2022年高中数学椭圆及其标准方程知识点.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -椭圆学问点学问要点小结：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数 PF1PF22aF1 F2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：如 PF1PF2F1 F2 ,就动点 P 的轨迹为线段F1 F2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

2、欢迎下载精品_精品资料_如 PF1PF2F1 F2 ,就动点P 的轨迹无图形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点二：椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21当焦点在 x 轴上时, 椭圆的标准方程：x2y1 ab0 ,其中 c2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2y2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程：1 ab20 ,其中 c22a b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22ab留意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系

3、时,才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到椭圆的标准方程.2在椭圆的两种标准方程中,都有ab0 和 c2a 2b 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为c,0 , c,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为0, c , 0,c学问点三：椭圆的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2椭圆： x2y1 ab 0 的简洁几何性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b

4、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1）对称性： 对于椭圆标准方程x2a 22y1 a b2b0 ：说明： 把 x 换成x 、或把 y 换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22成y 、或把 x 、 y 同时换成x 、y 、原方程都不变, 所以椭圆xay1 是以 x 轴、 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为椭圆的中心.（2）范畴：椭圆上全部的点都位于直线xa 和 yb 所

5、围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -xa , yb .（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2椭圆 xa 2y1 a2b 2b 0 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为可编辑资料 - -

6、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 a,0 ,A2 a,0 , B1 0,b , B2 0,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段A1 A2 ,B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1 A22a ,B1 B22b .a 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作e2cc .2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 ac 0 ,所以 e 的取值范畴是0

7、e1 . e 越接近 1,就 c 就越接近 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 ba2c2越小,因此椭圆越扁.反之,e 越接近于0, c 就越接近0,从而 b 越接可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_近于 a ,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当 ab 时, c0 ,这时两个焦点重合,图形变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为圆,方程为x2y 22a .留意：椭圆 x a 22y1的 b 2可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图像中线段的几何特点 （如下图） ：（ 1）PF1PF22a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF 2e . PM 1PM 22a 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PM 1PM 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） BF1BF 2a . OF1OF 2c .A1 BA2 Ba 2b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）A1 F1A

9、2 F2ac .A1 F2A2 F1ac . acPF1ac .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2学问点四：椭圆a 2yy2221与2bax1 a2b 2b 0 的区分和联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程x2y 2a 2b 21ab0y 2x 2a 2b 21ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - -

10、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点F1 c,0 ,F2 c,0F1 0,c ,F2 0, c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1F22cF1 F22cxa ,ybxb ,ya焦距范畴对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点a,0 , 0,b性质0,a , b,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴长长轴长 =2a ,短轴长 = 2b可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_离心率ec 0 ae1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a 2ccPF1aex0 ,PF2aex0PF1aey0 , PF2aey0准线方程xy焦半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2留意：椭圆2ay1 , y2222bax1 a b2b0 的相同点：外形、大小都相同.参数间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关系都有ab0 和 ec 0 a2e1 ,a 2b 2c 2 .不同点：两种椭圆的位置不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它们的焦点坐标也不相同

12、.规律方法：1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴. 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式.此时,椭圆焦点在坐标轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a , b .一个定位条件焦点坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 椭圆标准方程中的三个量a, b, c 的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资

13、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆标准方程中,a, b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的.分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab0 , ac 0 ,且a 2b 2c2 .可编辑资

14、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可借助右图懂得记忆：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显：a, b,c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角边.3如何由椭圆标准方程判定焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准方程,判定焦点位置的方法是：看x 2 ,y2 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标轴上. 4方程Ax 2By 2C A, B,C均不为零）

15、 是表示椭圆的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 2By 2x 2By 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 Ax 2By 2C 可化为1 ,即1,所以只有A、B、C 同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCCC AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_号,且 AB 时,方程表示椭圆.当CA的焦点在y 轴上.C 时,椭圆的焦点在x 轴上.当 C BAC时,椭圆B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a , b, c 的值.其主要步骤是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“先定型,再定量”.定义法：由已知条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程.6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2共 焦 点 , 就c相 同 . 与 椭 圆a 2y221 abb0 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2xa 2m2yb 2m1 m

17、b 2 ,此类问题常用待定系数法求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 判定曲线关于x 轴、 y 轴、原点对称的依据： 如把曲线方程中的x 换成x ,方程不变,就曲线关于y 轴对称. 如把曲线方程中的y 换成y ,方程不变,就曲线关于x 轴对称. 如把曲线方程中的x 、 y 同时换成x 、y ,方程不变,就曲线关于原点对称.8如何求解与焦点三角形PF 1F2（ P 为椭圆上的点）有关的运算问题？1思路分析：与焦点三角形 PF 1F2 有关的运算问题时, 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_勾股定理）、三角形面积公式算解题.S PF

18、1F21 PF 2PF2sinF1 PF2相结合的方法进行计可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将有关线段PF1 、 PF2 、 F1 F2,有关角F1 PF2 F1PF2F1 BF2 结合起来,建立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P

19、F1PF2 、PF1PF2之间的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9如何运算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系打算椭圆外形的变化.离心率 ec 0 ae1 ,由于 c2a 2b 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ac0,用a、b 表示为 e1 b 2 0ae1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显：当b 越小时,ae0e1 越大,椭圆外形越扁.当b 越大,ae0e1越小,椭可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆外形越趋近于圆.（一）椭圆及其性质1、椭圆的定义（ 1）平面内与两个定点F1,F2 的距离的和等于常数（大于 |F 1 F2| ）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个0,1内常数 e ,那么这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率2、椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、椭圆的参数方程x a cosy

21、 b sin 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、离心率 :椭圆焦距与长轴长之比eca椭圆的准线方程e1 b 2a0e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左准线2al1 : x右准线2al 2 : x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cc（二）、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（左焦半径）r1aex0（右焦半径）r2aex0其中 e 是离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点在 y 轴

22、上的椭圆的焦半径公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MF1 MF2aey0aey0（ 其 中F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）1、弦长公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如直线l : ykxb 与圆锥曲线相交与A 、 B 两点,A（x1 , y1 , Bx2 , y2 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - -

23、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦长AB1221k 2 xx x1x 2 y1y 2x1x2 kx1kx2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22221k 2 x1x 24x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.已知椭圆及直线y x m.（ 1）当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范畴.（ 2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程.x2y2可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_2、已知弦AB的中点,讨论AB的斜率和方程AB是椭圆坐标为 x0, y0 ,a2b21 ab0 的一条弦,中点M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 AB的斜率为b2x a2y00. 运用点差法求AB的斜率,设A x1, y1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x221y1a2 b2 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B x2,y2 A、B都在椭圆上,2y2两式相减得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22a2 b2 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_x221 x2y1 y2x1 x2x1 x2y1y2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a2b2 0,a2b2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y1y2bx1x2b2xb2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00即x22. 故 kAB2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x2ay1 y2a y0a y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载