2022年高中数学第章归纳总结同步导学案北师大版必修.docx

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1、精品_精品资料_其次章归纳总结学问结构学问梳理1. 深化对正、余弦定理的懂得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理,要懂得两个定理及其变形.(1) 正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即：在ABC中,a sin Ab sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c.sin C正弦定理有以下三种变形形式： a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin A=a,sin B2 Rbc,sin C;2R2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品_精品资料_其中 R是 ABC外接圆的半径 . a： b： c=sin A： sin B： sin C.(2) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积的两倍 . 即： a =b +c -2 bccos A, b =a +c-2 accos B, c=a +b -2 abcosC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余弦定理的推论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos A= b2c2a2,2bc22可

3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos B= aa 2cos C=cb,2ac2b2c.2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 剖析斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边,三角形的边与角称为三角形的元素）,假如其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边）,那么这个三角形肯定可解 . 关于斜三角形的解法,依据已知条件及适用的定理,可以归纳为以下四种类型（设三角形为ABC,A,B,C所对的边分别为 a,b,c ） :已知条件应用定理一般解法一边和两角（如 a, B, C） 正弦定理由 A+ B+C=180

4、, 求角 A.由正弦定理求出 b 与 c,在有解时只有一解 .两边和夹角（如 a,b , C）余 弦 定 理由余弦定理求第三边c; 由正弦定理求出一正弦定理边所对的角.再由 A+ B+ C=180求出另一角,在有解时只有一解.三边（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角A、B.再利用 A+ B+C=180 , 求出角 C,在有解时只有一解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边和其中一边的对角（如a,b , A）正 弦 定 理余弦定理由 正弦 定 理 求 出 角 B. 由 A B+ C=180 , 求出角 C.再利用正弦定理或余弦定理求 c, 可有两解、一解或无解 .可编辑资料

5、- - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 解三角形常用的边角关系及公式总结（ 1）三角形内角和等于180 .(2) 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(3) 三角形中大边对大角,小边对小角.(4) 三角函数的恒等变形：sin A+B=sin C,cos A+B=-cos C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAB 2cos C ,cos AB 22sin C .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 三角恒等变换公式,如和、差角公式,倍角公式的正用与逆用等.4. 解读判定三角形外形的两种方法判定三角形的外形,应环绕三角形的边角关系进行摸索,此类题目一

6、般采纳以下两种方法求解：（ 1）利用正弦定理化边为角,通过三角运算判定三角形的外形.(2) 利用余弦定理化角为边,通过代数运算判定三角形的外形.留意：依据余弦定理判定三角形的外形时,当a2+b2c , b2+c2a2, c2+a2c , b +c a , c +a b 中有一个关系式成立时,并不能得出该三角形为锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形的结论 .5. 常用三角形面积公式总结（ 1） S ABC= 1 a ha= 1 b hb= 1 c hc ha, hb, hc 分别为 a,b,c边上的高 .222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） S A

7、BC= 1 absin C= 1 bcsin A= 1 acsin Babc R为 ABC的外接圆半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22(3) S ABC=p papbp12c p= 124R（ a+b+c） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) S ABC=2 a+b+c r r 为 ABC的内切圆半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 点击正、余弦定懂得几何问题的留意点（ 1）几何图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点,或是问题求解能否连续的转折点.(2) 依据条件或图形,找出已知,未知及求解中需要的三角形,用好三角恒等变形公

8、式,正弦定理, 余弦定理,或是综合运用这两个定理.(3) 要有应用方程思想解题的意识,仍要有引入参数,突出主元,简化问题的解题意识.7. 细解正、余弦定懂得实际应用题的步骤实际应用题的本质就是解三角形,无论是什么类型的题目,都要先画出三角形的模型,再通过正弦定理或余弦定理进行求解. 解三角形应用题的一般步骤是：（ 1）读懂题意,懂得问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系（ 2）依据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.(3) 挑选正弦定理或余弦定理求解.(4) 将三角形的解仍原为实际问题,留意实际问题中单位、近似运算要求.专题探究专题 1正弦定理、余弦定理在解三角形中的应

9、用应用正、余弦定懂得题时,要娴熟、精确的进行三角恒等变换,同时应留意三角形的一些隐含条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1在 ABC中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c且 4sin1 求角 B 的度数.（ 2）如 b=3 , a+c=3, 且 ac, 求 a,c 的值 .AC272 cos2B=.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析（ 1）将条件等式转化为关于B 的三角函数关系式,通过解方程求得角B.（ 2）由余弦定理列出关于 a,c 的方程组即可求出a,c 的值 .解析（ 1）在 ABC中,由 A+B+C 180 ,可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品_精品资料_得 sinAC =cos B .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 4sinAC -cos2B= 7 ,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 4cos 2 B -2cos 2B+1= 7 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 4cos2B-4cos B+1=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos B= 1 , B=60 .2222（ 2）由余弦定理,得b =a +c -2 accos B,又 b=3 , a+c=3,2 3= a+c-2 ac-2

11、 ac cos B, ac=2.a+c=3有ac=2 ac解得 a=2, c=1.说明 ABC中的隐含条件有：A+B+C= , sin A+B=sin C,cos A+B =-cosC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAB 2cosC ,cos AB 22sin C 等.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式应用 1已知 k 是整数,钝角三角形ABC的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-2(1) 如方程 x2kx+3k2-7k+3=0有实根,求 k 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_（ 2）对于（ 1）中的 k 值,如 sin C=度数 .k, 且有关系式（ c-b ） sin 2A+bsin 2 B=csin 2C, 试求角 A,B,C的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解析1方程 x -2 kx+3k -7 k+3=0 有实根,222 =4k -43 k -7 k+3 0,即 2k -7 k+30. 1 k 3, 又 k 为整数, k=1,2,3.2(2) 在钝角三角形ABC中, 0sin C1, k=1,sin C=2 .2 C=45或 C=135 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c-b sin2A+bsin2B=c

13、sin2C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C,233得 c-b a +b - c =0,222即 b-c b +c - a +bc=0,222 b=c 或 b +c - a +bc=0.当 b=c 时, B=45或 135,与 ABC为钝角三角形冲突.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b +c - a +bc=0,2由余弦定理,得 cos A= bc 22bca=- 1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A=120 , C=45 , B=15 .专题三角形中的几

14、何运算三角形中的几何运算实际表达了三角形的几何性质的应用. 我们在利用正、余弦定理求解三角形问题时,是通过代数运算去判定三角形的边角关系. 数形结合思想是通常情形下解决数学问题的途径,假如我们能从图形中查找其几何关系,并构造相应的三角形,就几何图形之间的关系就可以转化为解三角形的问题解决 .例 2如下列图,已知 MO=N60 , Q是 MON内一点,它到两边的距离分别为2 和 11,求 OQ的长.分析由 Q点向 MON的两边作垂线,就垂足与O,Q四点共圆,且 OQ为圆的直径,由此可得OQ的长 .解析作 QAOM于 A, QB ON于 B,连结 AB, 就 QA=2, QB=11, 且 O,A,

15、Q,B 都在以 OQ为直径的圆上 . AOB和 AQB为同一弦 AB所对的圆周角,且两角互补. AOB=60 , AQB=120 .在 AQB中,由余弦定理,222得 AB=AQ+BQ-2 AQ BQ cos AQB=22+112-2 2 11cos120 =147, AB=73 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt OBQ中, OQ=又在 AOB中,sin OBOBOQBsin ABOB.OAB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ OQ=sinAB=14.sin 60OABsin 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明与多边形问题一样,其

16、他的几何问题也可以转化为三角形问题,关键在于构造三角形（一般可以构造直角三角形）求解. 此题的关键是通过过一点作角两边的垂线所围成四边形的对角互补,可知此四边形内接于一圆,OQ为圆的直径 .变式应用 2如图,已知在梯形ABCD中, CD=2, AC=19 , BAD=60 , 求梯形的高 .解析 BAD=60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ADC=180 - BAD=120 . CD=2, AC=19 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据正弦定理,得19sin 120sin2,CAD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin CAD=3 .

17、19cos CAD=4,19 sin ACD=sin60 - CAD=sin60 cos ACD-cos60 sin CAD= 3 3 .2 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD= ACsin19ACD =3 32 19=3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinCDA32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ h=AD sin60 = 332专题 3判定三角形的外形例 3在 ABC中,如 B=60 ,2 b=a+c, 试判定 ABC的外形 .分析解决此题有两种方法：一是将角化成边,一是将边化成角.解析解法一：由正弦定理,得2sin B=sin

18、A+sin C.又 B=60 , A+C=120 .即 A=120 -C, 代入上式,得 2sin60 =sin120 - C+sin C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理,得3 sin C21 cosC1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin C+30 =1, C+30 =90 , C=60 , A=60 . ABC为正三角形 .222解法二：由余弦定理,得b =a +c -2 accos B. B=60且 b= ac ,2（ ac ） 2=a2+c2-2 accos60 .2整理,得 a-c 2 =0, a=c, a=b=c, ABC为正三角形

19、.说明在边角混合条件下判定三角形的外形时,可考虑将边化角,从角的关系判定.也可考虑将角化边,从边的关系判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式应用 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ABC中,如 b sin2C+c2sin2B=2bccos B cos C, 试判定三角形的外形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析解法一：将已知等式变形为b1-cos 2C+ c21-cos 2B=2 bccos B cos C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222即有 b +c - b （ ab 2c 2） 2- c2（ ac2b

20、22）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=2bc ac 22ac2abb2a 2b 2c 2,2ab2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc222222a 2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 b +c =24a 44a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2 =a .4a所以 A=90 , 所以 ABC为直角三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由a sin A=b sin B=csin C=2R, 就条件可化为可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_2222224R sinC sinB+4R sinC sin B2=8R sin B sin C cos Bcos C. 又 sin B sin C 0, 所以 sin B sin C=cos Bcos C,即 cos （ B+C） =0. 又 0B+C180 , 所以 B+C=90 , 所以 A=90 .故 ABC为直角三角形 .命题方向正、余弦定理的实际应用例 4 在某海边城市邻近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O 的南偏东可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos22 方向 300km的海面 P处,并且以 20km/h 的速度向西偏北 45的方向

22、移动 . 台风侵袭的10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_范畴为圆形区域, 当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大 . 问几小时后该城市开头受到台风的侵袭？分析此题需要解决两个问题：一是t h 后台风侵袭的半径大小.二是t h 后城市到台风中心Q的距离,如 t 时该城市受到侵袭,就此时OQ的大小应不大于台风侵袭的半径.解析设 t h 台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为（10t +60） km,如在 t 时刻城市 O受到台风的侵袭,就OQ 10t +60.由余弦定理,知OQ2=PQ2+PO2-2 PQ PO cos OPQ,由于 PO=300, PQ=2

23、0t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos OPQ=cos -45 =cos cos45 +sin sin45 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=22 110221022 = 4 .25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 22 OQ=20 t -9600 t +300 ,2 222因此 20 t -9600 t +300 10 t +60,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 t2-36 t+288 0, 解得 12 t 24.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答： 12 h 后该城市开头受到台风的侵袭.说明该题

24、是典型的台风破坏性问题的数学模型,具有较强的实际应用性,此题涉及三角函数、余弦定理、不等式等学问,是一道综合的解三角形实际应用问题.变式应用 4如图, 测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点C与 D. 现测得 BCD= , BDC= , CD=s, 并在点 C测得塔顶 A 的仰角为 , 求塔高 AB.解析在 BCD中, CBD= - - ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理,得sinBCBDCsinCD,CBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BC= CD sinsinBDC CBD=s sinsin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt ABC中, AB=BCtan ACB= stan sinsin.可编辑资料 - - - 欢迎下载