2022年高中数学必修立体几何专题-线面垂直专题典型例题精讲.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -线面垂直的证明中的找线技巧通过运算,运用勾股定理寻求线线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 如图 1,在正方体ABCDA1 B1C 1D1 中, M 为 CC1的中点, AC 交 BD 于点 O,求证：A1O平面 MBD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：连结MO,A1 M , DBA1 A ,DB AC,A1 AACA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DB平面A1ACC1 ,而A1O平面A1 ACC

2、1 DBA1O 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_232232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设正方体棱长为a ,就A1Oa , MOa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22924222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt A1C 1M 中,A1Ma4A1OMOA1M,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1OOM OM DB= O,A1O 平面 MBD 评注：在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过运算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2 如图 2, P 是 ABC 所在平面外的一点,且PA平面 ABC,

3、平面 PAC 平面 PBC 求证： BC平面 PAC 证明：在平面PAC 内作 AD PC 交 PC 于 D 由于平面 PAC平面 PBC ,且两平面交于PC,AD平面 PAC,且 ADPC, 由面面垂直的性质, 得 AD平面 PBC 又 BC平面 PBC, AD BCPA平面 ABC , BC平面 ABC, PA BCAD PA= A, BC平面 PAC （另外仍可证BC 分别与相交直线AD,AC 垂直,从而得到BC平面 PAC）评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中, 高一级

4、的垂直关系中包蕴着低一级的垂直关系,通过此题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面性质性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直这三者之间的关系特别亲密,可以相互转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会敏捷应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示, ABCD为正方形,SA 平面 ABCD,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交SB, SC, SD 于 E, F, G 求证： AESB , AGSD 证明： S

5、A平面 ABCD, SABC ABBC , BC平面 SAB又 AE平面 SAB,BCAE SC平面 AEFG, SCAE AE平面 SBC AESB 同理可证 AGSD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -评注 ： 此题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多留意考虑线和线所在平面的特点

6、,从而顺当实现证明所需要的转化4 如图,在三棱锥 BCD中, BC AC, AD BD,作 BE CD, 为垂足,作AHBE于求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ,连结 CF,DFACBC,CFABADBD,DFAB又 CFDFF , AB平面 CDF CD 平面 CDF, CDAB 又 CDBE , BEABB , CD平面 ABE, CDAH AHCD , AHBE , CDBEE ,AH平面 BCD评注 ：此题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直.而证明线线垂直时, 又转化为证明线面垂直 如此反复,直到证得结论5 如图, AB 是圆 的直径, 是圆周上一点,P

7、A平面 ABC如 AE PC , 为垂足, 是 PB上任意一点,求证：平面AEF平面 PBC证明： AB是圆 的直径,ACBC PA平面 ABC, BC平面 ABC, PABC BC平面 APC BC平面 PBC,平面 APC平面 PBC AEPC,平面 APC平面 PBCPC, AE平面 PBC AE平面 AEF,平面 AEF平面 PBC评注： 证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中查找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直就需从已知条件动身查找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD 中,如 AB CD , BCAD ,求证： AC BDADBOC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

8、品资料_证明：过 A 作 AO 平面 BCD 于 O.ABCD, 于是BDCOBDAC7. 证明：在正方体ABCD A 1B1 C1 D1 中, A 1C平面 BC1DCDBO同理 BCDOO 为 ABC 的垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -D 1C1A 1B 1DC可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品_精品资料_证明：连结ACBDACAC 为 A 1 C 在平面 AC 上的射影BDA1 C同理可证 A1CBC1A1 CAB平面BC1 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 如图, PA平面 ABCD , ABCD 是矩形, M 、N 分别是 AB 、PC 的中点,求证：MNABPNDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.证：取 PD 中点 E,就EN / 1 DC2AMBP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ENDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EN / AMAMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AE

10、 / / MN又CDADCDAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDPA平面 AC平面 PADCD / / ABMNAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AE平面 PADAE / / MN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 如图在 ABC 中, AD BC , ED=2AE , 过 E 作 FG BC,且将 AFG沿 FG折起,使 AED=60,求证 :A E平面 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系.解：FG BC,AD BCAE FGAE BC设 AE=a,就 ED=2a由余弦定理得：A D2=AE2+ED2 -2 .AE.EDcos60=3a2ED2=AD2+AE2AD AEAE平面 ABCA CDGAEBF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 如图 , 在空间四边形SABC 中, SA 平面 ABC ,ABC = 90 , ANSB 于 N, AMSC

12、于 M .求证 : AN BC; SC 平面 ANM分析 :要证 ANBC, 转证 , BC 平面 SAB.要证 SC 平面 ANM , 转证 , SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证 SC AM , SC AN.要证 SC AN, 转证 AN平面SBC, 就可以了.证明 : SA 平面 ABCSA BC又 BCAB, 且 ABSA = A BC 平面 SAB AN平面 SAB AN BC ANBC, AN SB, 且 SBBC = B AN 平面 SBC SCC 平面 SBC AN SC又 AMSC, 且 AMAN = A SC 平面 ANM11 已知如图, P平面 ABC, P

13、A=PB=P,C APB=APC=60, BPC=90 求证：平面ABC平面 PBC分析：要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可.明显BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即可证明：取 BC 中点 D连结 AD 、PDPA=PB. APB=60 PAB为正三角形同理 PAC为正三角形设 PA=a在 RTBPC中, PB=PC=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC=2 aPD=22 a在 ABC中AD=22AB2BD 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=2 aAD2+PD2=2 a222 a2=AP2 APD为直角三角形即

14、AD DP又 AD BC=a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD平面 PBC平面 ABC平面 PBC12. 如图,直角BAC 在外,AB /, ACC ,求证：BAC 在内射影CA B为直角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -ABABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

15、精品资料_证：如下列图,AAA B、 BB,B A C 为射影.AA / BB确定平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAB /AB / ABAAA BABAAABACAB面AA C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A B面CA AA BCACA B为直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 以 AB 为直径的圆在平面内, PA于 A ,C 在圆上,连PB 、PC 过 A 作 AE PB 于 E ,AF PC 于 F,试判定图中仍有几组线面垂直.PEFABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA BCAB为直径解：PABCACBCB

16、C面PACAF面 PACAFBCAFPCAF面PBCAFPBAEPBPB面 AEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个平面垂直例题解析1在三棱锥A BCD 中,如 AD BC, BD AD , BCD 是锐角三角形,那么必有（）A 平面 ABD 平面 ADC B平面 ABD 平面 ABC C平面 ADC 平面 BCD D平面 ABC 平面 BCD【解析】由AD BC, BD ADAD 平面 BCD ,面 AD平面 ADC 平面 ADC 平面 BCD 【答案】 C 2直三棱柱ABC A 1B 1C1 中, ACB=90 , AC=AA 1 =a,就点 A 到平面 A 1BC 的距

17、离是（）2A aB 2 aC2aD3 a【解析】取 A 1C 的中点 O,连结 AO , AC=AA 1, AO A 1C,又该三棱柱是直三棱柱平面A1 C平面 ABC 又2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BCAC BC AO ,因 AO 平面 A 1BC,即 A 1O 等于 A 到平面 ABC 的距离解得：A 1O=2a【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点O,P 到三个面的距离分别是3,4,5,就 OP 的长为（）A 53B 52C35D 25【解析】构造一个长方体,OP 为对角线【答案】B4在两个相互垂直的平面的交线上,有两点 A 、B,AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直于AB 的线段, AC=6 ,AB=8 ,BD=24 ,就 C、D 间距离为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】如图, CD=CA2AD 2 =CA2AB2BD2 =6282242=676 =26可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_5设两个平面 、 ,直线 l,以下三个条件：l , l , 如以其中两个作为前提,另一个作为结论,就可构成三个命题,这三个命题中正确的命题个数为（）A 3B 2C 1D 0【解析】,其余都错【答案】C【典型例题精讲】例 1 如图 9 39,过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB、SC,且 ASB= ASC=60 , BSC=90,求证：平面 ABC 平面 BSC 图 9 39【证明】 SB=SA=SC, ASB= ASC=60 AB=SA=AC取 BC 的中点 O,连 AO 、SO,就 AO BC, SO BC ,2 AOS 为二面角的平面角,设SA=SB

20、=SC=a ,又 BSC=90 , BC=2 a,SO=2a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1AO 2=AC 2 OC2=a2 21a2= 2a2, SA 2=AO 2+OS2, AOS=90 ,从而平面ABC 平面 BSC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例 2如图 940,在三棱锥 SABC 中, SA平面 ABC ,平面 SAB平面 SBC 图 9 40（ 1）求证： AB BC .（ 2）如设二面角SBC A 为 45, SA=BC ,求二面角A SCB 的大小可编辑资料 -

21、- - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）【证明】作AH SB 于 H ,平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC=SB , AH 平面 SBC,又 SA 平面 ABC , SA BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为SB, BC SB ,又 SA SB=S, BC平面 SAB BC AB （ 2）【解】 SA平面 ABC ,平面SAB

22、平面 ABC ,又平面 SAB 平面 SBC, SBA 为二面角 SBC A 的平面角, SBA=45 设 SA=AB=BC=a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2作 AE SC 于 E,连 EH ,就 EH SC, AEH 为二面角 A SC B 的平面角, 而 AH=26a,AC=2 a,SC=3 a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AE=3a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sinAEH=2,二面角 A SC B 为 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例 3如图 941,PA平

23、面 ABCD ,四边形 ABCD 是矩形, PA=AD=a , M 、N 分别是 AB 、PC 的中点（ 1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小.（2）求证：平面MND 平面 PCD（ 1）【解】 PA平面 ABCD ,CD AD , PD CD ,故 PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角,在RtPAD 中, PA=AD , PDA=45 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 2）【证明】取 PD 中点 E,连结 EN ,EA ,就 EN2CDAM ,四边形 ENMA 是平行四边形, EA MN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

24、品资料_ AE PD,AE CD , AE 平面 PCD ,从而 MN 平面 PCD , MN平面 MND ,平面MND 平面 PCD 【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直,此题中要证MN 平面 PCD 较困难,转化为证明AE 平面 PCD 就较简洁了另外,在此题中,当AB 的长度变化时,可求异面直线PC 与 AD 所成角的范畴例 4如图 942,正方体 ABCD A 1B 1C1D1 中, E 、F、M 、N 分别是 A 1B 1、BC、C1D1、B 1C1 的中点图 9 42（ 1）求证：平面MNF 平面 ENF（ 2）求二面角M EFN 的平面角的正切值可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）【证明】 M 、N 、E 是中点,EB 1B1NNC 1C1 M ENB 1MNC 145可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MNE90即 MN EN ,又 NF 平面 A 1C1, MN平面 A 1C1 MN NF ,从而

26、 MN 平面 ENF MN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面 MNF ,平面 MNF 平面 ENF（ 2）【解】过N 作 NH EF 于 H ,连结 MH MN 平面 ENF, NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影,2由三垂线定理得MH EF, MHN 是二面角 M EFN 的平面角在 RtMNH 中,求得 MN=23a,NH=3a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN tanMHN=NH662,即二面角M EF N 的平面角的正切值为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5在长方体ABCD

27、A 1B 1C1D 1 中,底面ABCD 是边长为2 的正方形,侧棱长为3 , E、F 分别是 AB 1、CB1的中点,求证：平面D1 EF平面 AB 1C【证明】如图943, E、F 分别是 AB 1、CB 1 的中点,图 9 43 EFAC AB 1=CB 1 ,O 为 AC 的中点 B 1OAC 故 B 1OEF在 RtB 1BO 中, BB 1=3 ,BO=1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BB 1O=30,从而 OB 1D1=60,又 B 1D1=2, B 1O1= 2OB 1=1 （O1 为 BO 与 EF 的交点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

28、料_ D1 B1O1 是直角三角形,即B 1O D1O1, B1 O平面 D1 EF又 B 1O平面 AB 1C,平面D1 EF平面 AB 1 C1棱长都是2 的直平行六面体ABCD A 1B 1C1D 1 中, BAD=60 ,就对角线A 1C 与侧面 DCC1D 1 所成角的正弦值为 【解】过 A 1 作 A 1G C1D1 于 G,由于该平行六面体是直平行六面体,A1 G平面 D1 C,连结 CG , A 1 CG 即为 A 1C与侧面 DCC 1D1 所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 12

29、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 A 1G= A 1 D1 sinA 1 D 1 G=2sin60 =22=3 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC= A 1 C=2AB1A A 2BC2AC 22 ABBC4122222cos120 =4 ,2221 232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

30、料_ sinA 1CG=A1G A1C334【答案】4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 CD 的中点, EF、BD 相交于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二面角,就BOD= 【解析】设正方形的边长为2a就 DO 2=a2+a2=2a2OB 2 =a2+a2=2a2DB 2=DF 2+FB 2=a2+4a2+a2=6a2 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DOB=2a 222a22a6a 22a12 , DOB=120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3如图 944,已知斜三棱柱ABC A 1B

31、 1C1 的各棱长均为2,侧棱与底面成3 的角,侧面ABB 1 A1 垂直于底面,图 9 44（ 1）证明： B 1C C1A （ 2）求四棱锥B ACC 1A 1 的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）【证明】过B 1 作 B1 O AB 于 O,面 ABB 1A 1底面 ABC ,面ABB 1 A 1面ABCAB B 1O面 ABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B1 BA 是侧棱与底面所成角, B1BA= 3 ,又各棱长均为2,O 为 AB 的中点,连 CO,就 COAB ,而 OB 1 CO=O , AB 平面 B 1OC ,又 B1 C平

32、面 OB 1 C, B 1C AB ,连 BC 1, BCC 1B 1 为边长为 2 的菱形, B 1C BC1,而 AB BC1=B , B1C面 ABC 1 A1 C面 ABC 1 B 1C AC1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3（ 2）【解】在RtBB 1 O 中, BB 1=2, BO=1 , B1O=3 , V 柱=Sh=4 43 =3, VB1A1 B1C1 = 3 V 柱 =1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VB AA C CVB A B C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1=V 柱 1 1 1 =3 1=2可编辑资料 -

33、- - 欢迎下载精品_精品资料_4如图 945,四棱锥 PABCD 的底面是边长为a 的正方形, PA底面 ABCD , E 为 AB 的中点,且 PA=AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图 9 45（ 1）求证：平面PCE平面 PCD.（ 2）求点 A 到平面 PCE 的距离（ 1）【证明】 PA平面 ABCD ,AD 是 PD 在

34、底面上的射影,又四边形ABCD 为矩形, CD AD , CD PD, AD PD=D CD 面 PAD , PDA 为二面角 P CD B 的平面角, PA=PB=AD , PA AD PDA=45 ,取 RtPAD 斜边 PD 的中点 F,就 AF PD, AF面 PAD CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 AF ,又 PDCD=D AF 平面 PCD,取 PC 的中点 G,连 GF、AG 、EG,就 GF21CD 又 AE2CD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ GFAE四边形AGEF 为平行四边形AF EG , EG 平面 PDC 又 EG平面 P

35、EC,平面 PEC平面 PCD （ 2）【解】由（ 1）知 AF 平面 PEC,平面 PCD平面 PEC,过 F 作 FH PC 于 H ,就 FH平面 PEC FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为A 到平面 PEC 的距离在 PFH 与 PCD 中, P 为公共角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FH而 FHP= CDP=90, PFH PCD CD222PFPC ,设 AD=2 , PF=2 ,266可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PC=PDCD8423 , FH= 233 A 到平面 PEC 的距离为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5已知直四棱柱ABCD A 1B 1C1D 1 的底面是菱形,对角线AC=2 ,BD=23 , E、F 分别为棱CC1、BB 1 上的点,且满意 EC=BC=2FB 图 9 46（ 1）求证：平面A