2022年高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题 .docx

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1、精品_精品资料_专题：解圆锥曲线问题常用方法一【学习要点 】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法1椭圆有两种定义.第肯定义中,r1+r 2=2a.其次定义中, r1=ed1r2=ed2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2双曲线有两种定义.第肯定义中,r1r22a ,当 r 1r2 时,留意 r2 的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小值为c-a：其次定义中, r1=ed1, r 2=ed2,特别应留意其次定义的应用,经常将半径与“点到准线距离”相互转化.3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,许多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因

2、直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题, 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,特别是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应留意不要无视判别式的作用.3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”.设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点Ax 1,y1,Bx 2,y2, 弦 AB 中点为 Mx 0,y0,将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一

3、种常见的“设而不求”法,详细有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21 2a就有 x0y0 ka 2b 2x 22y1ab b 20 .y 20 与直线相交于 A 、B ,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222ab1 a0, b0 与直线 l 相交于 A 、B ,设弦 AB 中点为 Mx 0,y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就有 x0a 2y0 k0 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y2

4、=2pxp0 与直线 l 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 Mx 0,y0,就有 2y0k=2p,即 y 0k=p.【典型例题 】例 1、1抛物线 C:y 2=4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小,就点 P的坐标为 2抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B4,1 与到焦点 F 的距离和最小 ,就点 Q 的坐标为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：1A 在抛物线外,如图,连PF,就 PH现,当 A 、P、F 三点共线时,距离和最小.PF ,因而易发A QHPB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2B 在抛物线内,如图,作QRl 交于

5、 R,就当 B、Q、R 三点共F线时,距离和最小.解：12, 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 PF,当 A 、P、F 三点共线时, APPHAPPF最小,此时 AF 的方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程为 y420 x311即 y=22 x-1, 代入 y2 =4x 得 P2,22 ,注：另一交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 1 ,22 ,它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 ,14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过 Q 作 QR l 交于 R,当 B 、Q、R 三点共线时, BQQFBQQR最小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x=1 , Q41 ,14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”相互转化的一个典型例题, 请认真体会.x 2y2例 2、F 是椭圆1 的右焦点, A1,1 为椭圆内肯

7、定点,P 为椭圆上一动43点.yHPAF0Fx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 PAPF 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2PA2 PF的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： PF 为椭圆的一个焦半径, 常需将另一焦半径解：1 4-5设另一焦点为F ,就 F -1,0连 A F ,P FPF 或准线作出来考虑问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPFPA2aPF2a PFPA2aAF45可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时,PAPF 取得最小值为 4-5 .23作出右准线 l,作 PH l 交于 H ,因 a2=4, b2=3 , c2=1, a=2, c=1 ,e= 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PF1 PH2,即2 PFPH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA2 PFPAPHa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A 、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为xA413c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、动圆 M 与圆 C1:x+1 2+y2=36 内切 ,

9、与圆 C2:x-1 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程.分析： 作图时,要留意相切时的“图形特点”：两个圆心与切点y这三点共线如图中的A 、M 、C 共线, B、D、M 共线.列式的主C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要途径是动圆的“半径等于半径”如图中的MCMD .MD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图,MCMD ,A0 B5x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ACMAMBDB 即6MAMB2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

10、品资料_ MAMB8* x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M 的轨迹为椭圆, 2a=8,a=4, c=1 ,b2=15 轨迹方程为11615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22点评：得到方程 * 后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式列式求解,即列出 x1 2y x1 2y4 ,再移项,平方,相当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐；例 4、 ABC 中, B-5,0,C5,0, 且 sinC-sinB=3sinA, 求点 A 的轨迹方程.5可

11、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 由于 sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2RR 为外接圆半径,可转化为边长的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=53 2RsinA5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB即 ABAC35AC6BC*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点 2a=6, 2c=10 a=3, c=5, b=4x 2y 2可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品_精品资料_所求轨迹方程为1x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_916点评： 要留意利用定义直接解题,这里由* 式直接用定义说明白轨迹双曲线右支例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到x 轴的最短距离.分析：1可直接利用抛物线设点,如设Ax 1,x12, Bx 2, X 22 ,又设 AB 中点为 Mx 0y0 用弦长公式及中点公式得出y0 关于 x0 的函数表达式, 再用函数思想求出最短距离.2M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法.解法一： 设 Ax 1,x

13、 12, Bx 2,x 22, AB 中点 Mx 0, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1x 2 x 2x 2 29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122就 x12x1x 22 x 02x 22 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得 x1 -x 221+x 1+x 22=92即x 1+x 22-4x 1x 2 1+x 1+x22=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由、得 2x1x2=2x02-2y0=4x 0 -2y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0

14、代入得 2x 02-8x2 -4y0 1+2x 02=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 y04x 290014x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 y004 x29004 x24 x219104 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2915,5y04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 4x0 +1=3即 x02时, y0

15、min25 此时 M 42 , 5 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二： 如图,2 MM 2AA2BB2AFBFAB3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MM 2313B, 即 MM 1,y242M5A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ MM 1, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值.4A10 M1B1 xA2M2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ M 到 x 轴的最短距离为 54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点

16、评： 解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1, x2,从而形成 y0 关于 x0的函数,这是一种“设而不求”的方法.而解法二充分利用了抛物线的定义,奇妙的将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A 、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“压扁”时, 两边之和等于第三边的属性,简捷的求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2例 6、已知椭圆my1 22m1m5 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_及准线从左到右依次变于A 、B、C、D、设 fm=ABCD ,1求 fm, 2求fm 的最值.分析： 此题初看很复杂,对fm 的结构不知如何运算,因A 、B 来源于“不同系统”,A 在准线上, B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上, D 在准线上,可见直接求解较繁, 将这些线段“投影”到x 轴上,立刻可得防可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f mxBxA 2xDxC 22 x Bx A xDXC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xBxC x AxD yDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品_精品资料_2 xBX C 此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可.F10 F2xBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：1椭圆 x2y1 中, a2=m , b2=m-1 ,c2=1,左焦点 F1-1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm1就 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即 m-1x 2+my 2-mm-1=0得m-1x 2 +mx+1 2-m 2+m=0 2m-1x 2+2mx+2m-m 2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Bx 1,y1 ,Cx 2 ,y2 ,就 x1+x2=-2

19、m22m1m5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f mABCD2 xBxA xDxC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1x2 x AxC 2 x1x222m2m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2f m2 2m112 m12 112m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m=5 时,f mmin1029可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m=2 时,f m42max3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题因最终需求xBx C ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0BC 中点为 Mx 0,y0,通过将 B、C 坐标代入作差,得my0k0 ,将 y0=x0 +1,m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0k=1 代入得mx01m1

21、0 , x0m2m1,可见 x BxC2m 2 m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当然, 解此题的关键在于对f mABCD的熟悉, 通过线段在 x 轴的“投可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_影”发觉f mxBxC是解此题的要点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【同步练习 】x 21、已知： F1, F2 是双曲线2ay1 的左、右焦点,过F1 作直线交双曲线左2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

22、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_支于点 A 、B,假设 ABm, ABF 2 的周长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、4aB、 4a+mC、4a+2mD、4a-m2、假设点 P 到点 F4,0的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1,就 P 点的轨迹方程是A 、y2=-16xB 、y2=-32xC、 y2 =16xD 、y2=32x3、已知 ABC 的三边 AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列,且ABAC ,点B、 C 的坐标分别为 -1, 0, 1, 0,就顶点 A 的轨迹方程是x 2A 、4x 2C、4y 23y 231B、1 x0D、x

23、 24x 24y 23y 231 x01 x0且y04、过原点的椭圆的一个焦点为F1, 0,其长轴长为 4,就椭圆中心的轨迹方程是A 、 x1 22y294x1B 、 x1 222y94 x1C、 x2 y12294x1D 、 x2 y12294 x1x25、已知双曲线9y2161 上一点 M 的横坐标为 4,就点 M 到左焦点的距离是6、抛物线y=2x 2 截一组斜率为2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p-2,0,就弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x

24、 2-y 2=1 的交点个数只有一个,就k=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y210、设点 P 是椭圆1 上的动点, F1, F2 是椭圆的两个焦点,求sin259F1PF2 的最大值.11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,假设直线l 与此椭圆相交于 A 、B 两点,且 AB 中点 M 为-2 , 1, AB4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x212、已知直线l 和双曲线2a依次为 A 、B、C、D .求证： AB2y1a b 2CD .0, b0 及其渐近线的

25、交点从左到右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【参考答案 】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、CAF2AF12a, BF2BF12a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m, 选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线p=8 开口向右,就方程为 y2=16x ,选 C3、D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABAC2

26、2 ,且 ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A 、B、C 三点不共线,即 y0,应选 D .4、A设中心为 x, y,就另一焦点为 2x-1 ,2y ,就原点到两焦点距离和为4 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x1 2 2y 24 , x1 2y2924可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ca,x1 2y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x-1 2+y 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、y2 =x+2x2yy221设 Ax 1, y1, Bx

27、2, y 2, AB 中点 Mx ,y,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2212 x1, y 22 x2 ,122xy1x2 ,x1y2 y1x2y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k ABkMPy0 ,y2 yx2x22 ,即 y 2=x+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又弦中点在已知抛物线内P,即 y22x ,即 x+22 8、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 24, c28, c22 ,令 x22 代入方程得 8-y 2=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y2=4, y= 2,弦长为

28、49、2或 1y=kx+1 代入 x 2-y 2=1 得 x2-kx+1 2-1=0 1-k 2x 2 -2kx-2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k 200 得 4k2+81-k 2=0, k=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1-k 2=0 得 k= 110、解： a2=25 , b2=9 ,c2=16y设 F1、 F2 为左、右焦点,就F1-4 , 0F24, 0P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 PF1r1 , PF222就 r1r22r2,F1PF2F1F2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr122r1r2c

29、os 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2-得 2r1r2 1+cos=4b 24b22b2 1+cos= r1+r22r1r2, r1r2 的最大值为 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2r1r2r1r22b218可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1+cos的最小值为2a7,即 1+cos257可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos, 025arccos就当25时, sin取值得最大值 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 sin F1PF2 的最大值为1.x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下

30、载精品_精品资料_11、设椭圆方程为2a21ab0b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2由题意： C、2C 、c 成等差数列,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 4cca cc即a 22c 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2=2a2-b2 , a2=2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆方程为x 22b2y1 ,设 Ax 1, y1,Bx 2, y22b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2就12b 22y11b 22x22b 22y21b 2可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ -得22x1x222b220y1y22b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xm 2b 2ymk0 b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即2k20 k=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直 线 AB方 程 为 y-1=x+2即 y=x+3 ,代 入 椭 圆 方 程 即 x2+2y 2-2b2=0得x2 +2x+3 2-2b2=03x 2+12x+18-2b 2=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABx1x2111122312182b 2 243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2解得 b2=12,椭圆方程为1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0241212、证明：设 Ax 1,y 1, Dx 2, y2,AD 中点为 Mx 0, y0直线 l 的斜率为 k,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_