2022年高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -课题 ：直线的倾斜角和斜率教材：一般高中课程标准试验教科书（人教版）数学第 3 章第 1 节一、教学目标：1、学问与才能：(1) 懂得直线的倾斜角和斜率的概念.(2) 把握过两点的直线的斜率公式,会求直线的斜率和倾斜角.(3) 懂得直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.2、过程与方法：(1) 经受直线倾斜角概念的形成过程,懂得直线倾斜角和斜率之间的关系.(2) 从数与形两方面让同学明白,倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x 轴的倾斜程度 . 渗透数形结合思想 .(3) 通过问题,层层设疑,提高同学分析、比较、概括

2、、化归的数学思维才能, 使同学初步明白用代数方程争论几何问题的思路.3、情感态度与价值观：1从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,让同学感受数学来源于生活,渗透辩证唯物主义世界观 .2帮忙同学进一步明白分类思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,表达数、形的统一,激发同学学习数学的爱好,培育同学勇于探究、勇于创新的精神.二、教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念,直线的斜率公式推导和应用.三、教学难点：倾斜角概念的形成,斜率公式的推导四、教学方法与手段：运算机帮助教学与发觉法相结合. 即在多媒体课件支持下,创设情境问题,层层设疑,制造认知冲突,引发争辩,让同学在老师引导

3、下,积极探究,亲身经受概念的发觉与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构.【教学过程】一、学问导入在中学,我们学过了函数的图象,知道在直角坐标系中,点可以用有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_序实数对 x,y 来表示和确定 . 那么直线了？在平面直角坐标系中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题：经过一点 P的直线 L 的位置能确定吗 .预案：不能 . 如图,过一点 P 就可以作很多多条直线 . 那么,问题：这些直线之间又有什么联系和区分了.短暂摸索和争论后,同学可以回答预案： 1 它们都经过点 P.2 它们的“倾斜程度”不同.那么,我们应当怎样描述

4、这种不同直线的“倾斜程度”了？设计意图同学刚刚学完立体几何,对解析几何已经有些生疏. 所以从简洁问题入手,便于激发同学学习热忱,同时又能引入倾斜角的概念,起到承上启下的作用.二、学问探究 一 直线倾的斜角1定义：直线L 与 x 轴相交时,我们取x 轴作为基准, x 轴正向与直线L 向上的方向之间所成的角叫做直线 L 的倾斜角 .老师指出：对于定义的懂得,我们强调的是x 轴正向与直线L 向上的方向所成的角 . 为了帮可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -助同学加深懂得,此时,可以借助几何画板来直观出现. 如下图所示：老师在演示的过程中再次向同学强调：从x 轴正方向动身,到直线向上的方向之间所成角就是直线 L 的倾斜角 .设计意图同学开头对倾斜角概念仍有些模糊,再此数形结合,向同学动态、直观的展现给定直线倾斜角的形成过程,加深同学对概念的懂得.【快速练习一】1以下四图中,表示直线的倾斜角的是ABCD2请标出以下直线L 的倾斜角.设计意图该题组的设计均为加深同学对倾斜角概念的懂得.第一题比较简洁,通过PPT展现出来后,让同学集体回答即可.其

6、次题稍难一些,在实际授课时,老师将四个图形画到黑板上,请一个同学到黑板上来画. 这个题目看起来简洁,而实际上,题目中设置了一些问题,图（ 4）情形的倾斜角同学找一会儿,可就是找不到的；这样就给同学的制造了肯定的认知冲突, 激发了同学学习探究的爱好,同时加深了同学对图（4）这种特别情形下倾斜角的记忆.老师一边巡查一边指导. 待同学完成后指出,图（1）的倾斜角是锐角,图（2）是钝角,图（ 3）是直角 . 那图（ 4）了？问题：为什么图（ 4）的倾斜角我们没能标出来了？那么它究竟应当是多少了？ 同学可能难以回答 . 此时让同学再看到倾斜角的定义,然后同学可以发觉：预案：定义中的倾斜角是要求直线L 与

7、 x 轴相交的,而图（ 4）中的直线 L 却是与 x 轴平行的.老师指出：因此,对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出. 所以,我们对于此类直0线,也就是当直线L 与 x 轴平行或是重合时,我们规定它们的倾斜角均为0 .所以,依据上述四种情形,我们可以得到直线L 倾斜角的范畴为： 001800.设计意图至此,直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难,由旧到新,符合同学的认知过程 .同学很自然的完成了学问的过渡,并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - -

8、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -这个概念的懂得,让同学明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x 轴正方向的倾斜程度 .”为了更加深直线和倾斜角之间的关系,我们连续提问：问题： 在平面坐标系中,每一条直线有多少个倾斜角了？ 预案：有且只有一个 .问题： 一个倾斜角对应的直线有多少条了？预案：很多条 . 它们都是相互平行的 . 如右图 .所以仅有倾斜角是不能确定直线的；问题： 倾斜角再加什么条件就可以确定直线了？预案：再加一个点 . 即一个点 P 和倾斜角可以唯独确定一条直线

9、.设计意图每提出一个问题,让同学自己先行摸索,或是合作争论,老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的懂得,明晰直线和倾斜角之间的关系.（二）直线的斜率问题：除了倾斜角外,我们仍有没有其他表示倾斜程度的量了？同学可能难以回答此问题. 老师可以渐渐引导 .在日常生活中,我们仍会遇到一个叫“坡度”的概念,坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）. 其实坡度的实际就是倾斜角的正切. 用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.1直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示,即 ktan.可编辑资料 - -

10、 - 欢迎下载精品_精品资料_【快速练习二】已知直线的倾斜角如下,分别求出其斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）300（2）600（3）90 0（ 4）120 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图同学对于中学学过的特别角的三角函数值已经有些生疏,在此既复习特别角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的三角函数值,又熟识直线斜率的求法.对于（ 4）要告知同学们公式是锐角） .同时,依据题目可以总结出一些结论,承上启下.tan1800tan（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0老师：从上面的运算或是正切的运算可以得到：（设直线的

11、倾斜角为）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 090 0k0 90180 0k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 0k0900k不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系,请大家看屏幕. 略问题：任何一条直线都有斜率吗？预案：倾斜角为900 的直线没有斜率 .老师：所以,我们要知道,全部的直线都有倾斜角,但是并不是全部的直线都有斜率的.设计意图加深对倾斜角和斜率之间的关系的懂得.2过两点的直线斜率的公式学习了斜率之后 ,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了. 我们知道,假如给定直线的可编辑资

12、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_倾斜角90,我们当然可以依据斜率的定义ktan求出直线的斜率 . 我们也知道,两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -确定一条直线,也就是给定直线上两点坐标,直线就确定了,倾斜角也就确定了,那么怎么求出该直线的斜率了？也就是：可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品_精品资料_问题： 已知直线 L 上两个点的坐标P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 , x1x2 ,如何求直线 L 的斜率了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于这个问题,同学一下难以回答. 老师可以先给出一个图形（图一） ,肯定要让同学结合图形摸索 ,先让同学提 出思路,老师启示引 导,最终共同完成公式的推导（图 二） , 得出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ky2x2y1 x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图一图二图三老师：我们知道倾斜角仍有可以是钝角,那么当为钝角时,公式仍成立吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

14、精品资料_在 此 老 师 要 适 当 引 导 学 生 , 得 出0180 如 图 三 , 再 利 用 诱 导 公 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan1800tan钝角的情形转化为锐角来求解. 具体过程由同学们自己推导. 让一个同学到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_黑板上推导 .设计意图整个斜率的推导过程表达了数形结合和分类争论的思想,教学中肯定要向学 生不断渗透这些数学思想.师生共同完成了倾斜角为锐角的推导过程,而倾斜角为钝角的推导就通过老师引导,由同学自己完成,让同学真正体会到学问的形成过程,并利用这一过程将外在 的学问点内化成自身学问体系的一部分,完成

15、学问飞跃,完善学问结构.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k问题： 当=00 时,公式y2y1x2x1仍成立吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_预案：当=00 时,直线与x 轴平行或重合 .公式依旧成立 .问题： 与 P1,P2 在直线上的次序有关吗？tan 0 00 . y2y1 ,此时 k0 ,所以当=00 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_让同学摸索,争论 . 同学开头会觉得与次序有关,但是后来有觉得应当是没有关系的,但说不出具体的利用 . 此时老师结合几何画板,再结合图象,拖动点P1, P2 的位置,让同学直观发觉直线 L 的斜率并没有因P

16、1,P2 位置的转变而转变 . 具体推导过程留给同学课外完成.任意拖动转变P1,P2 位置斜率 k 的大小并没有转变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_预案: 无关. 即y1 , y2 和x1 , x2 在公式中的前后次序可以同时交换,但分子、分母不能交换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题： 从几何角度怎样懂得公式中要求x1x2 了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_预案：当用的范畴 .x1x2 ,直线垂直x 轴,倾斜角为900,此时斜率不存在 . 所以肯定要留意公式适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设计意图通过问题引导,层层推动,分解公式难点,挖掘公式中的隐含学问点.同时结合几何画板,加深对公式的懂得.留下肯定的摸索题,将课堂内容延长到课外,培育同学合作探究的才能和习惯 .老师：到现在为止,我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式 . 我们也有两种方式来求直线的斜率了 . 一是利用倾斜角,二是利用直线上两点的坐标 . 而且我们仍可以先利

18、用直线上两点的坐标算出斜率,进而求得直线的倾斜角 .三、学问应用例 1：关于直线的倾斜角和斜率,以下哪些说法是正确的：（1）任一条直线都有倾斜角,也都有斜率（）（2）直线的倾斜角越大,它的斜率就越大（）（3）平行于 x 轴的直线的倾斜角是00 或 1800（）（4）两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等（）设计意图斜率与倾斜角概念的辨析题,巩固对斜率与倾斜角的懂得.例 2：已知 A3,2 , B-4,1, C0,1 ,求直线 AB、BC、CA的斜率,并判定这些直线的倾斜角是锐角仍是钝角 .设计意图斜率公式的直接应用和斜率的正负与倾斜角之间的关系.练习：1求经过点 A2,-1 和点 Ba,-2 的

19、直线 L 的斜率,并争论a 为何值时,直线L 的倾斜角是锐角、钝角、直角？设计意图例2 学问点的延长,同时隐含了分类争论的思想.2已知三点 Aa,2 ,B3, 7 ,C-2 ,-9 a 在一条直线上,求实数a 的值.设计意图加深对斜率公式的懂得,让同学明白斜率的求得与直线上的点的挑选无关.同时此题也是用斜率争论三点共线问题,为后面的学习做铺垫.题组设计意图整个练习的设计环绕斜率和倾斜角绽开,由浅入深.同时留意了学问的承上启下和数学思想的渗透.四、学问小结1、直线的倾斜角定义及其范畴：00180002、倾斜角和斜率k 之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 0900k0

20、90180 0k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00k0900k不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、直线斜率的两种求法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知倾斜角900 ktan时,ky2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如知直线过两点五、板书设计P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 且 x1x2 ,x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - -

21、 - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -教案说明全课以化归思想为主线,达到化未知为已知,化难为易,化几何问题为代数问题的目的.通过利用多媒体课件帮助教学,帮忙同学变抽象为具体,破解教学难点.本节课在教法上力求通过设置问题,层层递进,揭示学问的形成进展过程,讲清学问的来龙 去脉,突出学问的本质特点,整节课突出“问题解决”. 从而使同学对所学的学问懂得得更加深刻.（一）设置层层疑问,促进同学探究在教学过程中依据“教、学、研同步和谐原就”,充分发挥老师的主导作用和同学的主体位置.借助提问,给同学营造一个摸索

22、情境,促进同学探究,给每个同学供应摸索、制造、表现及获得胜利的机会,使同学在民主开放、和谐愉悦的教学氛围中猎取新学问,提高才能,进展自我.（二）引导同学反思 ,渗透数学思想 .数学思想方法是数学问题的灵魂.解析几何是用代数方法争论几何问题,坐标法思想就是解析几何的核心思想 . 本节课留意了启示同学思维,引导同学反思思维过程,留意了数学思想方法的渗透 .在贯穿坐标法思想的同时渗透了数形结合思想、转化化归思想、分类争论思想等.（三）敏捷应用多媒体,突破教学难点多媒体的敏捷运用,很好的帮忙同学突破了难点 .倾斜角概念的形成、斜率公式的得到以及倾斜角和斜率之间的关系等,都是本节课学问的难点 .借助几何画板,直观、动态演示了形成过程和变化趋势,很好的帮忙同学解决了难点,内化了学问 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载