2022年高中数学北师大版选修-学案数学归纳法版含解析.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4数学归纳法1.明白数学归纳法的思想实质,把握数学归纳法的两个步骤.重点2.体会归纳法原理,并能应用数学归纳法证明简洁的命题.重点、难点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_教材整理数学归纳法基础初探可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_阅读教材 P16P18,完成以下问题 . 1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：1验证：当 n 取第一个值 n0如 n01 或 2 等时,命题成立.2在假设当 nknN ,k n0时命题

2、成立的前提下,推出当n k 1 时,命题成立 .依据12可以肯定命题对一切从n0 开头的正整数n 都成立.2.应用数学归纳法留意的问题1用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题 .2在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不行.3步骤2的证明必需以“假设当nkkn0,kN 时命题成立”为条件 .判定正确的打“”,错误的打“”1与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.2数学归纳法的第一步n0 的初始值肯定为1.3数学归纳法的两个步骤缺一不行.【答案】123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 16

3、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨沟通：疑问 1：解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：小组合作型 用数学归纳法证明等式1 用 数 学 归 纳 法 证 明 等 式1 2 3 n 3 （ n 3）（ n4）2nN时,第一步验证n1 时,左边应取的项是 A.1B.12C.123D.12342 用数 学 归纳 法 证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1n N,“从 k 到 k1”左端增乘的代

4、数式为 .【导学号： 94210022】【自主解答】1当 n1 时,左边应为 1234,应选 D. 2令 fnn 1n2nn,就 fkk1 k2kk,f（k1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fk 1 k 2k 3k k2k 12k 2 , 所 以（ 2k1）（ 2k2）22k1.k 1【答案】1D222 k1数学归纳法证题的三个关键点f（k）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.验证是基础找准起点 , 奠基要稳 ,有些问题中验证的初始值不肯定是1.2. 递推是关键数学归纳法的实质在于递推 ,所以从 “k”到“ k 1”的过程中 ,要正确分析式子项数的变化 .关键是弄清等式两边的构成规律 ,弄清由 n k 到 nk1 时, 等式的两边会增加多少项、增加怎样的项 .3. 利用假设是核心在其次步证明 nk1 成立时 ,肯定要利用归纳假设 ,即必需把归纳假设 “n k 时命题成立 ” 作为条件来导出 “nk1”, 在书写 fk1时,肯定要把包含 fk的式子写出来 ,特别是

6、 fk中的最终一项 , 这是数学归纳法的核心 ,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 . 再 练 一 题 1.下面四个判定中,正确选项 A.式子 1kk2 kn nN 中,当 n 1 时,式子的值为 12n 1B.式子 1k k knN 中,当 n 1 时,式子的值为 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.式子 111111nN 中,当 n 1 时,式子的值为 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_232n123111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1D.设 fn n n 3n211nN , 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23

7、就 fk1 fk 3k 3k 3k4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】A 中,n1 时,式子 1k.B 中, n 1 时,式子 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1123C 中, n 1 时,式子 1 .11D 中, fk 1fk3k 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23k3 3k4 k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -故正确选项 C.【答案】C用数学归纳法证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1用数学归纳法证明不等式11113 2,n N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2n 24n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 的过程中,由n k 推导 nk1 时,不等式的左边增加的式子是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明：不等式11 1 1 2nnN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23n【出色点拨】1写出当 n k 时左边的

9、式子 ,和当 nk1 时左边的式子 ,比较即可 .2在由 nk 到 nk1 推导过程中利用放缩法 ,在利用放缩时 ,留意放缩的度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【自主解答】1当 nk1 时左边的代数式是1k 21131k 2k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k 2,增加了两项112k 与12k,但是少了一项21,故不等式的左边增加的k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子是1111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k 12k2

10、k1（2k1）（ 2k 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】1（2k1）（ 2k2）2证明： 当 n1 时,左边 1,右边 2, 左边右边,不等式成立 .假设当 nkk1 且 kN时, 不等式成立 ,即 1 1 1 1 2k.23k就当 nk 1 时,1 1 1 1 123kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k12kk11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（k） 2（k 1） 2 124.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设当 nkk2 且 kN时不等式成立 ,即1

11、1 113,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k22k 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么当 nk1 时,111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k 32（k1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2k32k2k 12k2k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1131k2k32112k2k111312k21k1可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品_精品资料_1242k 2k 1k242k 2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.242（2k1）（ k1） 24这就是说 , 当 nk1 时, 不等式也成立 .由 可知,原不等式对任意大于1 的正整数都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳 猜想证明nnSnn已知数列 a的前项和为,其中 a Snn（2n1）且 a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.1 求 a2,a3. 2猜想数列 an 的通项公式,并证明

13、.【出色点拨】1令 n2,3 可分别求 a2,a3. 2依据 a1, a2,a3 的值,找出规律 ,猜想 an,再用数学归纳法证明 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【自主解答】1a2 S22（221）a1 a2136,a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a2 1 , 类似的求得 a3 1 .1535可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - -

14、- - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 由 a1113,a2315, a35, 猜得：7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1（ 2n1）（ 2n1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 当 n 1 时,由1可知等式成立.假设当 nk 时猜想成立 ,即 ak1（2k1）（ 2k 1）,那么,当 nk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,由题设 aSn,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn（ 2n1）SkSk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 ak k（2k1）,

15、 ak1（k1）（ 2k1）,所以 Skk2k 1akk2k 11k,（2k 1）（ 2k 1）2k1Sk 1k 12k 1ak 1,k1ak 1Sk 1 Skk 12k 1ak12k .k1因此,k2k3ak12k ,所以 ak 11（ 2k1）（ 2k3）12（ k 1） 12 （k1） 1 .这就证明白当 nk1 时命题成立 .由 可知命题对任何 nN 都成立 .1.“归纳猜想证明”的一般环节2.“归纳猜想证明”的主要题型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - -

16、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1已知数列的递推公式 , 求通项或前 n 项和. 2由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在 .3给出一些简洁的命题 n 1,2,3,猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题 . 再 练 一 题 3.数列 an 满意 Sn2n anSn 为数列 an 的前 n 项和,先运算数列的前 4 项,再猜想 an,并证明 .【解】由 a12a1, 得 a1 1.2由 a1a222a2, 得 a2 374由 a1a2a3 2 3 a3,得 a3 .8

17、 .由 a1a2a3 a424a4,得 a4 15n2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想 an2n1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面证明猜想正确：1当 n1 时, 由上面的运算可知猜想成立.2k12假设当 n k 时猜想成立 ,就有 ak 2k 1 ,当 n k 1 时,Sk ak12k 1ak 1,1ak 1 22 k 1Sk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12k12k 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12 2k 2k 1 2（ k 1） 1,所以,当 nk1 时,等式也成立 .2n1由1和2可知,an 2n

18、 1 对任意正整数 n 都成立 .探究共研型 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -用数学归纳法证明整除性问题探究 1数学归纳法的第一步n 的初始值是否肯定为1.【提示】不肯定, 如证明 n 边形的内角和为 n 2 180时,第一个值为n0 3.探究 2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】第一步是验证命题递推的基础,其次步是论证命题递推

19、的依据, 这两个步骤缺一不行 , 只完成步骤 1而缺少步骤 2就作出判定 , 可能得出不正确的结论 .由于单靠步骤 1,无法递推下去 ,即 n 取 n0 以后的数列命题是否正确, 我们无法判定 , 同样只有步骤 2而缺少步骤 1时,也可能得出不正确的结论, 缺少步骤 1这个基础 , 假设就失去了成立的前提,步骤2也就没有意义了 .用数学归纳法证明： n3 n13 n23 能被 9 整除nN.【出色点拨】在其次步时留意依据归纳假设进行拼凑.【自主解答】1当 n1 时,132333 36 能被 9 整除,所以结论成立. 2假设当 n kk N,k1时结论成立 ,即 k3k13k23 能被 9 整除

20、.就当 nk 1 时,k13k23k 33 k3k 13k 23 k 33 k3 k3k13 k 23 9k2 27k27 k3k13 k 23 9k23k 3.由于 k3k 13k 23 能被 9 整除,9k2 3k3也能被 9 整除, 所以k13 k23k33 也能被 9 整除,即 n k 1 时结论也成立 . 由12知命题对一切 nN 成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明, 证明的关键在于其次步 中,依据归纳假设 ,将 nk1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来 .再练一题 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -

21、- - - - - - - -第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4.用数学归纳法证明“ n35n 能被 6 整除”的过程中,当n k 1 时,对式子k13 5k 1应变形为 .【导学号： 94210023】【解析】由 nk 成立推证 n k 1 成立时必需用上归纳假设, k13 5k 1k3 5k 3kk1 6.【答案】k3 5k3kk 16构建体系 定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数学归纳法 应用 证明等式 证明不等式 证

22、明整除性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于 n2 ”时,归纳奠基中n0的取值应为 A.1B.2C.3D.4【解析】边数最少的凸 n 边形为三角形 ,故 n03.【答案】C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.用数学归纳法证明1 a a2 an11an 21an N,a1,在验证 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 成立时,左边所得的项为A.1C.1aB.1aa2D.1aa2 a3【解析】当 n1 时, n 1 2, 故左边所得的项为1aa2.【答案】B3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式时,当nk

23、 时,表达式为 1427 k3k 1kk 12,就当 nk 1 时,表达式为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【导学号： 94210024】【解析】当 n k 1 时,应将表达式 1 4 2 7k3k 1 kk12中的 k 更换为 k1.【答案】1427 k3k1 k13k4 k1k22n24.以下是用数学归纳法证明“n N时, 2 n

24、 ”的过程,证明： 1当 n1时, 2112,不等式明显成立 .k22假设当 n kk N时不等式成立,即2 k .那么,当 nk1 时, 2k 122k 2k2kk2 k2k22k1k12.即当 nk 1 时不等式也成立 .依据 1 和2 , 可 知 对 任 何 nN 不 等 式 都 成 立 . 其中 错误 的步 骤为 填序号 .【解析】在 2k1 2 2k2k2k k2k2k2 2k1 中用了 k22k 1,这是一个不确定的结论 .如 k2 时,k22k 1.【答案】25.用数学归纳法证明： 对于任意正整数n,n2 1 2n2 22 nn2n2 n2（n1）（ n1）可编辑资料 - - -

25、 欢迎下载精品_精品资料_4.【证明】1当 n1 时,左边 1210,右边12（11）（ 1 1）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0,所以等式成立 .22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设当nkkN 时等式成立 ,即kk2（ k1）（ k 1）4.1 2k 2kk k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么当 nk1 时,有k12 1 2k1222k k12k2 k 1 k12k 12k2 12k2 22 kk2 k22k11 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2（

26、k1）（ k 1）42k1k（k 1） 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14kk 1kk1 22k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -kk 1k2 3k214（ k1）2 （ k 1） 1 （ k 1） 14.所以当 nk1 时等式成立 .由12知,对任意 nN 等式成立 .我仍有这些不足：12我的课下提升方案：12学业

27、分层测评 六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题建议用时： 45 分钟 学业达标 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2022 广州高二检测 用数学归纳法证明3A.n1B.n2C.n3D.n4n n3,nN ,第一步验证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由题知, n 的最小值为 3, 所以第一步验证 n3 是否成立 .【答案】C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.已知 fn1111 2, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1n2n1132A.fn共

28、有 n 项,当 n 2 时, f2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B.fn共有 n1 项,当 n2 时, f21114 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.fn共有 n2n 项,当 n 2 时, f21123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - D.fn共有 n2n1 项,当 n 2 时, f21112

29、34【解析】结合 fn中各项的特点可知 ,分子均为 1, 分母为 n, n 1,n2 的连续自然数共有n2n 1 个,且 f2111 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】D234.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23.用数学归纳法证明1 2 3 n2 n式左边应在 nk 的基础上加上 A.k2 1B.k12（k1）4（ k1）2,就当 nk1nN 时,等【导学号： 94210025】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.2D.k21k22 k23 k 12【解析】当 nk 时,等式左边 12

30、k2,当 nk1 时, 等式左边 12 k2 k2 1 k12, 应选 D.【答案】D 4.设 fx是定义在正整数集上的函数,且fx满意：“当 fkk2 成立时,总可推出 fk1 k12 成立”,那么,以下命题总成立的是 A.如 f39 成立,就当 k1 时,均有 fk k2 成立 B.如 f525 成立,就当 k4 时,均有 fk k2 成立C.如 f749 成立,就当 k8 时,均有 fkk2 成立D.如 f425 成立,就当 k4 时,均为 fk k2 成立【解析】 对于 A,如 f39 成立,由题意只可得出当 k3 时,均有 fk k2 成立,故 A 错.对于 B,如 f525 成立,就当 k 5 时均有 fk k2 成立,故 B 错.对于 C,应改为 “如 f749 成立, 就当 k 7 时,均有 fk k2 成立.”【答案】D5.已知命题 1222 2n12n1 及其证明：1当 n1 时,左边 1,右边 2111,所以等式成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 nkk1,k N时等式成立,即 1 2 22 2k12k1 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - -