2022年高中数学函数解题技巧方法总结-学生版.docx

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1、精品_精品资料_高中数学函数学问点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样 两点必需同时具备 二、.求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零. 指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正切函数ytanxxR, 且xk, k 2可编辑资料

2、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域.三、.如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：函数f x的定义域是a, b , ba0,就函数F xf xf x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域是.复合函数定义域的求法： 已知 yf x 的定义域为m, n,求 yf g x的定义域, 可由 mg xn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品_精品资料_出 x 的范畴,即为 yf gx的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如函数 y四、函数值域的求法f x 的定义域为1 ,2 ,就2f log 2x 的定义域为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y=2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例、求函数 y= x2 -2x+5 ,x-1 ,2 的值域.3、判别式

4、法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a. yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b. ybxx 2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c. yx2mxn2型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xmxnx2mxnd. y型

5、xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y= 3 x5 x4 值域.6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x例 求函数 y= eex1 , y2sin1 ,11siny2s

6、in1 的值域.1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5例求函数 y= 2log3x1 （ 2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.例 求函数 y=x+x1 的值域.8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,

7、往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目.22例：已知点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y的取值范畴x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:1 令 yx2k, 就ykx2,是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例求函数 y=x22 +x28 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例求函数 y=x6 x13 +2x4 x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 、不等式法利用基本不等式 a+b 2ab ,a+b+c3 3abc （ a, b,c R ）,求函数的最值,其题型特点解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项

9、和两边平方等技巧.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：x 2=x22 x0x113 3 x 2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式a+b+c33 abc 时,留意使3者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=xx 3-2x xx+3-2x 313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用公式 abc10. 倒数法 abc 3 时,应留意使3者之和变成常数） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品_精品资料_有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 求函数 y=xx2 的值域3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx2x22x20时, y=00y12多种方法综合运用总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特别方法.五、.如何用定义证明函数的单调性？

11、（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以变形为求(2) 参照图象：f x1 f x2 x1x2的正负号或者f x1f x2与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性. （特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反的单调性.（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的

12、性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的.当 c0 时,它们是反向变化的.假如函数 f 1 x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1x f 2x 和它们同向变化.（函数相加）假如正值函数 f 1x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1xf2x 和它们同向变化. 假如负值函数 f 12 与 f 2x同向变化,就函数 f 1 xf 2x 和它们反向变化.（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数与fx1f x在 fx的同号区间里反向变化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数 u x ,x

13、 , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的.如函数 u x,x, 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的.（同增异减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fggxfgxfx+g xfx*g x都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：求ylog 12x 22x的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_在区间a,b内,如总有f x0就f x为增函数.（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下结论：（1） 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（2） ）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就f00.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：如f xa 2 xxa2 为奇函数,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：f x 为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0 ,1时, f x 2 x,4

16、x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求f x 在 1,1 上的解析式.八. 判定函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算性.f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x3、复合函数奇偶性fggxfg

17、xfx+gfx*gxx奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇偶非奇偶奇偶非 奇非奇偶偶偶偶偶偶九、.你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（如存在实数T（ T0 ）,在定义域内总有f xTf x ,就 f x为周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数, T 是一个周期.）如：如f xaf x,就我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这f x f xt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个函数周期 2t.推导：f xt f x2 t 0f x f x2t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

18、_精品资料_同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到.比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称.如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又如：如 fx图象有两条对称轴xa, xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f axf ax,f bxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf xf 2axf 2bxf 2axf 2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,函数f x以2 | ba |为周期因不知道 a, b的大小关系 ,为保守起见 ,我加了一个肯定值十.你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x 的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f x的图象

20、关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f1 x 的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y ）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2ax的图象关于 直线xa 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x与f 2ax 的图象关于 点 a, 0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将yf x 图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa上移bb下移bb0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x|f x | 把x轴下方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf | x |把y轴右方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

22、作出ylog2x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy=log 2xO1x十一、 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）一次函数：ykxbk0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）反比例函数：的双曲线.ykk x0 推广为ybkk xa0 是中心O a, b可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）二次函数yax 2bxc a02a xb 2a4acb2 4a图象为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_开口方向： a0,向上,函数y min4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a根的关系： x0,向下,b2ay max4acb2 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxb , xxc ,| x

24、x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121212aa| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数的几种表达形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xax 2bxc一般式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa xm 2n顶点式,（m, n）为顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa xx1 xx2 x1, x2是方程的2个根）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa xx1 xx2h函数经过点（x1, h x2, h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用：“三个二次”

25、（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax 2bxc0,0时,两根x 1、 x2 为二次函数yax 2bxc的图象与 x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的两个交点,也是二次不等式ax 2bxc0 0 解集的端点值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求闭区间 m, n上的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间在对称轴左边（ nb） f max2af m, fminf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间在对称轴右边（ mb

26、 ） f 2amaxf n, fminf m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区间在对称轴2边 （ nbm） 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4acb 2f min, f4amaxmaxf m,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也可以比较 m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论 a0的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.一元二次方程根的分布问题.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：二次方程ax2bxc0的两根都大于 kbk 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f k0可编辑资料 -

27、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ya0Okx 1x 2x一根大于 k,一根小于 kf k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（ m,n）内有 2根0mbn 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间（ m,n）内有 1根f m fn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）指数函数：yaxa0,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）对数函数 ylog a x a0

28、,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象记性质；（留意底数的限定；）yxy=a a10a11O1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）“对勾函数”yxkk0 x0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？（均值不等式肯定要留意等号成立的条件）ykOkx15. 你在基本运算上常显现错误吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数运算：a 01 a0 , a p1 a0ap可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ma nn a

29、m am0, a n1 a0n am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数运算：loga MNloga Mlog a N M0,N0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_logMlogMlogN, logn M1 logMaaaaaNn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数恒等式： alog a x对数换底公式： logbxlog c bmlogbnn logb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a x1log x aalogc aama可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

30、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1） xR,f x满意f xyf xf y,证明f x为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（先令xy0f 00再令yx,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）xR,f x 满意f xyf xf y,证明f x 是偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（先令xytf t tf t t 可编辑资料

31、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tf t f tf t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f tf t）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）证明单调性：f x 2 fx 2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（对于这种抽象函数的题目,其实简洁得都可以直接用死记了1、 代 y=x,2、 令 x=0 或 1 来求出 f0 或 f13、 求奇偶性,令 y=x.求单调性：令 x+y=x1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f （x）kx（ k 0） -f （xy） f （ x） f （y）2. 幂函数型的抽象函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f （x）xa-f （ xy） f （x）f （y）. f （3. 指数函数型的抽象函数x ）yf xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f （x）ax-f （xy）f （x）f （y）.f （xy）4. 对数函数型的抽象函数f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_