2022年高中数学第三章推理与证明归纳推理学案北师大版选修- .docx

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1、精品_精品资料_1 1归纳推理1. 明白归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简洁的推理 重点 2. 明白归纳推理在数学进展中的作用 难点 基础初探 教材整理归纳推理阅读教材 P53 P55“练习”以上部分,完成以下问题 1归纳推理的定义依据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,这种推理方式称为归纳推理2归纳推理的特点归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不肯定是正确的判定 正确的打“”,错误的打“”(1) 统计学中, 从总体中抽取样本, 然后用样本估量总体, 这种估量属于归纳推理 (2) 由个别到一般的推理称为归纳推理(3) 由归纳推理所

2、得到的结论肯定是正确的【答案】1 2 3 质疑手记 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨沟通：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 小组合作型 , 数式中的归纳推理223344551 观看以下各式： a b 1,a b 3,a b 4,a b 7,a b 11,ab1010就 A 28B 76C 123D 199x2 已知 f x 1x,设 f 1 x f x ,f n x f n1 f n 1 xn1,且 n N ,就 f 3 x的表达式为,猜想 f n x n N 的表达式为.nn【出色点拨】1 记 a

3、b f n ,观看 f 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4 ,f 5 之间的关系, 再归纳得出结论2 写出前 n 项发觉规律,归纳猜想结果nn【自主解答】1 记 a b f n ,就 f 3 f 1 f 2 1 3 4.f 4 f 2 f 33 4 7. f 5 f 3 f 4 11. 通过观看不难发觉f n f n 1 f n2 n N , n3 ,就 f 6 f 4 f 5 18.f 7 f 5 f 6 29.f 8 f 6 f 7 47.f 9f 7 f 8 76.f 10 f 8 f 9 123.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a b 123.1010x可编辑资料

4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f 1 x f x 1 x,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2 x f 1 f 1 x 1 xxxx1 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 3 x f 2 f 2 x 1 1 xx1 2xxxx 1 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 1 2x由 f 1 x , f 2 x , f 3 x 的表达式,归纳 f n x 1x2n 1 n N x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx【答案】1C2 f 3 x 1 4xf n x 1 2n 1x n N 已知等式或不等式进行归纳

5、推理的方法：(1) 要特殊留意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律.(2) 要特殊留意所给几个等式 或不等式 中结构形式的特点.(3) 提炼出等式 或不等式 的综合特点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 运用归纳推理得出一般结论 再练一题 1应用归纳推理推测.2n 个 1n 个 2【解析】n1 时,有11 29 3,n 2 时,有1 111 22 1 089 33,n 3 时,有111 111 222110 889 333.猜想：【答案】n 个 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 在数列 an 中, a1 1, an1 a, 数列中的归

6、纳推理,就 a2 017 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 11A 2B 2C 2D 12 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来讨论数,如图3-1-1:【导学号：67720221】图 3-1-1由于图中 1,3,6,10这些数能够表示成三角形,故被称为三角形数,试结合组成三角形数的特点,归纳第n 个三角形数的石子个数【出色点拨】1 写出数列的前n 项,再利用数列的周期性解答2 可依据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律,如 1 1,3 1 2,6 1 2 3.也可以直接分析三角形数与n 的对应关系,进而归纳出第n 个三角形数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_1【自主解答】1 a1 1,a2 2,a3 2,a4 1,数列 an 是周期为 3 的数列,2 017 6723 1, a2 017 a1 1.【答案】D2 法一：由1 1,3 1 2,6 1 2 3,101 2 34,nn可归纳出第 n 个三角形数为1 2 3 n2.法二观看项数与对应项的关系特点如下：项数1234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对应项1222323424 52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：各项的分母均为2,分子分别为相应项数与相应项数加1 的积nn归纳：第 n 个三角形数的石子数应为2.数列中的归纳推理：在数列问题中,经常用

8、到归纳推理推测数列的通项公式或前n 项和(1) 通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和.(2) 依据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解.(3) 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式 再练一题 2已知数列 an 满意 a1 1,an 1 2an 1 n 1,2,3 , 1 求 a2, a3, a4, a5.2 归纳猜想通项公式an.【解】1 当 n 1 时,知 a1 1, 由 an1 2an 1,得 a2 3,a3 7, a415, a5 31.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由1 1 2 1,

9、a2 3 2 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_345a3 7 2 1, a4 15 2 1, a531 2 1,n可归纳猜想出 an2 1 n N 探究共研型 , 几何图形中的归纳推理探究 1在法国巴黎举办的第52 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成如干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1 堆只有一层,就一个球.第2,3,4 ,堆最底层 第一层 分别按图 3-1-2所示方式固定摆放,从其次层开头,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以f n 表示第 n 堆的乒乓球总数,试求f 1 ,f 2 ,f 3 , f 4 的值图 3-1-2【提示

10、】观看图形可知, f 1 1, f 2 4, f 3 10, f 4 20.探究 2上述问题中,试用n 表示出 f n 的表达式【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数,即f 22f 1 3. f 3 f 2 6.f 4 f 3 10. f n f n 1 nn.将以上 n 1 个式子相加可得2f n f 1 3 6 10 nn1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 122 n 1 2 3 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1nnn2 6nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_nnn6.有两种花色的正六边形的面砖,按图3-1-3的规律拼成如干个图案,就第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是图 3-1-3A 26B 31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 32D 36【出色点拨】解答此题可先通过观看、分析找到规律,再利用归纳得到结论【自主解答】法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6 为首项,以 5 为公差的等差数列,所以第6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是656 1 31.法二：由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6 个有纹正六边形环绕 图案1) 外,每增加一块

12、无纹正六边形,只需增加5 块菱形纹正六边形 每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形 ,故第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数为656 1 31.【答案】B归纳推理在图形中的应用策略：通过一组平面或空间图形的变化规律,讨论其一般性结论,通常需把外形问题数字化, 呈现数学之间的规律、特点,然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是： 再练一题 3. 依据图 3-1-4中线段的排列规章,试猜想第8 个图形中线段的条数为 .图 3-1-4【解析】分别求出前 4 个图形中线段的数目,发觉规律,得出猜想,图形到中线2345段的条数分别为 1,5,13,29,由于 1 2 3,5 2

13、3,13 2 3,29 2 3,因此可猜想第可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 个图形中线段的条数应为2【答案】5098 1 3509. 构建体系 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12022 厦门高二检测 用火柴棒摆“金鱼”,如图3-1-5所示：图 3-1-5依据上面的规律,第【解析】【答案】n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为B 8n 2D 8n 2a1 8,a2 14, a320,猜想 an 6n 2. CA 6n 2C 6n 222022 广东高考 如空间中 n 个不同的点两两距离都相等, 就正整数 n 的取值

14、 A至多等于 3C等于 5B至多等于 4D大于 5【解析】n 2 时,可以. n 3 时,为正三角形,可以. n4 时,为正四周体,可以.n 5 时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等,不行能【答案】B3经运算发觉以下不等式：2 18210, 4.5 15.5210, 32 172210,依据以上不等式的规律, 试写出一个对正实数a,b 都成立的条件不等式： .【答案】当 a b 20 时,有a b1 , n N 个点,每个图形总的点数记为an ,就 a6 , an .图 3-1-8【解析】依据图形特点可知当n 6 时,三角形各边上各有6 个点, 因此 a636 315.

15、由 n2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an 3n 3 n2, n N 【答案】153n 3 n2, nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题1S9已知数列 an 的前 n 项和为 Sn, a11,且 Sn 1 20 n2 ,运算 S1,S2, S3,nS4,并猜想 Sn 的表达式【解】当 n1 时, S1a1 1.1S当 n2 时, 2 S1 3,21 S2 .315S3当 n3 时, 2 S2 ,33 S3 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n4 时,17 2 S3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 S4 .7S452n

16、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想： Sn 2n1 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_110已知 f x x,分别求 f 0 f 1 , f 1 f 2 , f 2 f 3 的值,然可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 3后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.【导学号： 67720222】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1【解】由 f x x31,得 f 0 f 1 013 1 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33 33 31133f 1 f 2 1 2,333 31133f 2 f 3 2 3.33

17、3 33归纳猜想一般性结论为f x f x 1 3 .证明如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x f x 1 x1 x 131xx x 133xx 11x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3333133 333 33 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x33 13 3x 1 x331x3 3333 . 才能提升 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12022 西安期末检测 平面内有 n 条直线, 最多可将平面分成f n 个区域, 就 f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_的表达式为 A n1B 2nn2 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2D n2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】1 条直线将平面分成1 1 个区域. 2 条直线最多可将平面分成1 1 2 4 个区域. 3 条直线最多可将平面分成1 1 2 3 7 个区域., n 条直线最多可将平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面分成 11 2 3 n 1【答案】Cnn2n2n 22个区域,选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022 南昌调研 已知整数对的序列为 1,1 ,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,

19、1,4, 2,3, 3,2, 4,1, 1,5, 2,4,就第 57 个数对是 A 2,10B 10,2C 3,5D 5,3【解析】由题意,发觉所给数对有如下规律：1,1 的和为 2,共 1 个.1,2 , 2,1的和为 3,共 2 个.1,3 , 2,2,3,1的和为 4,共 3 个.1,4 , 2,3,3,2, 4,1的和为 5,共 4 个.1,5 , 2,4,3,3, 4,2, 5,1的和为 6,共 5 个由此可知, 当数对中两个数字之和为n 时,有 n 1 个数对 易知第 57 个数对中两数之和为 12,且是两数之和为12 的数对中的第 2 个数对,故为 2,10【答案】A3. 如图

20、3-1-9 ,将一个边长为1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向三角形外作正三角形,并擦去中间一段,得图3-1-9 ,如此连续下去,得图3-1-9 , 试用 n 表示出第 n 个图形的边数an. 图 3-1-9【解析】观看图形可知, a1 3, a212, a3 48,故 an 是首项为 3,公比为 4n 1的等比数列,故 an34 .3n 1【答案】424. 某同学在一次讨论性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sin13 cos17 sin 13 cos 17 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin2

21、15 cos215 sin 15 cos 15 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin218 cos212 sin 18 cos 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 sin 18 cos 48 sin 18cos 48 .22 sin 25 cos 55 sin 25cos 55 .(1) 试从上述五个式子中挑选一个,求出这个常数.(2) 依据 1 的运算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】1 挑选式,运算如下：sin15 c

22、os 15 sin 15 cos 15 1 2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1330 1.4 4.42 三角恒等式为sin 2 cos 230 sin cos30 3证明如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 cos230 sin cos30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin22 cos30 cos sin30 sin sin cos30cos sin30sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_232312312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin 4cos 2 sin cos 4sin 2 sin cos sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 sin 4234 cos234 .可编辑资料 - - - 欢迎下载