2022年高二数学导数知识点总结及习题练习.docx

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1、精品_精品资料_高三专题复习导数在解题中常用的有关结论 （需要熟记 ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 曲线yf x 在xx0 处的切线的斜率等于f x0 ,切线方程为yf x0 xx0 f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如可导函数yf x 在xx0 处取得极值,就f x0 0 .反之,不成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 对于可导函数f x ,不等式f x0（ 0）的解集打算函数f x 的递增（减）区间.可编辑资料 -

2、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 函数f x 在区间 I 上递增（减）的充要条件是：xIf x0 0 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 函数f x 在区间 I 上不单调等价于f x 在区间 I 上有极值,就可等价转化为方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 在区间 I 上有实根且为非二重根.（如 f x 为二次函数且 I=R,就有0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 6f x在区间 I 上无极值等价于f x 在区间在

3、上是单调函数,进而得到f x0 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 在 I 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) 如 xI ,f x0 恒成立,就f x min0 ; 如 xI ,f x0 恒成立,就f x max0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(8) 如 x0I ,使得f x0 0 ,就f xmax0 .如x0I ,使得f x0 0 ,就f xmin0 .可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(9) 设f x 与gx的定义域的交集为 D 如xDf xg x 恒成立就有f xg xmin0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 如对x1I1 、 x2I 2 ,f x1g x2 恒成立,就f x ming x max .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I1 , x2I 2 ,使得f x1g x2 ,就f xming x min .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I1 , x2I 2 ,使得f x1gx2 ,就f x maxg xmax .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 11 ）已知f x 在区间I 1上的值域为 A,g x 在区间I 2 上值域为 B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如对x1I 1 ,x2I 2 ,使得f x1= g x2 成立,就 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(12) 如三次函数

6、 fx 有三个零点, 就方程于 0,微小值小于 0.x(13) 证题中常用的不等式 :f x0 有两个不等实根x1 、x2 ,且极大值大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ln xx1 x0 ln（x+1）x x1) e1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xe1x ln xx1 ln x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12 x1x 222 x 2 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点一：导数几何意义：可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品_精品资料_角度一求切线方程1 2022 洛阳统考 已知函数 fx 3xcos 2xsin 2x, a f 过曲线 yx3 上一点 Pa,b的切线方程为 4 ,fx是 fx的导函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3x y20B 4x3y 1 0 C3xy20 或 3x4y10D3xy20 或 4x3y 102 解析：选 A由 fx 3xcos 2x sin 2x 得 fx32sin 2x2cos 2x,就 af 4 32sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_323222cos2 1.由 yx 得 y3x ,过曲线 yx 上一点 Pa,b的切线的斜率

8、 k3a 31 3.又 ba3,就 b1,所以切点 P 的坐标为 1,1,故过曲线 y x3 上的点 P 的切线方程为 y13x1, 即 3xy20.角度二求切点坐标2 2022 辽宁五校其次次联考 曲线 y3ln xx2 在点 P0 处的切线方程为 4x y 1 0,就点 P0 的坐标是 A0,1B1, 1C1,3D1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解析： 选 C由题意知 y 314,解得 x1,此时 41y10,解得 y3,点P0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的坐标是 1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角度三求参数的值13已知 f

9、x ln x,gx2 mx 7,直线 l 与函数 fx, gx的图像都相切,且与 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x图像的切点为 1,f1,就 m 等于2m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.A 1B 3C 4D 21解析： 选 Dfxx,直线 l 的斜率为 kf 11,又 f10,切线l 的方程为 yxg xxm,设直线 l 与 gx的图像的切点为 x0,y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 27就有 x0m1,y0 x01,y02x 0 mx02,m0,当 xln 2 ,时, g x0.fxmaxgxmaxgln 22ln 220

10、,fx0,x1 0 得, x 6.由 Fx0 得, 2x0, fxx5 x2,x2 3.x.令 fx 0,解得 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x3 时, fx0,故 fx在0,2,3, 上为增函数.当 2x3 时, fx0,x1.x0,解得 x 2或 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x0.当 x1 时, fx0,fx在区间1, 上为增函数,不合题意1当 a0 时, fx0x0等价于 2ax1ax 10x0,即 xa,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时 fx的单调递减区间为1a1,由得 a1.a0,a, .可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a0等价于 2ax1ax10x0,即 x 2a,此时 fx的单调递1减区间为 2a, .12a1,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由a0,求函数 fx的单调区间.(3) 设函数 gxfx2x,且 gx在区间 2,1内存在单调递减区间, 求实数 a 的取值范畴解： 1f xx2 axb,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意得f 0 1,即f 0 0,c1,b0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由1得, fxx2axxxaa0,可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品_精品资料_当 x ,0时, f x0,当 x0,a时, fx0.所以函数 fx的单调递增区间为 ,0,a, ,单调递减区间为 0, a23gxx ax2,依题意,存在 x2, 1,使不等式 gxx2ax20 成立,2即 x2, 1时, a0,fx为, 上的增函数,所以函数fx无极值当 a0 时,令 fx 0,得 ex a,即 xln a. x ,ln a,f x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fx在 ,ln a上单调递减,在 ln a, 上单调递增, 故 fx在 x ln a 处取得微小值,且微小值为 fln aln a,无极大值 综上,当 a0 时,函数

13、 fx无极值.当 a0 时, fx在 x ln a 处取得微小值 ln a,无极大值典例已知函数 fx ln xaxaR 1求函数 fx的单调区间.2当 a0 时,求函数 fx在1,2 上的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解1fx1ax0,当 a0 时, fx即函数 fx的单调增区间为 0, 1 xa0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11当 a0 时,令 fxx a 0,可得 xa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 ax11ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x0.当 xa时, fx10,x0,1可编辑资料 -

14、 - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数 fx的单调递增区间为a ,单调递减区间为a, .12当a1,即 a1 时,函数 fx在区间 1,2上是减函数,fx的最小值是 f2 ln 22a.11当a2,即 0a2时,函数 fx在区间1,2 上是增函数,fx的最小值是 f1 a.111,11当 1a2,即2a1 时,函数 fx在a 上是增函数,在a,2 上是减函数又 f2f11ln 2 a,当2aln 2 时,最小值是 f1 a.当 ln 2 a1 时,最小值为 f2ln 2 2a.综上可知,当 0a0,如函数 fx在 x1 处与直线 y 1相切,(1) 求实数 a,b 的值.1(2) 求函数 f

15、x在 e,e 上的最大值x解： 1f xa2bx,1函数fx在 x 1 处与直线 y 2相切,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1 a2b 0, 2, f 1 b121a 1,b解得12.11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fxln x xfx x,2,xx11当e x e 时,令 fx0 得ex1.11令 fx0,得 10的导函数 yfx的两个零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求 fx的单调区间.(2) 如 fx的微小值为 e3,求 fx在区间5, 上的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ax b exax2

16、bxc ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1fx,ax2 2ab xbcex 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xe2令 gx ax 2abxbc,由于 ex0,所以 yfx的零点就是 gx ax22abxbc 的零点,且 fx与 gx符号相同又由于 a0,所以 3x0,即 fx0,当 x0 时, gx0,即 fx5f0,所以函数 fx在区间 5, 上的最大值是 5e5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 针对训练 已知函数 fxx3 ax2 bxc,曲线 yfx在点 x1 处的切线为 l：3x y 1 0,如 x2 3时,yfx有极值(1)

17、求 a,b,c 的值.(2) 求 y fx在 3,1上的最大值和最小值解： 1由 fx x3ax2bx c,得 fx 3x2 2ax b.当 x1 时,切线 l 的斜率为 3,可得2a b 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 x3时, yfx有极值,就 f23 0,可得 4a3b40,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,解得 a2,b 4.由于切点的横坐标为 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f14.所以 1 a b c 4.所以 c5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23.2由1,可得 fx x32x24x5,fx

18、3x24x4.令 fx 0,解之,得 x1 2,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时, fx,fx的取值及变化情形如下表所示：33x3 3, 2 2 2, 22211,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx00fx81395427可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 y fx在3,1 上的最大值为 13,最小值为考点七：利用导数讨论恒成立问题及参数求解9527.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 典例2022 全国卷 设函数 fxx2axb,gx excx d如曲线 y

19、fx和曲线 ygx都过点 P0,2,且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1) 求 a,b,c, d 的值.(2) 如 x 2 时, fxkgx,求 k 的取值范畴 解1由已知得 f02,g02, f04,g04.x而 fx2xa,gxe cxdc,故 b2,d 2, a 4, d c4.从而 a 4, b 2, c2,d2.2由1知, fxx24x 2, gx2exx1 设函数 Fxkgx fx 2kexx1 x24x2,xx就 Fx2ke x 22x 4 2x 2ke 1由题设可得 F00,即 k 1.令 Fx0 得 x1 ln k, x2 2.2如 1 ke ,就 2x1 0.从而当

20、x2,x1时, Fx0.当 xx1, 时, Fx10,即 Fx在2,x1上单调递减,在 x1,上单调递增,故 Fx在2,上的最小值为Fx1而 Fx1 2x1 2 x24x12 x1x120.故当 x 2 时, Fx0,即 fxkgx恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,就如 ke2上单调递增,Fx2e2x2exe2从而当 x 2 时, Fx0,即 Fx在2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 F20,故当 x2 时, Fx 0,即 fxkgx恒成立如 ke2,就 F 2 2ke22 2e2ke20.从而当 x 2 时,fxkgx不行能恒成立综上, k 的取值范

21、畴是 1 ,e2针对训练 设函数 fx1 2exxex.2x(1) 求 fx的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如当 x 2,2时,不等式 fxm 恒成立,求实数 m 的取值范畴 解： 1函数 fx的定义域为 , ,xxxxfxx e e xe x1e ,如 x0,就 fx0.如 x0,所以 fx0,就 1ex0,所以 fx0.fx在 ,上为减函数,即 fx的单调减区间为 , 2由1知, fx在 2,2上单调递减故fxminf22e2,mm 恒成立 故 m 的取值范畴为 ,2e2考点八、 利用导数证明不等式问题 针对训练 1 213x可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品_精品资料_2022 东北三校联考 已知函数 fx2x函数为 gx1求函数 fx的极值. 2如 ae,求函数 gx的单调区间.3axa0,函数 gxfxe x 1,函数 gx的导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： x0 时,不等式 gx 1 ln x 恒成立a解： 1f xxax2 ax x1 ,1当f x 0 时, x0 或 x a,又 a0,a当x, 0时, fx0.当 xa, 时, fx0,fx的微小值为 f00,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx的极大值为 fa 6a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 213xx2a

23、e,gx2x 3ex e x1,gxxe ex 1记 hxexex 1,就 hxexe,当 x ,1时, h x0,hx是增函数,hxh110,就在 0, 上, gx0.在 ,0上, gx0 时, g x xe ex1 1 ln x. e ex 1x,x由知, hxe ex11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 x 1 ln xxx0,就 x1xx,在区间 0,1上, x0,x是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 1, 上, x0,x是减函数,1ln xx10,即 1 ln xx0,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xe ex111ln xx,即 gx 1 ln x 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载