2022年高中数学竞赛讲义十四.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学竞赛讲义十四极限与导数一、基础学问1极限定义：（1）如数列 u n 满意,对任意给定的正数 ,总存在正数m,当 nm 且n N 时,恒有 |u n-A|fa 且 fc=m ,就c a,b,且fc为最大值,故,综上得证.14 Lagrange 中值定理：如fx在a,b上连续,在 a,b上可导,就存在 a,b,使 证明 令 Fx=fx-, 就 Fx 在a,b上连续,在a,b上可导,且 Fa=Fb,所以由13 知存在 a,b使=0,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -

2、 - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -15曲线凸性的充分条件：设函数fx在开区间I 内具有二阶导数,（1）假如对任意 x I, 就曲线y=fx在 I内是下凸的.（2）假如对任意x I, 就y=fx在 I 内是上凸的.通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数.+16琴生不等式：设 1, 2, n R, 1+ 2+ n=1.（ 1）如 fx是 a,b上的凸函数,就x 1,x 2,x na,b有 fa 1x 1+a2x

3、2+anxn a1fx 1+a 2fx 2+anfx n.二、方法与例题1极限的求法.例 1求以下极限：（1）.（ 2）.（ 3）.（ 4） 解 （1）=.（ 2）当 a1 时,当 0a1 时,当 a=1 时,（ 3）由于而所以（ 4）1+1+|x|0 且 . 解（ 1）3cos3x+1.2（ 3）（ 4）（ 5）5用导数争论函数的单调性.例 6设 a0,求函数 fx=-lnx+ax 0,+ 的单调区间.解 , 因 为x0,a0, 所 以222x +2a-4x+a0.x +2a-4x+a+1 时,对全部x0,有 x+2a-4x+a0,即x0,fx在0,+ 上单调可编辑资料 - - - 欢迎下载

4、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2递增.（ 2）当 a=1 时,对 x 1, 有 x+2a-4x+a0,即,所以 fx在（ 0, 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2内单调递增, 在（ 1,+）内递增, 又 fx在 x=1 处连续, 因此 fx在0,+ 内递增.（ 3）当 0a0,解得 x2-a+,因此, fx在0,2-a- 内单调递增,在2-a+,+ 内也单调递增,而当22-a-x2-a+时 , x +2a-4x+a22x.2 证 明 设fx=sinx+tanx-2x, 就=cosx+sec x-2 , 当时 ,（ 因 为0cosxf0=0,

5、即 sinx+tanx2x.7. 利用导数争论极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 8设 fx=alnx+bx2+x 在 x=1 和 x2=2 处都取得极值,试求a 与 b 的值,并指出这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时 fx在 x 1与 x2 处是取得极大值仍是微小值. 解由于fx在0,+ 上连续,可导,又fx在 x1=1, x2=2 处取得极值,所以,又+2bx+1,所以解得所以.所以当 x 0,1时,所以 fx在 0,1上递减.当 x 1,2时,所以 fx在1 ,2 上递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2学习资料 名师精选 -

6、- - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 x 2,+ 时,所以 fx在2 , +）上递减.综上可知 fx在 x 1=1 处取得微小值,在x 2=2 处取得极大值.例 9设 x 0, ,y0,1,试求函数fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx的最小值. 解第一,当 x 0, ,y 0,1时,2fx,y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-yx2=1-yx,令 gx=,当时,由于 cosx0,tanx

7、x,所以.当时,由于cosx0,tanx0,所以.又由于 gx 在0, 上连续,所以gx 在0, 上单调递减.又由于 01-yxxgx,即,又由于,所以当x 0, ,y 0,1时, fx,y0.其次,当 x=0 时, fx,y=0.当 x= 时, fx,y=1-ysin1-y 0.当 y=1 时, fx,y=-sinx+sinx=0.当 y=1 时, fx,y=sinx 0.综上,当且仅当x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时, fx,y取最小值0.三、基础训练题1= .2已知,就 a-b= .3 .4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - -

8、- - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5运算 .6如 fx是定义在 - ,+ 上的偶函数,且存在,就 .7 函 数fx在 - ,+ 上 可 导 , 且, 就 .8如曲线fx=x 4-x 在点 P 处的切线平行于直线3x-y=0 ,就点 P 坐标为 .9函数 fx=x-2sinx的单调递增区间是 .10函数的导数为 .11如曲线在点处的切线的斜率为,求实数a.012. 求 sin29的近似值.13设 0ba0 时,比较大小：ln

9、x+1 x.9. 函数 fx=x5-5x 4+5x3+1,x -1,2的最大值为 ,最小值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10曲线 y=e -x x 0 在点 Mt,e -t 处的切线l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为St ,就 St 的最大值为 .2211如 x0 ,求证： x -1lnx x-1.12函数 y=fx在区间

10、 0,+ 内可导. 导函数是减函数, 且0,x 0 0,+ .y=kx+m是曲线y=fx在点 x 0,fx0 处的切线方程,另设gx=kx+m ,（ 1 ）用 x0,fx0,表示 m.（ 2）证明：当x 0,+ 时, gx fx.（ 3）如关于 x 的不2等式 x +1 ax+b在0,+ 上恒成立, 其中 a,b 为实数, 求 b 的取值范畴及a,b 所满意的关系.13. 设各项为正的无穷数列x n 满意 lnx n+, 证明： x n 1n N+.五、联赛一试水平训练题1设 Mn=（十进制） n 位纯小数0.只取 0 或 1（ i=1,2,n-1 ）,an=1 ,Tn 是 Mn 中元素的个数

11、,Sn 是 Mn 中全部元素的和,就 .x 92如 1-2 绽开式的第3 项为 288,就 .3设 fx,gx分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x0 时,且 g-3=0,就不等式fxgx0, 如 对 任 意x ln3a,ln4a, 不 等 式-1|m-fx|+ln0 恒成立,就实数m取值范畴是 .9. 已知函数fx=ln1+x-x,gx=xlnx,（1）求函数fx的最大值.（ 2）设 0ab,证明： 0ga+gb-b-aln2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - -

12、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10.1设函数 fx=xlog2x+1-xlog21-x 0x1,求 fx的最小值.（2）设正数 p1,p 2 ,满意 p1+p2+p3+=1,求证： p1log 2p1+p2 log 2p2+log 2 -n.11. 如函数 gAx 的定义域A=a,b,且 gAx=, 其中 a,b 为任意的正实数,且ab,（ 1）求 gAx 的最小值.2222（ 2）争论 gAx 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）如x 1I k=k,k+1,x2I k+1=k+1,k+2,证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、联赛二试水平训练题1证明以下不等式：（1）.（ 2）.2当 01.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载