2022年高中数学-用导数研究函数的单调性与极值 .docx

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1、精品_精品资料_一、填空题3.2用导数争论函数的单调性与极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 假设 f x x3 3ax23 a 2 x 1 有极大值和微小值,就 a 的取值范畴是 解析 f x 3x26ax 3 a2 ,由题意知 f x 0 有两个不等的实根,由 6 a 2 433 a2 0,即 a2 a 2 0,解得 a2 或 a 1.答案 , 1 2 ,2. 已知函数 f x lnx2x,假设 f x2 2 f 3 x ,就实数 x 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由 f x lnx 2x ,得 f x1x2xln 2 0, x 0

2、 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f x 在0 , 上单调递增,又 f x22 f 3 x ,得 0x223x, 所以 x1,2 答案 1,23. 假设函数yx3x2 mx 1 是 R 上的单调函数,就实数m 的取值范畴是 .解析 由题意,得 y 3x2 2xm0解集为 R,所以 412m0,解得 m1313答案,4. 函数 f x x33x21 在 x处取得微小值解析 由 f x 0,得 x 0 或 xf x 0 得 x0 或 x2,由 f x 0 得 0 x 2,所以 f x 在 x2 处取得微小值 答案 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.

3、已知函数 f x x34 m1 x2 15 m2 2m 7 x2 在实数集 R上是增函数,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就实数 m的取值范畴是解析 f x x2 24 m 1 x15m2 2m7,依题意,知 f x 在 R上恒大于或等于 0,所以 4 m2 6m8 0得 2 m4.答案 2,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知函数 f x x2cos x,x , ,就满意 f x f 0的 x0 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223值范畴为22解析 f x 是偶函数,且由 f x 2xsin x00 x ,知 f x 在 0,可

4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上单调递增,所以由 f x0 f ,得 f | x0| f ,从而| x0| ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解得 x x.332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_203 或 3 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 2 , 3 3 , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_27. 函数 f x x3 ax2 3x9,已知 f x 在 x 3 时取得极值,就 a .解析 f x 3x 2ax3,又 f x 在 x 3 时取得极值,f 3 306a0,就 a5.答案 528. 已知函数

5、 f x 的定义域为 2,2 ,导函数为 f x x 2cos x 且 f 0 0,就满意 f 1 x f x2 x 0 的实数 x 的集合是2解析 由于当 x 2,2 时, f x 0且为偶函数,所以 f x 是奇函数且在 2,2 上单调增,于是由 f 1 x f x2 x f xx2 ,得 2xx 1x2,解得 1x1.答案 1,19. 假设 a0,b0,且函数 f x 4x3ax22bx2 在 x1 处有极值,就 ab的最大值为解析 由题意, x1 是 f x 12x22ax2b 的一个零点,所以12 2a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 0,即 ab6 a 0,

6、 b0 ,因此 ab ab 2629,当且仅当 ab3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时等号成立 答案 910. 设 a R,假设函数 yeax3x,xR 有大于零的极值点,就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由 yaeax30,得 x 1 330,a0,又由于有正根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aln a ,所以 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以必有a0,30 a 1,得 a 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 , 311. 已知函数 f x x3 3ax2 3xf x 在区

7、间 2,3 中至少有一个极值点,就a的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 f x 3x26ax 3 3 x a 21 a2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1a20时, f x 0, f x 为增函数,故 f x 无极值点.当 1a20 时, f x 0 有两个根 x1 a a21,x2a a2 1.2由题意,知 2a a 13, 或 2a a213,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无解,的解为55 a ,43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 a5534的取值范畴

8、为,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55答案4, 312. 函数 f x 的定义域为 a, b ,导函数 f x 在 a, b 内的图象如下图,就函数 f x 在 a, b 内有微小值点的个数为解析 f x 图象与 x 轴的交点从左至右第 1 个与第 4 个是极大值点,第 2 个是微小值点, x0 不是极值点答案 1 个13. 定义在 R上的函数 f x 满意 f 4 1,f x 为f x 的导函数,已知 yf x 的图象如下图,假设两个正数 a,b 满意 f 2 ab 1,就b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴是的取值a1可编辑资料 - - - 欢迎下载

9、精品_精品资料_解析 当 x0 , 时,f x 0,所以 f x 在区间0 , 上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由 f 2 ab f 4 ,得括边界 ,02ab4, a0,b0,它表示的平面区域如下图 不包可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1所以3kb 1PA a 1kPB5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1答案3, 5二、解答题14. 已知函数 f x x3 ax2 bx a,bR 的图象过点 P1,2 ,且在点 P 处的切线斜率为 8.(1) 求 a,b 的值.(2) 求函数 f

10、 x 的单调区间.解析 1 由函数 f x 的图象过点 P1,2 ,得 f 1 2,所以 a b 1. 由于函数图象在点 P 处的切线斜率为 8,所以 f 1 8,又 f x 3x2 2axb,所以 2ab5. 解由组成的方程组,可得 a 4, b 3.2 由1 得 f x 3x28x3,令 f x 0,可得 x 3x1或 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x 0,可得 3x13,故函数f x 的单调增区间为 , 3 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_113, ,减区间为 3,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 已知函数 f

11、x x3 ax2 bxc2在 x 与3x1 时都取得极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 a,b 的值以及函数 f x 的单调区间.(2) 假设对 x 1,2 ,不等式 f x c2 恒成立,求 c 的取值范畴 解析 1 f x 3x22ax b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意可知 f x 0 的两根为 x21 和3x21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 22即 3 3 2a 3 b 0,312 2a1 b0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a1,bf x 3x 2x2.22可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_当 f x 0 时,解得 x或 x1. 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 f x 0时,解得2x 1.322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 f x 的递增区间是 , 3 与1 , ,递减区间是 2, 1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由1 知,函数 f x 在 1,2 上的极大值为 f 3 ,端点 x2 的函数值 f 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2而 f 3f 2 ,故只需 f 2 c2 即可由于 f 2 2c,所以 2 cc2 .

13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 c 1 或 c2,故 c 的取值范畴为 , 1 2 ,116. 已知曲线 f x ln2 x ax 在点0 ,f 0 处的切线斜率为 2,(1) 求 f x 的极值.(2) 设 g x f x kx,假设 g x 在 , 1 上是增函数,求实数 k 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 1 f x 的定义域是 , 2 , f x 1 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题知 f 01a1x2a1,所以 f x 1x1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 22,所以 x2x2可编辑资

14、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x 0,得 x 1.当 x 变化时, f x ,f x 的变化情形如下表所示x , 111,2f x0f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f x 在 x 1 处取得极大值 1,无微小值2 g x ln2 x k1 x, gx 1 k1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2由题知 gx 0在 ,1 上恒成立, 即 k 1 1 在 ,1 上恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 x1,所以 2x 1,所以 0 12 x11,所以 1 1 0,所以 k0.可编辑资料 - - - 欢迎下载

15、精品_精品资料_2x故实数 k 的取值范畴是 0 , 17已知函数 f x x3 ax1.2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假设 fx在实数集 R上单调递增,求实数a 的取值范畴.(2) 是否存在实数 a,使 fx 在 1,1 上单调递减？假设存在, 求出 a 的取值范畴.假设不存在,请说明理由解析 1f x 3x2a,故 3x2a0在 R上恒成立, a0.2 f x 在 1,1 上单调递减,就 3x2a0在 1,1 上恒成立,即 a3x2 在 1,1 上恒成立, a3.18已知函数 f x a1lnxax21.(1) 争论函数 f x 的单调性.2 设 a 1,假如

16、对任意 x1,x2 0 , , | f x1 f x2| 4| x1x2| ,求实数 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解析 1 f x 的定义域为 0 , , f x a12ax2ax2 a 1x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时, f x 0,故 f x 在0 , 上单调递增. 当 a 1 时, f x 0,故 f x 在0 , 上单调递减.a .当 1a0 时,令 f x 0,解得 xa12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a所以当 x 0,a1时, f x 0,此时函数 f x 单调递增.当 x可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 2a ,时, f x 0,此时函数 f x 单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 不妨设 x1 x2,而 a 1,由1 知 f x 在0 , 上单调递减,从而对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意的 x1 ,x20 , , | f x1 f x2| 4| x1 x2| 成立,它等价于对任意的x1, x2 0 , ,有 f x2 4x2f x1 4x1. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x令 g x f x 4x,就 gx a 1上单调递减,即 a 12ax4,式等价于 g x 在0 ,4x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2ax 40 在0 , 上恒成立,从而a2x21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x122x2 12 在0 , 上恒成立,由于围是 , 2 2x122x212 2,故 a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载