2022年高中数学解析几何椭圆性质与定义 .docx

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1、精品_精品资料_椭圆的性质及应用一、圆锥曲线圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线,其中的椭圆、双曲线、抛物线 叫圆锥曲线, 其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线,双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线, 圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线,其他平面截取的就为椭圆.圆锥曲线有一个共同的定义： 即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹.二、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹,也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于 1 常值的点之轨迹.椭圆的第肯定义： 平面内与两定点 F、F的距离的和等于常数 2a 2a

2、|FF|的动点 P 的轨迹叫做椭圆.即： PF+PF=2a ,其中两定点 F、F叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 FF叫做椭圆的焦距.假设 2a=|FF|,为线段,假设 2ab0 ,这样的椭圆长轴在x 轴上,焦点在 X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b2轴时,假设 xa 2,ab0,这样的椭圆长轴在y 轴上.焦点在y 轴时.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1有两条线段, a、b 中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长,当ab 时,焦点在 x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上,焦距为2 a2b2

3、,焦距与长、短半轴的关系 :a2c2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22椭圆的其次定义由椭圆的第肯定义：可到椭圆方程为：xy1a 2b 222y 2bx 2b 22a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将b 2a 2c 2 代入,可得： y 2acx 2a 2c 22a22242222c2yxca2 x a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以： yxc 2c xayac 222ca 42cxcxa a2y2xcc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由此可得： y 2xcxac 2a 2axc可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品_精品资料_所以可得椭圆的其次个定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合定点F 不在定直线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2该常数为小于 1 的正数 ,其中定点 F 为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线该定直线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是 xa.常数 e 是椭圆的离心率. e cc0 ae1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：准线和焦点对应,左准线对应左焦点,右准线对应右焦点下面我们介绍其次定义的几何说明：可以找到两个球,它们均满意：和圆锥相切于一个圆,与截面相切于一个点.一个在截 面和圆锥顶角之间即截得

5、的圆锥体的内切球,小球,另一个在截面与圆锥顶角异侧即圆锥体外切球,大球 .两个球与截面相切的两个点即是两个焦点,两个球与圆锥相切的两个圆,那两个圆所在的两个平面它们是平行的分别与原先的截面的交线即是两条准线. 通过三角函数的学问应当可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设 P 为截面 与圆锥交线上的动点,两个球与截面的交点为固定点,即为椭圆的焦点, 平面 与平面 的交线为固定直线,即为椭圆的准线. E 为大球和截面的交点,明显 PP1 为动点到定直线的距离,设大的球心为 O,PE 和 PP 2 为大球外一点 P 到大球的两个切线,所以有 PE=PP 2 摸索为什么 PE 肯定为

6、切线,PE 为截面 内的直线,而截面 与球仅仅一个交点椭圆的第三定义：椭圆的其他定义依据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率之积是定值 2 可以得出： 平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k 的动点的轨b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_迹是椭圆,此时 k 应满意肯定的条件,也就是排除斜率不存在的情形.三、.圆锥曲线的几何性质：1. 椭圆的面积是ab .椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是： x=acos , y=bsin 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_举例：假设x, yR

7、,且3x22 y26 ,就 xy的最大值是, x 2y2 的最小值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答：5, 2 2a22. 标准形式为 x2yb21的椭圆在 x 0, y0 点的切线为：xx0 a21yy0 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 椭圆焦半径公式 PF 1 =a+ex 0PF 2 =a-ex 04. 直线与椭圆位置关系1弦长公式：假设直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1, x2分别为 A、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB1k 2 xxy , yAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B的横坐标,就

8、12 ,假设 12 分别为 A 、 B 的纵坐标,就112y1y2k,2 直线 l： y=x+1与椭圆交于 A, B 两点, P 为椭圆上一点,求PAB 面积的最大值 .3 相切、相交、相离的条件6 直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0直线与椭圆相交.0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件.0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件.5. 范畴即

9、|x| a,|y| b,这说明椭圆在直线 x=a 和直线 y=b 所围成的矩形里 图 2-18 留意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范畴以外的点6. 对称性x 轴、y 轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心7. 顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只须令 x=0,得 y=b,点 B10,-b 、B20,b 是椭圆和 y 轴的两个交点.令 y=0,得x= a,点 A1-a ,0 、A2a,0 是椭圆和 x 轴的两个交点 强调指出： 椭圆有四个顶点 A1-a , 0 、A2a, 0 、B10,-b 、B20,b 8. 离心率老师直接给出椭圆的离心率的定义：再讲清离

10、心率 e 的几何意义： 椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比ac0, 0 e1再结合图形分析离心率的大小对椭圆外形的影响：2当 e 接近 0 时, c 越接近 0,从而 b 越接近 a,因此椭圆接近圆. 3当 e=0 时, c=0,a=b 两焦点重合,椭圆图形就是圆了课堂练习：1. 已知是椭圆上一点,假设到椭圆右准线的距离是,就到左焦点的距离为 2. 假设椭圆的离心率为,就它的长半轴长是答案： 12 1 或 23. 求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：2222125x +4y -100=0,2x +4y -1=04. 我国发射的科学试验人造的球卫星的运

11、行轨道是以的球的中心为一个焦点的椭圆, 近的点距的面 266Km,远的点距的面 1826Km,求这颗卫星的轨道方程的方程 4答案：顶点 0 ,2 可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两种情形求方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 点 P 与肯定点 F2 ,0 的距离和它到肯定直线x=8 的距离的比是 12,求点 P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形三、例题讲解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2 x1 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：求出椭圆方程1 和1 长轴顶点、焦点、准线方程.4343可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2x1 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于把椭圆1 向右平移一个单位即可以得到椭圆1 所以问题 1 中的全部问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4题均不变,均为 a x 2y 233,b3 ,c43c11, ea2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：43 2,0 , 1,0 x4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x12y1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：21,0 , 11,0 x41.可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品_精品资料_43x2y2摸索：求出椭圆方程1 准线方程34例 2、设 AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线A. 相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判定直线与圆的位置关系了？解：设 AB 的中点为 M ,就 M 即为圆心,直径是 |AB| .记椭圆的右焦点为F,右准线为 l .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过点 A 、B 、M 分别作出准线 l 的垂线,分别记为d1 ,d 2, d 由梯形的中位线可知dd 1d 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AF | BF |可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_又由椭圆的其次定义可知ed1d 2e 即 | AF | BF |e d1d 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| AB | 2| AF| BF | 2ed1d 22且 0e1d| AB 2|故直线与圆相离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2例 3、已知点 M 为椭圆1 的上任意一点,F1 、 F 2 分别为左右焦点.且A1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25165可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 | MA

15、 | MF13|的最小值 求| MA | MF 1|的最小值 求| MA | MF 1|的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：应如何把5 | MF13|表示出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a 225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：左准线l1 ： x,作 MDl1 于点 D,记 d| MD |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由其次定义可知：c3| MF1 |ec3da53.| MF 1 |d.5d5 | MF| 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故有

16、| MA |5 | MF|13| MA |d| MA | MD |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有当 A 、M 、D 三点共线时, |MA|+|MD| 有最小值： 1253可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即| MA |5| MF13|的最小值是 283可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 3 | MA |5 | MF1| 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 3 | MA |5 | MF1 |3 | MA |5 |

17、 MF|13328283可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2：3 | MA |5| MF1|的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 3 | MA | 5| MF1 |3 | MA |55 | MF |1332828535可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MDAF1F211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | MA | MF1| MA |10MF210MF 2MA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其最小值 =10-AF 2课堂练习：x2y 2可编辑资料 - -

18、- 欢迎下载精品_精品资料_已知 A 2,3 , F是161 的右焦点,点 M 为椭圆的动点, 求12MA2 MF的最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并求出此时点 M 的坐标.例 4. 已知,为椭圆上的两点,是椭圆的右焦点 假设,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的中点到椭圆左准线的距离是,试确定椭圆的方程解：由椭圆方程可知、两准线间距离为设,到右准线距离分别为,由椭圆定义有,所以,就,中点到 右 准 线 距 离 为, 于 是到 左 准 线 距 离 为, 所 求 椭 圆 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5方程 2 x1 2 y1

19、 2| xy2 |表示什么曲线？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x1 2 y解：| xy2 |21 2221 .即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数且该22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数小于 1方程表示椭圆例 6 、06 四川高考 15如图把椭圆的长轴AB 分成 8 等分,过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分于 P1 , P2P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,就| P1F | P2 F | P7 F | =可编辑资料 - - - 欢迎下载精

20、品_精品资料_c35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：e,设 Pi 的横坐标为 xi ,就 xi5i 不妨设其焦点为左焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| P F |c3a 2353e得| P F |e xaex55i 2dai5ici544由i| P1 F | P2 F | P7 F |273 124i735可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由题意可知P1 和 P7 关于 y 轴对称,又由椭圆的对称性及其第肯定义可知| P1 F

21、| P7 F |2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理可知| P2 F | P6 F |2a , | P3F | P5F |2a , | P4 F |a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故| P1 F | P2 F | P7 F |7a35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7.动圆与定圆 C1：x+1 2+y2=36 内切 , 与定圆 C2：x-1 2+y 2=4 外切,求圆心 M 的方程.椭圆练习题1椭圆其次定义的应用：可编辑资料 - - -

22、欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设P x0 , y0 是椭圆221 ab ab0 上任意一点,F1 为其左焦点,求PF1的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2例 2在椭圆1上求一点 P ,使它到两焦点F1 , F2 的距离之积为 16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_259x225 y28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3已知 A 、B 是椭圆a 29a21上的两点,F2 是其右焦点,假设AF2BF2a , AB 中点5可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品_精品资料_到椭圆左准线的距离为3 ,求椭圆方程2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 4已知椭圆 xy341 ,问能否在 x 轴下方的椭圆弧上找到一点M ,使 M 到下准线的距离MN 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 M 到两焦点F1 , F 2 的距离的比例中项？假设能找到,求出此点坐标.假设不能找到,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5一个椭圆的焦点是O0,0 和F 4,0 ,长半轴长是,求这个椭圆的方程

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2例 6已知椭圆方程为255y1 ,29A4,0, B2,2 是椭圆内的两点,是椭圆上任意一点,求：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPB4的最小值.2 PAPB 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7已知x2y2F1 , F2 是椭圆1 的两个焦点,是椭圆上一点,且F1PF2求 F1 PF2 的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100643积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

25、精品资料_椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 假设P x , y 在椭圆 xy1 上,就过 P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22000a2b 20x2y2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

26、品资料_6. 假设P0 x0, y0 在椭圆221 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2 的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线方程是x0xy0 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 椭圆221aba b 0的左右焦点分别为F1, F 2,点 P 为椭圆上任意一点F1PF2,就椭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的焦点角形的面积为S F1 PF2b 2 tan.2可编辑资料 - - - 欢迎下

27、载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 椭圆221 a b 0的焦半径公式：ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| MF1 |aex0 , | MF 2 |aex0 F1c,0,F2 c,0M x0,y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、 N 两点,就 MF NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q

28、交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N ,就 MF NF.x2y2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. AB 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦,M x0, aby0 为 AB 的中点,就k OMk AB2 ,即a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2xK0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0ABa 2 yx2y2x xy yx 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 假设 P0 x0, y0 在椭圆a2b 21 内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是0000.a 2b 2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 假设P x , y 在椭圆 xy1 内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是xyx0xy0 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222000a2b 2a2b2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载