2022年高中数学必修一至必修五知识点总结人教版 3.docx

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1、精品_精品资料_必修 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、集合有关概念第一章 集合与函数概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性.2.元素的互异性.3.元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的

2、元素是否一样,不需考查排列次序是否一样.(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法.非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A记作 a A , 相反, a 不属于集合 A 记作 aA列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.描述法：

3、将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x R| x-32 或x| x-324、集合的分类：（ 1）有限集含有有限个元素的集合（ 2）无限集含有无限个元素的集合（ 3）空集不含任何元素的集合例： x | x 25二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集留意： 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（2） A 与 B 是同一集合.反之 : 集合 A 不包含于集合B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A2“相等”关系

4、5 5,且 5 5,就 5=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实例：设A= x | x 210B=-1,1“元素相同”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论：对于两个集合A 与 B ,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合 B ,即： A=B任何一个集合是它本身的子集.AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真子集 :假如 AB, 且 BA 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB 或 BA假如 AB, BC , 那么 AC假如 AB同时 BA 那么 A=B3

5、. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.三、集合的运算1交集的定义：一般的,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作 A B读作” A 交 B” ,即 A B=x|x A ,且 x B 2、并集的定义：一般的,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作： A B 读作” A 并 B” ,即 A B=x|x A,或 x B 3、交集与并集的性质： A A = A, A = , A B = B A , A A = A, A = A ,A B = B A.4、全集与补集（ 1

6、）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即）,由 S 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）（ 2）全集： 假如集合 S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用 U 来表示.四、函数的有关概念1函数的概念：设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=fx , x A 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.与x 的值相

7、对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域留意：假如只给出解析式y=fx ,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合.函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.2 偶次方根的被开方数不小于零.3 对数式的真数必需大于零.4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不行以等于零6实际问题中的函

8、数的定义域仍要保证明际问题有意义.又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2值域补充(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟识把握一次函数、二次函数、

9、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.3. 函数图象学问归纳(1) 定义： 在平面直角坐标系中, 以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 Px,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象集合 C 上每一点的坐标 x , y 均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意y=fx 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x ,y,均在 C 上 .即记为 C= Px,y | y= fx , x A , 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 ,也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只

10、有一个交点的如干条曲线或离散点组成.(2) 画法A 、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表, 以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ,最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B 、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质.2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.发觉解题中的错误.4. 明白区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.（2）无穷区间. （ 3）区间的数轴表示5. 什么叫做映射一般的,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确

11、定的对应法就f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应, 那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“ f： A B ”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 a A,b B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A 、B 及对应法就 f 是确定的.对 应法就有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的.对于映射 f ：A B 来说, 就应满意：（） 集合

12、A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯独的. （） 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个. （）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据. 2 解析法：必需注明函数的定义域.3 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域.化简函数的解析式.观看函数的特点.4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点 解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.补充一：分段函数在定义域的不同部分

13、上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（ 1）分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数. （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,x A, 就 y=fgx=Fx, x A称为 f、g 的复合函数.例如 :y=2sinxy=2cos2x+17. 函数单调性（ 1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个

14、自变量a,b,当 ab 时, 都有 fafb ,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数.区间D 称为 y=fx 的单调增区间（睇清晰课本单调区可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间的概念）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值a, b,当 ab 时,都有 fa fb ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.2 必需是对于区间 D 内的任意两个自变量a, b.当 ab 时,总有 fafb.（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数

15、y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取 a,bD ,且 a1,且 n N * 当 n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数此时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示式子 n a 叫做根式（ radical ）,这里 n 叫做根指数（ radical exponent）, a 叫做被开方数（ radicand）当 n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n

16、次方根用符号n a 表示正的 n 次方根与负的n 次方根可以合并成n a（ a 0）由此可得：负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：当 n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n a n| a |a a0 a a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：mm11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nnam a0, m, nN * , n1) , anma n a0,m, nanmN* , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0

17、 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a r ara r s a0, r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ars（ 2）rsa a0, r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）ab rrsa aa0, r , sR 可编

18、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般的,函数y其中 x 是自变量,函数的定义域为Ra x a0,且a1 叫做指数函数（ exponential function ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_332.52.5221.51.51 10.51 10.50-0 .51-112345678-1123456780-0 .51-1-1-1 .5

19、-1 .5-2-2-2 .5-2 .5图象特点函数性质a10a1a1函数图象都在 y 轴右侧0a10,）图象关于原点和 y 轴不对称向 y 轴正负方向无限延长函数的定义域为（非奇非偶函数函数的值域为R函数图象都过定点（ 1, 0）log a 10增函数减函数x1, log a x00x1, log a x0x1,loga x0x1, log a x0自左向自左向右看,右看,图渐上升象逐图渐下降象逐第一象第一象限 的 图 象 纵限 的 图 象纵坐标都大于 0坐标都大于0第 二 象第 二象限 的 图 象 纵限 的 图 象纵坐标都小于 0坐标都小于00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

20、三、幂函数1、幂函数定义：一般的,形如2、幂函数性质归纳yxaR 的函数称为幂函数,其中为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）全部的幂函数在（ 0, +）都有定义,并且图象都过点（1, 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 0, 上是增函数特殊的,当1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_幂函数的图象下凸.当01时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内,当x 从右边趋向原点可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_时, 图象在 y 轴右方无限的靠近y 轴正半轴, 当 x 趋于时, 图象在 x 轴上方无限的靠近x 轴正半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方程的根与函数的零点第三章 函数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成立的实数x叫做函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数零点的意义： 函数 y与 x 轴交点的横坐标.即：f x 的零点就是方程f x0 实数根, 亦即函数 yf x 的图象可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax 2bxc

23、a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_） ,方程有两个零点） ,方程ax 2ax 2bxcbxc0 有两不等实根, 二次函数的图象与x 轴有两个交点, 二次函数0 有两相等实根 （二重根）,二次函数的图象与x 轴有一个交点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数有一个二重零点或二阶零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）,方程ax 2bxc0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点必修 2第一章立体几何初步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 特殊几何体表面积公式（c

24、为底面周长, h 为高,h 为斜高, l 为母线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S直棱柱侧面积S正棱锥侧面积ch1 ch2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1S1 cc h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正棱台侧面积S圆柱侧22 rh2S圆柱表2 r rl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S圆锥侧面积rlS圆锥表r rl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S圆台侧面积rR lS圆台表r 2rlRlR 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 柱体、锥体、台体的体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_V柱Sh锥V1 Sh3V1 S台3SSS h可编辑资料 - - -