴是e5 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3 】设 F1

9、、F2 分别是双曲线221 的左、右焦点,如双曲线上存在点A ,使a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1 AF290 ,且 AF 1=3AF 2,求双曲线的离心率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：F1AF290可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 AFAF4c12又 AF 1 =3AF 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AF1AF22 AF22a 即AF2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 AF22AF9 AF22AF10 AF10a24c2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1

10、2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1010a42即 e10 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路： 1、争论双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组,即AxByC0 b2 x2a2 y2a2b2,对解的个数进行争论,但必需留意直线与双曲线有一个公共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点和相切不是等价的.2、直线与双曲线相交所截得的弦长：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1k 2x2x111k 2y2y1可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】如图, 已知两定点F1 2,0,F2 2,0,满意条件PF2PF12 的点 P 的轨迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是曲线 E,直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A 、B 两点, 假如 AB使 OAOBmOC ,求63 ,且曲线 E 上存在点 C,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A（1） 曲线 E 的方程.C（2） 直线 AB 的方程.（3） m 的值和 ABC 的面积 S.BOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由双曲线的定义可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 E 是以

12、F12,0, F2 2,0为焦点的双曲线的左支,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 c2 , a=1,易知b c2a21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线 E 的方程为 x2y 21x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 Ax 1,y1 ,Bx 2,y 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意建立方程组y=kx-1消去 y,得 1x 2 -y2 =1k 2 x22kx20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

13、料_又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B,有1k20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 k2x1x21812kk2k2 0,0,解得2k1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x220.1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又AB1 k 2xx1k 2 xx 24x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k21k 2 2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 242可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_1k 21k21k2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 22k2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意得2 6 3 ,整理后得28k455k 2250 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 2 2 k25 或 k25 .74但2k1 , k5 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线 AB 的方程为5xy10 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）设C xc , yc ,由已知 OAOBmOC , 得 x1 ,y1x2,y 2mxc ,

15、myc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x , y x1x2 , y1y2 m0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c cmm2k2 k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x1x22k145 , y1y2k x1x22k 212k 218 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_458点 C, .mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,的80641 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m2m2得 m4,但当 m4 时

16、,所得的点在双曲线的右支上,不合题意. m4 , C 点的坐标为 5, 2 ,552121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 到 AB 的距离为,5 223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC 的面积 S16 313 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23一、抛物线高考动向： 抛物线是高考每年必考之点,挑选题、 填空题、 解答题皆有, 要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如.（一） 学问归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程y22 px

17、p0y22 px p0x22 py p0x22 py p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y图形OFxlyyylOxFFOxFOxll可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点（ 0, 0）对 称x 轴y 轴轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点F p ,0 2离 心率F p ,0 2e=1F 0, p 2F 0,p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线pl : x2l : xp 2l : yp2l : yp 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）典例讲解题型一抛物线的

18、定义及其标准方程方法思路： 求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类争论,标准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程有时可设为 y2mx 或 x2mym0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】依据以下条件求抛物线的标准方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）抛物线的焦点是双曲线（2）经过点 A（ 2, 3）.2216x9 y144 的左顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 焦点在直线 x-2y-4=0上.（4） 抛物线焦点在 x 轴上,直线 y=

19、-3 与抛物线交于点 A, AF=5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：（ 1）双曲线方程可化为xy1 ,左顶点是（ -3, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意设抛物线方程为p=6.916y 22 px p0 且p3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为y212 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）解法一：经过点A（ 2, 3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px 或 x2 2py点 A（ 2, 3）坐标代入,即 9 4p,得 2p 9224点 A（ 2,

20、3）坐标代入 x 2py,即 4 6p,得 2p3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所求抛物线的标准方程是y 9 x 或 x2 4 y23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由于A（ 2, -3 ）在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为y2mx 或 x2ny ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 A 点坐标求得 m=9 , n=- 4 ,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2所求抛物线的标准方程是y 9 x 或 x2 4 y23可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）令 x=0 得 y=2,令 y=0 得 x=4 ,直线 x-2y-4=0与坐标轴的交点为（ 0, -2 ）,（4, 0）.焦点为（ 0, -2 ）,（ 4, 0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线方程为x28 y 或y216 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为y 22 px p0 ,A （ m,-3）,由抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线定义得

22、5AFmp ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 322 pm ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ p1 或 p9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求抛物线方程为y22 x 或y218 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二 抛物线的几何性质方法思路： 1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l 的距离处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理,例如如 P（ x0, y20）为抛物线 y2 p

23、x pp0) 上一点,就 PFx0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如过焦点的弦AB ,A x1, y1 ,Bx2,y2 ,就弦长ABx1x2p , x1x2 可由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_韦达定理整体求出, 如遇到其他标准方程, 就焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】设 P 是抛物线y24 x 上的一个动点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 求点 P 到点 A （

24、-1, 1）的距离与点P 到直线 x（2） 如 B（ 3,2）,求 PBPF 的最小值.1 的距离之和的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）抛物线焦点为F（ 1, 0）,准线方程为 x1 . P 点到准线 x1 的距离等于 P 点到 F（ 1,0）的距离,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到 A （ -1, 1）的距离与 P 到 F（ 1, 0）的距离之和最小.明显 P 是 AF 的连线与抛物线的交点,y最小值为AF5（ 2）同理 PF 与 P 点到准线的距离相等,如图：A过 B 做 B Q准线于 Q点,交抛物线与 P1 点.P可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品_精品资料_ P1QP1F ,OFx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PBPFP1BP1QBQ4 . PBPF 的最小值是 4.题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法.【例 7】已知抛物线 yx2 ,动弦 AB 的长为 2,求 AB 的中点纵坐标的最小值.分析一：要求AB 中点纵坐标最小值,可求出y1 y2 的最小值,从形式上看变量较多, 结合图形可以观看到y 1、y 2 是梯形 ABCD 的两底,这样使得中点纵坐标y 成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解.解法一：设 Ax 1 ,y1

26、,Bx 2 ,y2,AB 的中点为 Mx,yF0, ,准线方程由抛物线方程y x 2 知焦点14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y,设点 A 、B 、M 到准线的距离分别为 |AD41|、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|BC1| 、 |MN|, 就 |AD 1| |BC1| 2|MN|, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,依据抛物线的定义,有 |AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M N= 2 y +41|BC1| |BF|, 2y+41| |AF|、 |AF| |BF| |AB| 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、_精品资料_12y+2433 y, 即点 M纵坐标的最小值为.4422分析二：要求 AB中点 M的纵坐标 y 的最小值,可列出y 关于某一变量的函数,然后求此函数的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法二：设抛物线y x上点 Aa,a,Bb,b , AB的中点为 Mx, y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xab , yab22222222 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ |AB| 2, a ba b 4,就 a b 4ab a b 4a b 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222就 2x ab

28、,2y a b , 得 ab 2x y, 4x 42x y 4y 42x y 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 yx 214 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 4 x 2141111134x214244144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即点 M纵坐标的最小值为3/4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1、以 y=2 x 为渐近线的双曲线的方程是（）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222222、 3y 2x =6、 9y 8x =1 C

29、 、3y 2x =1 D 、 9y 4x =36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案 D】解析： A 的渐近线为 y=2 x , B 的渐近线为 y=322 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 的渐近线为 y=2 x ,只有 D 的渐近线符合题意.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如双曲线 x2y 21的左支上一点 P（ a, b）到直线 y=x 的距离为2 ,就 a+b 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ）11A 、B、22C、2D、2可编辑资料 - - - 欢迎

30、下载精品_精品资料_【答案 A 】解析： P 在双曲线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 ab1即（ a+b）（ a-b） =1又 P（ a, b）到直线 y=x 的距离为2ab2 且 ab2即 ab2 1 a+b=23、假如抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴,焦点在直线 3 x4 y120 上,那么抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程是（）A 、y216 xB、y212x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、 y216xD 、 y212 x【答案 C】解析：令 x=0 得 y= 3,令 y=0 得 x=4 ,直线 3x4 y120

31、与坐标轴的交点为（ 0, -3 ）,（ 4, 0）.焦点为（ 0, -3 ）,（ 4,0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线方程为x212 y 或y216 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、如抛物线 y= 1 x 2 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5,就 P 点的坐标是4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. （ 4, 4）B.（ 4, 4）C.（79 ,1679 ） D.（879 ,879 ）16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案 B】解析：抛物线的焦点是（0, 1）,准线是 y1,P 到焦点的距离可以转化为

32、到准线的距离.设 P（ x, y）,就 y=4 , x4 y164可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25、如点 A 的坐标为（ 3,2）,F 为抛物线 y取得最小值时点 P 的坐标是（C ）2x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点, 就 PAPF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A （ 0, 0）B （ 1, 1）C（ 2, 2）D 2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案 C】解析：抛物线焦点为F（ 1,0）,准线方程为x1 . P 点到准线 x1 的距离等于 P 点到 F（ 1,0）的距离,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到 A （ 3, 2）的距离与 P 到 F（ 1, 0）的距离之和最小.明显 P 是 A 到准线的垂线与抛物线的交点, P 的坐标为（ 2, 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知 A、 B 是抛物线y22 px p0 上两点, O 为坐标原点,如OA=OB,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,就直线AB 的方程是（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、x=pB、x=3pC、x= 3