2022年高中数学压轴题五.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -备战 2022高考数学压轴题跟踪演练系列五1（本小题满分14 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知椭圆x2y1 ab0 的左、右焦点分别是F 1（ c,0 ）、F2（ c,0）,Q 是椭圆外的动点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 | F1Q |2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, 点 T 在线段 F2 Q 上,并且满意 PTTF20,| TF2 |0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

2、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设x 为点 P 的横坐标,证明（）求点T 的轨迹 C 的方程.| F1 P |ac x . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）试问：在点T 的轨迹 C 上,是否存在点M ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使 F 1MF 2 的面积 S=b 2 . 如存在,求 F 1MF 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的正切值.如不存在,请说明理由.本小题主要考查平面对量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学学问解决问题的才能.满分 14 分.可编辑资料 - -

3、 - 欢迎下载精品_精品资料_（）证法一：设点P 的坐标为 x, y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 P x, y 在椭圆上,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| F P |xc 2y 2 xc 2b 2bx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ac aa 2x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 xa, 知ac xaca0 ,所以| F1P |ac x.3 分a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证法二：设点

4、P 的坐标为x, y. 记 | F1P |r1 ,| F2 P |r2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r就 r1xc2y 2 , r xc 2y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 r1r22a, r 224cx,得| F1 P |r1ac x. a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12证法三：设点P 的坐标为x, y. 椭圆的左准线方程为ac x0. a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| F P |cca 2c可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆其次定义得1,即 | F1 P | x| | ax | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 xa,知aa2a| x|cc xca a0 ,所以ac| F1P |aac x.3 分a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解法一：设点T 的坐标为 x, y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 | PT |0 时,点（ a ,0 ）和点（a , 0）在轨迹上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当| PT |0且 | TF2 |0 时,由| PT | TF2 |0 ,得 PTTF2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 | PQ | PF2| ,所以 T 为线段 F2Q 的中点 .可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 QF 1F 2 中,| OT |1| F1 Q |2a ,所以有x2y2a 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,点T 的轨迹 C 的方程是x 2y2a 2 .7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：设点T 的坐标为x, y.当 | PT |0 时,点（ a , 0）和点（a , 0 ）在轨迹上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_当| PT |0 且 | TF2 |0 时,由 PTTF20 ,得 PTTF2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 | PQ | PF2| ,所以 T 为线段 F2 Q 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 Q 的坐标为（x , yx）,就yxc , 2y . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2xc,因此y 2 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 | F1Q |2a 得 xc2y 24a 2 .

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入,可得x2y 2a 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,点T 的轨迹 C 的方程是 x 2y 2a 2 .7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解法一：C 上存在点 M （x0 , y0）使 S=b 2 的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xya,22200122c | y0 |b .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得| y0 |a ,由得b2| y0 |.所以,当 ab时,存在点M ,使 S= b 2

10、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cc当 ab 2 时,不存在满意条件的点M.11 分cb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a时,cMF1cx0 ,y0 , MF2cx0 ,y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 MF1MF2222xyc00a2c2b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MF1MF 2| MF1 | MF2| cosF1 MF2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

11、迎下载精品_精品资料_1S1 | MF| 2| MF 2| sinF1MF 2b 2 ,得tanF1 MF 22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： C 上存在点M （x0 , y0 ）使 S=b 2 的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

12、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y0012c | y 22a,|b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422由得 | y|b.上式代入得x 2a2bab ab0.00cc 2cc2于是,当 ab时,存在点M ,使 S= b 2 .c当 ab 2 时,不存在满意条件的点M.11 分c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21当 ab时,记 kck F My0x0c, k22kF My0,x0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由 | F1 F2 |2a,

13、 知F1MF290,所以tanF1 MF 2| k1k2 |2.1k k14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 22（本小题满分12 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 在区间（ 0, +）内可导,导函数f x是减函数,且f x0 .设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 0, ykxm 是曲线 yf x 在点（x0 ,f x0 ）得的切线方程,并设函数g xkxm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）用x0 、f

14、x0 、 f x0 表示 m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：当x00,时, g xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如关于x 的不等式x21axb23 x 3 在0,2 上恒成立,其中a、b 为实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 b 的取值范畴及a 与 b 所满意的关系.本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及敏捷运用数形结合的思想判定函数之间的大 小关系 .考查同学的学习才能、抽象思维才能及综合运用数学基

15、本关系解决问题的才能.满分 12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解：mf x0 x0 f x0 .2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：令h xg xf x, 就h xf x0 f x, h x0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 为 fx 递减,所以h x 递增,因此,当xx0时, h x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xx0时, h x0 . 所以x0

16、 是h x 唯独的极值点,且是微小值点,可知h x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值为0,因此h x0, 即g xf x.6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解法一：0b1, a0 是不等式成立的必要条件,以下争论设此条件成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 21axb,即x2ax1b0 对任意 x0, 成立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_a211b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面,由于f x23 x 3 满意前述题设中关于函数2yf x 的条件,利用（II ）的结果可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axb23 x

18、32的充要条件是：过点（0 , b ）与曲线y23 x 3 相切的直线的斜率大于a ,该切线的方程为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y2b 2 xb.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 axb23 x3 的充要条件是a212b 2 .10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,不等式x 21axb23 x 3 对任意 x2 0, 成立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 2b 2a211b 2 .可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,存在a 、b 使式成立的充要条件是：不等式12b 2211b 2 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有解、解不等式得22b422 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,式即为b 的取值范畴,式即为实数在a 与 b 所满意的关系 .12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）解法二：0b1, a0 是不等式成立的必要条件,以下争论设此条件成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品_精品资料_x 21axb,即x 2ax1b0 对任意 x0, 成立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a令 x21ax1b 2 .b23 x 3 ,于是 axb223 x 3 对任意 x2 0,8 分 成立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0.由 x1ax 30得xa 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3当 0xa时 x0; 当 x3a时, x0 ,所以,当x3a时,x

21、 取最小值. 因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 成立的充要条件是 a 3 0 ,即 a12b2 .10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,不等式x 211axb123 x 3 对任意 x2 0, 成立的充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2b 2a21b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,存在a 、b 使式成立的充要条件是：不等式12b 2211b 2可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有解、解不等式得22b422 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,式即为b 的取值范畴,式即为实数在a 与 b 所满意的关系 .12 分3（本小题满分12 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为 S ,且 SSn5nN * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）证明数列an1是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

23、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）令f xa xa x2a xn ,求函数f x 在点 x1 处的导数f 1 并比较 2 f1与 23n 213n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n的大小 .解：由已知Sn 1Snn5nN * 可得 n

24、2, Sn2 Sn 1n4 两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 1Sn2SnSn 11 即 an12an1 从 而an 112 an1 当 n1 时 S22 S115 所 以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a 12a 16 又 a15 所以a211 从而 a212 a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故总有 a12a1 , nN * 又 a5, a10 从而an 112 即数列a1 是等

25、比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n11nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1n（ II）由（ I）知 an321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f xa xa x2a xn 所以f xa2a xna xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 f1a2 ana=3212 3221n32n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n= 3 2222n2n- 12由上2 f 123n213n12n1n 1n n1可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品_精品资料_n= 3 n1262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n -12 2n2n1 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 n12n12 n1 2n1 =12 n1 2n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n1 时,式 =0 所以 2 f123n 213 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时,式 =-120

27、 所以 2 f123n 213n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n3 时, n10B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n01n又 211CC2n22n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CnCn 1nnnnyA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以n12n2n10 即0 从而 2 f123n213nNMxo可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 本小题满分14 分 Fp ,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知动圆过定点p ,02,且与直线xp相切,其中p0 .p 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品_精品资料_（ I）求动圆圆心C 的轨迹的方程.（ II）设 A 、B 是轨迹 C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和 OB 的倾斜角分别为和,当,变化且为定值0 时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I）如图,设M 为动圆圆心,p ,02为记为 F ,过点 M 作直线 xp 的垂线,垂足为N ,由题2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资

29、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意知： MFMN即动点 M 到定点 F 与定直线xp 的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为抛物线,其中Fp ,02为焦点,xp为准线,所以轨迹方程为2y22 px P0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）如图,设Ax1 , y1, B x2, y2,由题意得x1x2 （否就）且x1 , x20 所以

30、直线AB 的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率存在,设其方程为ykxb ,明显 x2y1 , x2y2 ,将 ykxb 与y22 pxP0 联立消去x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122 p2 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 ky22 py2 pb0 由韦达定理知yy2 p , yy2 pb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当时,即21212kkyy时, tantan1 所以122x1x21, x1x2y1y222y y012, 4 p 2y1 y20 所可编辑资

31、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 y1 y24 p2由 知 ：2 pb k4 p 2所 以 b2 pk. 因 此 直 线 AB 的 方 程 可 表 示 为ykx2Pk , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k x2 Py0所以直线AB 恒过定点2 p,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当时,由,得 tantan =2tantan=1tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 p y1 y1y2y2 24 p将式代入上式整理化简可得：t