2022年高中数学平面解析几何初步经典例题.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -直线和圆的方程一、学问导学221两点间的距离公式: 不论A x 1, y 1 , B x 2, y 2 在坐标平面上什么位置,都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d=|AB|= x1x2 y1y2 ,特殊的,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2 x 1| 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|AB|=|y 2- y 1|.2定比分点公式 : 定比分点公式是解决共线三点 A x 1, y 1 ,B x 2, y 2 , P x , y 之间数量关系的一个公式,其中 的值是起

2、点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比 . 这里起点、分点、终点的位置是可以任意挑选的,一旦选定后 的值也就随之确定了 . 如以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 为起点, B 为终点, P 为分点,就定比分点公式是x x11y y11x2. 当 P 点为 AB 的中点时,y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1,此时中点坐标公式是x x1x22.y y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3直线的倾斜角和斜率的关系（ 1）每一条直线都有倾斜角,但不肯定有斜率.（ 2）斜率存在的直线,其斜率k

3、 与倾斜角 之间的关系是k =tan . 4确定直线方程需要有两个相互独立的条件.直线方程的形式许多,但必需留意各种形式的直线方程的适用范畴.名称方程说明适用条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜截式ykxbk 为直线的斜率b 为直线的纵截距倾斜角为90的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式yy0k xx0 x0 , y0 为直线上的倾斜角为90的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知点, k 为直线的斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式截距式yy1

4、= xx1 y2y1x2x1xy+=1ab x1 , y1 , x2 , y2 是直线上两个已知点a 为直线的横截距b 为直线的纵截距与两坐标轴平行的直线不能用此式过（ 0, 0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式AxByC0,分别BABA、B 不全为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为斜率、横截距和纵截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5两条直线的夹角. 当两直线的斜率k , k都存在且 k k -1时,tan = k 2k1,可编辑资料 - - - 欢迎

5、下载精品_精品资料_12121k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直线的斜率不存在时,可结合图形判定. 另外仍应留意到： “到角”公式与“夹角”公式的1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -区分 .6怎么判定两直线是否平行或垂直？判定两直线是否平行或垂直时,如两直线的斜率都存在, 可以用斜率的关系来判定.如直线的斜率不存在,

6、就必需用一般式的平行垂直条件来判定 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）斜率存在且不重合的两条直线l 1 yk1xb1 , l 2 yk2 xb2 ,有以下结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2k1= k2 ,且 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2k1k2 = -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）对于直线 l 1 A1 xB 2 都不为零时

7、,有以下结论：B1 yC10 , l 2 A2 xB2 yC20 ,当 A 1, A 2, B 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2A1 = B1 C1 A2B2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 l 2A 1 A 2+ B 1 B 2 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 与 l 2 相交A1B1A2B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l 1 与 l 2 重合A1 = B1 A2B2= C1C2

8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7点到直线的距离公式.（ 1）已知一点P（ x0 , y0 ）及一条直线l ： AxByC0 ,就点 P 到直线 l 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d= | Ax0By0C |22.AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ） 两 平 行 直 线 l 1:AxByC10 ,l 2:AxByC20 之 间 的 距 离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d

9、= | C1C2 | .A2B 28确定圆方程需要有三个相互独立的条件.圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）圆的标准方程：xa 2 yb 2r 2 ,其中（ a ,b）是圆心坐标,r 是圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径.（ 2）圆的一般方程：x 2y2DxEyF0 （ D 2E 24F 0）,圆心坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为（ -D , - E ）,半径为 r =D222E

10、 24F.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、疑难学问导析1直线与圆的位置关系的判定方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）方法一直线： AxByC0 .圆： x2y 2DxEyF0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

11、品_精品资料_AxByC0消元x2y 2DxEyF0一元二次方程0相交判别式 b2 4ac0相切0相离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）方法二直线 :AxByC0 .圆： xa) 2 yb 2r 2 ,圆心（ a , b）到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线的距离为d= | AaBbC |dr相离dr相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B2dr相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1

12、、O2,半径分别为r 1 , r 2, |O 1O2| 为圆心距,就两圆位置关系如下：|O1 O2 | r 1+ r 2两圆外离.|O1 O2 |= r 1+ r 2两圆外切.|r 1- r 2|O 1O2| r 1+ r 2两圆相交.| O 1O2 |=|r 1 - r 2|两圆内切.0| O 1O2|r 1- r 2|两圆内含 .三、经典例题导讲例 1 直线 l 经过P（2,3 ） , 且在 x,y轴上的截距相等, 试求该直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x错解 ：设直线方程为:ay1 , 又过 P2,3, 2ba31 , 求得 a=5b可编辑资料 - - - 欢迎

13、下载精品_精品资料_直线方程为x+y-5=0.xy错因 ：直线方程的截距式:1 的条件是 : a 0 且 b 0, 此题忽视了ab0 这一情ab形.正解 ：在原解的基础上, 再补充这样的过程: 当直线过 0,0时, 此时斜率为 : k303 ,2023直线方程为y=x23综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y=x .2例 2 已知动点P 到 y 轴的距离的3 倍等于它到点A1,3 的距离的平方, 求动点 P 的轨迹方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解 ：设动点 P 坐标为 x,y.由已知 3 x x12 y3 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

14、资料_2化简 3 x =x 2-2x+1+y 2-6y+9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 x 0 时得 x-5x+y-6y+10=0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 x 0 时得 x 2+ x+y 2-6y+10=0 .错因 ：上述过程清晰点到y 轴距离的意义

15、及两点间距离公式, 并且正确应用肯定值定义将方程分类化简 , 但进一步讨论化简后的两个方程, 配方后得5222112232 +y-3=4和x+2 +y-3= -4x-两个平方数之和不行能为负数, 故方程的情形不会显现.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52221122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解：接前面的过程 , 方程化为x- 2 +y-3=4 , 方程化为 x+ 2 +y-3= -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34 , 由于两个平方数之和不行能为负数, 故所求动点P 的轨迹方程为: x-x

16、 0522122 +y-3=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222例 3 m是什么数时,关于x,y的方程（ 2m+m-1）x +（ m-m+2）y +m+2=0的图象表示一个圆？22错解： 欲使方程Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要A=C 0,222得 2m+m-1=m-m+2,即 m+2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3 ,当 m=1 或 m=-3 时, x2 和 y 2 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆22错因： A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A=C

17、0 且FA2 0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解： 欲使方程Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要A=C 0,得 2m2+m-1=m2-m+2,即 m2+2m-3=0,解得 m=1,m =-3 ,1222(1) 当 m=1时,方程为2x +2y =-3 不合题意,舍去.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 m=-3 时,方程为14x 2+14y2=1, 即 x2+y2= 114, 原方程的图形表示圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 自点 A-3 , 3 发出的光线L 射到 x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆22x +

18、y -4x-4y+7 0 相切,求光线L 所在的直线方程.错解： 设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称, L 过点 A-3 ,3 ,点 A 关于 x 轴的对称点 A -3 , -3 ,于是 L过 A-3 ,-3.设 L的斜率为k,就 L的方程为y-3k x-3,即 kx-y+3k-3 0,已知圆方程即 x-22+y-22 1,圆心 O的坐标为 2 , 2 ,半径 r 1因 L和已知圆相切,就O到 L的距离等于半径r 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k23k3即k 2125k51k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 12k -25k+1

19、2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k4L的方程为y+3 34 x+33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4x-3y+3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+3 0.错因： 漏解正解： 设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称, L 过点 A-3 ,3 ,点 A 关于 x 轴的对称点 A -3 , -3 ,于是 L过 A-3 ,-3.设 L的斜率为k,就 L的方程为y-3k x-3,即 kx-y+3k-3 0,已知圆方程即x-22+y-22 1,圆心 O的坐标为 2 , 2 ,半径 r 1因 L和已知圆相切,就O到 L

20、的距离等于半径r 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k23k3即k 2125k51k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 12k -25k+12 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k4 或 k 334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

21、料_L的方程为y+34 x+3;或 y+3 33 x+3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+3 0 或 3x+4y-3 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例5 求过直线x2 y40 和圆 x 2y 22 x4y10 的交点,且满意以下条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_之一的圆的方程：（ 1） 过原点.（ 2）有最小面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设所求圆的方程是：x 2y 22x4 y1x2 y40可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： x2y 2（1）由于圆过原点,所以142x2 20 ,即14y140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为：x2y 27 x7 y0 .42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）将圆系方程化为标准式,有：252445522x2y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当其半径最小时,圆的面积最小,此时2为所求 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故满意条件的圆的方程是22x4y84 .

23、555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：（ 1）直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较便利.当然也可以待定系数法.（2）面积最小时即圆半径最小.也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 Ax1 , y1 ,Bx2 , y2 （x1 x2 0）是抛物线y 22 px p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的两个动点, O是坐标原点,向量OA,OB 满意 OAOB OAOB . 设圆 C 的可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程为 x 2y x1x2 x y1y2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1）证明线段AB 是圆 C 的直径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）当圆 C 的圆心到直线x2 y0 的距离的最小值为25 时,求 p 的值 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）证明 OAOB OAOB ,（ OAOB ） （ OAOB ） ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得：OAOB 0x1x2 y1 y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 M（x, y ）是以线段AB为直径的圆上的任意一点,就MAMB 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品_精品资料_即xx1 xx2 yy1 yy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得： x 2y x1x2 x y1y2 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2故线段 AB是圆 C 的直径 .（2）设圆 C 的圆心为 C（ x, y ）,就x x1x2 2y y1y222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y12 px1 , y22 px2 p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 x222y1y22可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_4 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 x1 x2 y1 y2 0,x1 x2 y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y1 y2y1y2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 p x1 x2 0, y1 y2 02 y1 y2 4 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1x2 21 y 214 p2y212 y14 p2y22 y1 y2 1y y 4 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12y2p122p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、_精品资料_所以圆心的轨迹方程为y 2px2 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心 C 到直线 x2 y0 的距离为,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| x2 y |p| yp 2p 2 |555p| 1 y 22 p 2 2 y |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

29、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y p 时,有最小值 p 2.四、典型习题导练p ,由题设得5p 2555yy=2x+b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1直线3xy230 截圆x2y 24 得的劣弧所对的A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心角为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 6B. 4C. 3D. 2O1x22B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知直线x=aa 0 和圆 x-1 A.5B.4C.3D.2+y =4 相切,那么 a 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

30、精品资料_3. 假如实数x 、 y 满意等式为：.x-222+y ,就y 的最大值x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设正方形ABCD（ A、B、C、D 顺时针排列）的外接圆方程为x1+y -6x+a=0 （ a9）, C、 D 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所在直线l 的斜率为.3（ 1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率.（ 2）假如在x 轴上方的A、 B 两点在一条以原点为顶点,以x 轴为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l 的方程.（ 3）假如 ABCD的外接圆半径为25 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以x 轴

31、为对称轴的抛物线上,求此抛物线的方程及直线l 的方程 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5. 如图,已知圆C：（x+4 ） 2+y2=4.圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆C 外切.圆 D 与 y 轴交于A、B 两点,点P 为-3 , 0.（ 1）如点 D 坐标为（ 0,3）,求 APB的正切值.（ 2）当点 D 在 y 轴上运动时,求APB的正切值的最大值.（ 3）在 x 轴上是否存在定点Q,当圆 D在 y 轴上运动时, AQB是定值？假如存在,求出点 Q坐标.假如不存在,说明理由.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载