2022年高中数学数列压轴题练习及详解 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学数列压轴题练习江苏及详解1. 已知数列是公差为正数的等差数列,其前 n 项和为,且.,求数列的通项公式 ;数列满意,求数列的通项公式 ;是否存在正整数 m,使得,成等差数列 .假设存在 ,求出m,n 的值;假设不存在 ,请说明理由 .解:I 设数列的公差为 d,就由.,得,运算得出或舍去 .;,即,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_累加得 :,也符合上式 .故,.假设存在正整数 m、,使得,成等差数列 ,就又,即,化简得 :当,即时,舍去;当,即时,符合题意 .存在正整数,使得,成等差数列 .解析直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,

2、代入等差数列的通项公式得答案;把数列的通项公式代入,然后裂项 ,累加后即可求得数列的通项公式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设存在正整数 m、,使得,成等差数列 ,就.由此列关于 m 的方程 ,求运算得出答案 .2. 在数列中,已知,(1) 求证 :数列为等比数列 ;(2) 记,且数列的前 n 项和为,假设为数列中的最小项 ,求的取值范畴 .解:1 证明:,又,故,是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列2由1 知道,假设为数列中的最小项 ,就对有恒成立 ,即对恒成立当时,有;当时,有.;当时,恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对恒成立 .令,就

3、对恒成立 ,在时为单调递增数列 .,即综上,解析1由,整理得 :.由,可以知道是以 3 为首项 ,公比为 3 的等比数列 ; 2由1 求得数列通项公式及前 n 项和为,由为数列中的最小项,就对有恒成立 ,分类分别求得当时和当的取值范畴 ,当时,利用做差法 ,依据函数的单调性 ,即可求得的取值范畴 .3. 在数列中,已知,设为的前 n 项和.1求证 :数列是等差数列 ; 2求;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 是否存在正整数 p,q,使,成等差数列 .假设存在 ,求出 p,q,r 的值;假设不存在 ,说明理由 .(1) 证明: 由,得到,就又,数列是以 1 为首项 ,以-2

4、 为公差的等差数列 ; 2由1 可以推知 :,所以,所以,-,得,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设存在正整数 p,q,使,成等差数列 .就,即由于当时,所以数列单调递减 .又,所以且 q 至少为 2,所以,当时,又,所以,等式不成立 .当时,所以所以,所以,数列单调递减 ,解唯独确定 .综上可以知道 ,p,q,r 的值分别是 1,2,3.解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 把给出的数列递推式,变形后得到新数列,该数列是以 1 为首项 ,以-2 为公差的等差数列 ;(2) 由1 推出的通项公式 ,利用错位相减法从而求得求; 3依据等差数列的性质得

5、到,从而推知 p,q,r 的值 .4. 已知 n 为正整数 ,数列满意,设数列满意(1) 求证 :数列为等比数列 ;(2) 假设数列是等差数列 ,求实数 t 的值 ;(3) 假设数列是等差数列 ,前 n 项和为,对任意的,均存在,使得成立 ,求满意条件的全部整数的值.(1) 证明:数列满意,.,.,数列为等比数列 ,其首项为,公比为 2;2解:由1 可得:.,数列是等差数列 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算得出或 12.时,列.,是关于n 的一次函数 ,因此数列是等差数时,不是关于 n 的一次函数 ,因此数列不是等差数列.综上可得;3解:由2 得,对任意的,均存在,使得成

6、立 ,即有.,化简可得,当,对任意的,符合题意 ;当,当时,对任意的,不符合题意 .综上可得 ,当,对任意的,均存在,使得成立.解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 依据题意整理可得 ,.,再由等比数列的定义即可得证;(2) 运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得 t,对 t 的值,检验即可得到所求值 ;(3) 由2 可得,对任意的,均存在,使得成立 ,即有.,争论为偶数和奇数 ,化简整理 ,即可得到所求值 .5. 已知常数,数列满意, 1假设,求的值;求数列的前 n 项和;(2) 假设数列中存在三项,依次成等差数列,求的取值范畴 .解:1 ,当时,

7、当时,即从其次项起 ,数列是以 1为首项 ,以 3 为公比的等比数列 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的前 n 项和,明显当时,上式也成立 ,;2,即单调递增 .(i) 当时,有,于是,假设数列中存在三项,依次成等差数列 ,就有,即,.因此不成立 .因此此时数列中不存在三项,依次成等差数列 .当时,有.此时于是当时,.从而假设数列中存在三项,依次成等差数列 ,就有,同i 可以知道 :.于是有,是整数 ,.于是,即.与冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故此时数列中不存在三项,依次成等差数列.当时,有于是此时数列中存在三项,依次成等差数列 .综上可得:解析

8、1同理可得,可得,当时,当时,即从其次项起 ,数列是以 1 为首项 ,以 3为公比的等比数列 ,利用等比数列的求和公式即可得出(2) ,可得,即单调递增 .i 当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在 .当时,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同i 可以知道 :.得出冲突 ,因此不存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在.当时,有.于是.即可得出结论.6.已知两个无穷数列和的前 n 项和分别为,对任意的,都有1求数列的通项公式 ;2假设为等差数列 ,对任意的,都有.证明:;3假设为等比数列 ,求满意n 值.的解:1 由,得,即,所以由,可以知道所以数列是以 1 为首项

9、,2 为公差的等差数列 .故的通项公式为,2证法一 :设数列的公差为d,就,由1知,由于,所以即恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,即,又由,得,所以所以,得证 .证法二 :设的公差为 d,假设存在自然数就,即,使得,由于,所以所以,由于,所以存在,当时,恒成立 .这与 “对任意的,都有”冲突 .所以,得证 .(3) 由1 知,.由于为等比数列 ,且,所以是以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列 .所以,就,由于,所以,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而,所以,即当,2 时,式成立 ;当时,设,就,所以,故满意条件的n 的值为 1 和 2.解析(

10、1) 运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求 ;(2) 方法一、设数列的公差为 d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判定符号即可得证 ;方法二、运用反证法证明,设的公差为 d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于 0,即可得证 ;(3) 运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,化简,推出小于 3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值 .7. 已知数列,都是单调递增数列 ,假设将这两个数列的项按由小到大的次序排成一列 相同的项视为一项 ,就得到一个新数列(1) 设数列,分别为等差、等比数列 ,假设,求;(2) 设的首项为 1,各项为正整数 ,假设新数列

11、是等差数列 ,求数列的前 n 项和;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 设是不小于 2 的正整数 ,是否存在等差数列 ,使得对任意的 ,在 与 之间数列 的项数总是 假设存在 , 请给出一个满意题意的等差数列 ;假设不存在 ,请说明理由 .解:1 设等差数列 的公差为 d,等比数列 的公比为 q,依据题意得,运算得出或 3,因数列,单调递增,所以,所以,所以由于,2设等差数列的公差为 d,又,且,所以,所以由于是中的项 ,所以设,即当时,运算得出,不满意各项为正整数 ;当时,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项 ,所以;当时,此时,只需取,由,得,是奇数 ,是正

12、偶数 ,m 有正整数解 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以等比数列的项都是等差数列中的项 ,所以综上所述 ,数列的前 n 项和,或3存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数 n,都有,即成立.由,所以首项,公差的等差数列符合题意解析1设等差数列的公差为d,等比数列的公比为 q,依据题意得,运算得出或 3,因数列,单调递增 ,可得,利用通项公式即可得出 .(2) 设等差数列的公差为 d,又,且,所以,所以.由于是中的项 ,所以设,即.当时,运算得出,不满意各项为正整数当时,当时,即可得出 .(3) 存在等差数列,只需首项,公差.下证与之可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品_精品资料_间数列的项数为.即证对任意正整数 n,都有,作差利用通项公式即可得出.8. 对于数列, 称 其中,为数列的前 k 项“波动均值” . 假设对任意的, 都有, 就称数列为“趋稳数列”.(1) 假设数列 1,x,2为“趋稳数列” , 求 x 的取值范畴 ;(2) 假设各项均为正数的等比数列的公比, 求证 :是“趋稳数列”;(3) 已知数列的首项为 1, 各项均为整数 , 前 k 项的和为. 且对任意, 都有, 试运算 :.解:1 依据题意可得,即,两边平方可得,运算得出;2证明 :由已知 ,设因且,故对任意的,都有,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_,因,即对任意的,都有,故是“趋稳数列 ”;3当时,当时,同理,因,即,所以或所以或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于,且,所以,从而,所以,.解析(1) 由新定义可得,解不等式可得x 的范畴 ;(2) 运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义 ,运用不等式的性质即可得证;(3) 由任意,都有,可得,由等比数列的通项公式 ,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.*9. 已知首项为 1 的正项数列 a n 满意+an+1an,nN .1假设 a2=, a3=x, a4=4,求 x 的取值范畴.2设数列 a n 是公比为 q 的等比数列, Sn 为数列 an

15、 前 n 项的和,假设Sn Sn+1 2Sn, nN*,求 q 的取值范畴.3假设 a1, a2, ,akk3成等差数列,且 a1+a2+ +ak=120,求正整数 k 的最小值,以及 k 取最小值时相应数列a1, a2, ,akk3的公差 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1由题意,an an+1 2an, x 3,x 2x,x 2, 3.2an an+1 2an,且数列 a n 是公比为 q 的等比数列, a1=1,qn-1 qn2qn-1,qn-1q- 0, qn-1q-2 0,q, 1.Sn Sn+12Sn,当 q=1 时, S2=2S1,不满意题意,当 q1时,

16、 2.,当 q, 1时,即,q, 1.当 q 1, 2时,即,无解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q, 1.3设数列 a1, a2, , akk3的公差为 d.an an+1 2an,且数列 a1, a2, , an 成等差数列, a1=1,1+n-1d 1+nd 21+n-1d , n=1, 2, , k-1 ,d-, 1. a1+a2+ +ak=120, Sk=k 2+a1-k=k2+1-k=120 , d=,-, 1,k 15, 239, k N* ,k 的最小值为 16,此时公差 d=.解析【解题方法提示】分析题意,对于 1,由已知结合完全平方公式可得an an+1 2an,由此可得到关于 a2, a3, a4 的大小关系,据此列式可解得x 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据an an+1 2an,以及等比数列的通项公式可得q,1,再结合Sn Sn+1 2Sn 以及等比数列的前n 项和公式分类争论可得q 的取值范畴.设公差为 d,依据an an+1 2an,以及等差数列的通项公式可得d-,1,然后依据等差数列的前n 项和公式结合题意可得d=,由此可解得 k 的取值范畴,进而得到k 的最小值和 d 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载