2022年高中数学抽象函数专题含答案-教师版 .docx

《2022年高中数学抽象函数专题含答案-教师版 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学抽象函数专题含答案-教师版 .docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_抽象函数周期性的探究老师版抽象函数是指没有给出详细的函数解析式, 只给出它的一些特点、性质或一些特别关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问灵活运用的才能 . 而在教学中我发觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难, 所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法. 此类问题的解决应留意到周期函数定义、紧扣函数图象特点,查找函数的周期,从而解决问题. 以下给出几个命题：命题 1：假设 a是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数y=fx是周期函数 .（1） 函数 y=f

2、x满意fx+a=fx,就 fx是周期函数,且 2a是它的一个周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 函数 y=fx满意fx+a=1f x,就fx是周期函数,且 2a是它的一个周期 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 函数 y=fx满意fx+a+fx=1,就 fx是周期函数,且 2a是它的一个周期 .命题 2：假设 a、b ab 是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数 y=fx是周期函数 .(1) 函数 y=fx满意 fx+a=fx+b,就fx是周期函数,且 |a-b|是它的一个周期 .(2) 函数图象关于两条直线x=

3、a,x=b对称,就函数 y=fx是周期函数,且 2|a-b|是它的一个周期 .(3) 函数图象关于点 Ma,0 和点 Nb,0 对称,就函数 y=fx是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期 .(4) 函数图象关于直线 x=a,及点 Mb,0 对称,就函数 y=fx是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期 .命题 3：假设 a是非零常数,对于函数y=fx定义域的一切 x,满意以下条件之一,就函数y=fx是周期函数 .（1） 假设 fx是定义在 R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,就 fx是周期函数,且2a是它的一个周期 .（2） 假设 fx是定义在 R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,

4、就 fx是周期函数,且4a是它的一个周期 .我们也可以把命题 3看成命题 2的特例 , 命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题 31,其他命题的证明基本类似.设条件 A:定义在 R上的函数 fx是一个偶函数 .条件B: fx关于 x=a对称条件 C: fx是周期函数 , 且2a是其一个周期 .结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明:已知 A、B C 2022年全国高考第 22题其次问fx是 R上的偶函数 f-x=fx又 fx关于x=a对称 f-x=fx+2afx=fx+2a fx是周期函数 , 且2a是它的一个周期已知 A、C B定义在

5、 R上的函数 fx是一个偶函数 f-x=fx又 2a是 fx一个周期 fx=fx+2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f-x=fx+2a fx关于 x=a对称已知 C、B Afx关于 x=a对称 f-x=fx+2a又 2a是 fx一个周期 fx=fx+2af-x=fx fx是R上的偶函数由命题 32 ,我们仍可以得到结论:fx是周期为 T的奇函数,就 fT =02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基于上述命题阐述,可以发觉,抽象函数具有某些关系. 依据上述命题,我们易得函数周期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.例1： fx是R上的奇函数

6、fx= fx+4, x0 , 2 时fx=x,求f2022的值解：方法一 fx= fx+4 fx+8 = fx+4 =fx8是fx的一个周期f2022= f251 8-1=f-1= f1= 1方法二 fx= fx+4, fx是奇函数f-x=fx+4 fx关于 x=2对称 又 fx是奇函数8是fx的一个周期,以下与方法一相同.例2：已知 fx是定义在 R上的函数, 且满意 fx+21 fx=1+fx,f1=2 ,求f2022的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由条件知 fx1,故f x21f x1f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品_精品资料_f x41f x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x2f x类比命题 1可知,函数 fx的周期为 8,故 f2022= f2518+1=f1=22.求函数解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3：已知 fx是定义在 R上的偶函数, fx=f4-x,且当 x2,0时, fx= 2x+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 x4,6时求 fx的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：当 x0,2 时x2,0f x=2x+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx是偶函数 f x=fx f

8、x=2x+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x4,6 时4x0,2 f 4+x=2 4+x+1=2x 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数 fx是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,类比命题 31知函数 fx的周期为4故f-4+x=fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x4,6时求 fx=2x 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例4：已知 fx是定义在 R上的函数, 且满意 fx+999=1f x,f999+x=f999x , 试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_判定函数 fx的奇偶性 .解：由 fx+999=1,类比命题 1可知,函数 fx的周期为 1998即fx+1998=fx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x由f999+x=f999 x 知fx关于 x=999对称,即 f x=f1998+x 故fx=fxfx是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例5：已知 fx是定义在 R上的偶函数, fx=f4-x,且当 x2,0时,fx是减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证当 x4,6时fx为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

10、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 4x1x26 就2x24x140可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx在-2 , 0 上是减函数f x24f x14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数 fx是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,类比命题 31知函数 fx的周期为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故fx+4=fx f x2 f x1 f-x=fxf x2 f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 x4,6时fx为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例6： fx满意 fx=

11、-f6-x, fx=f2-x,假设 fa=-f2022, a 5 ,9 且fx在5 ,9 上单调 . 求a的值 .解： fx=-f6-x fx关于 3,0对称 fx= f2-x fx关于 x=1对称依据命题 2 4得 8是fx的一个周期 f2022= f0又 fa =-f2022 fa=-f0又 fx=-f6-xf0=-f6 fa=f6a 5 ,9 且fx在5 ,9 上单调 a =65. 确定方程根的个数例7：已知 fx是定义在 R上的函数, fx= f4 x , f7+x= f7x,f0=0, 求在区间 1000, 1000 上fx=0至少有几个根？解：依题意 fx关于 x=2, x=7 对

12、称,类比命题 22可知 fx的一个周期是 10故fx+10=fx f10=f0=0又f4=f0=0即在区间 0 , 10 上,方程 fx=0至少两个根又fx是周期为 10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程 fx=0在区间 1000, 1000 上至少有 1+22022 =401个根.10两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.已知函数 y= f xx R满意 f5+x= f5 x,问： y= fx是周期函数吗？ 它的图像是不是轴对称图形？例 2.已知函数 y= f xx R满意 f5+x= f5 x,问： y= fx是周期函数吗？

13、 它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异.有的同学往往把它们混为一谈,从而得出错误的结论.为了精确的答复上述问题,必需把握以下基本定理.定理 1：假如函数 y= fxx R满意 f5+x= f 5x,那么 y= fx的图像关于直线 xa 对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 设点 P x0 ,y0是 y= fx的图像上任一点,点P 关于直线 x=a 的对称点为 Q,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知,点 Q 的坐标为 2ax0 ,y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于点 P x0 , y0在 y= fx的图像上,

14、所以f x0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 f2ax0f aax0f aax0fx0y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以点 Q2ax0 , y0也在 y= fx的图像上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 P 点的任意性知, y= fx的图像关于直线x=a 对称.定理 2：假如函数 y= fxx R满意 fa+x= f b x,那么 y= fx的图像关于直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 xab 2的对称.可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：略证明同定理 1定理 3： 假如函数 y= fxx R满意 fx+a = fx a,那么 y= fx是以 2a 为周期的周期函数.证明： 令 xax ,就 xx a, xax 2 a代入已知条件 fxafxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： fx2afx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据周期函数的定义知,y= fx是以 2a 为周期的周期函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 4： 假如函数 y= fxxR满意 fxafxb ,那么 y= fx是以 ab为周期的周期函数.证明：略证法同定理 3由

16、以上的定理可知,在已知条件 faxf bx 或 fxafxb 中,等式两端的两自变量部分相加得常数,如axbxab ,说明 f x 的图像具有对称性,其对称轴为 xab .2等式两端的两自变量部分相减得常数,如xaxbab ,说明 fx是周期函数,其周期 T=a+b.简单证明：定理 1、2、3、4 的逆命题也是成立的.牢牢把握以上规律,就例1、例 2 迎刃而解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 中, 5x5x10,因此 fx的图像关于直线x=5 对称.由这个已知条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们不能判定 fx是周期函数.例 2 中, x5x510 ,

17、因此 fx是周期函数,其周期T=10.由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形.例 3. 假设函数 fx=x2+bx+c 对于任意实数 t 均有 f3+t = f1 t,那么 A. f2 f1 f4B. f1 f2 f4C.f2 f4 f1D. f4 f2 f1解析：在 f3+t = f1t中 3+t +f 1 t=4所以抛物线 f x=x2+bx+c 的对称轴为 x=2作示意图如图 1,可见,应选 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 1例 4.设 fx是定义在 R 上的奇函数,且 fx 2= fx,给出以下四个结论： f 2=0. f x是以 4 为周期的函数. f x的

18、图像关于直线x=2 对称. f x+2=f x其中全部正确命题的序号是 .解析 1：1由于 y= fxx R是奇函数,所以f x= fx令 x=0,得 f 0= f0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0f 00, 2 f 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f0=0又已知 fx 2= fx令 x=2,得 f0= f2所以 f2= f 0=0故成立.2由于 fx 2= fx,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xfx2fx22fx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x x 4 =4两自变量相减得常数所以 fx是以 4

19、 为周期的周期函数.故成立.3由 fx+2 = f x得： x+2+ x=2两自变量相加得常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fx的图像关于直线x=1 对称.而不是关于直线x=2 对称.故是错误的.4由 2知, f x应满意 f x+2= f x 2而 fx 2= fx所以 fx+2= f x= f x故成立.综上所述,应填.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 2： 依据题设条件,构造出函数f x 的图像如图 2.图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图可见,正确,而不正确.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.函数

20、ylog 2 ax1 a0 的图像关于直线x=2 对称,就 a=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由于函数 ylog 2 ax1a0 的图像关于直线 x=2 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有 log 2 a 2x1 log 2 a 2x1 定理 1 的逆定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2x1a 2x12aax12aax1a0 与题设冲突,舍去或a12所以 a1 .2例 6.设 fx是 R 上的奇函数,又 f x的图像关于直线 x=a 对称.问函数 y= fx是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不是周期函数？假如是,求出它的一个周期.解： 由于 fx的图像关于直线x=a 对称由定理 1 的逆定理知： fa+x= fa x用 a x 代换上式中的x,得： f 2a x= fx再用 x 代换 x,得： f2a+x = f x 再用 2a+x 代换 x,得：f2axf 4ax又 fx为奇函数,即f2axf4ax2由得：fxf4ax即 fx= fx+4a依据周期函数的定义,fx是周期函数,且T=4a 是它的一个周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载