2022年高二人教版必修系列教案基本不等式.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 新授课【教学目标】课题 : 3.4 基本不等式第 1 课时abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能：学会推导并把握基本不等式,懂得这个基本不等式的几何意义,并把握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等. 2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式.3情态与价值：通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的爱好【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用数形结合的思想懂得不等式

2、,并从不同角度探究不等式【教学难点】abab 的证明过程.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本不等式ab【教学过程】1. 课题导入基本不等式abab等号成立条件2ab的几何背景：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热忱好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？老师引导同学从面积 的关系去找相等关系或不等关系.2. 讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三

3、角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2.这样, 4 个直角三角形的面积的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和是 2ab,正方形的面积为a 2b 2 .由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就得到了一个不等式：a 2b22 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有a 2b 22

4、ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2得到结论：一般的,假如a ,bR, 那么 a 2b 22ab当且仅当 ab时取 号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3摸索证明：你能给出它的证明吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由于a 2b22abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当ab时, ab 20,当ab时, ab20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, ab 20 ,即 a22b2ab.可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1）从几何图形的面积关系熟悉基本不等式abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,假如a0,b0, 我们用分别代替a、b ,可得 ab2ab ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通常我们把上

6、式写作：abab a0,b02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证abab 2abab12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_只要证a+b2要证（ 2）,只要证a+b-0（3）要证（ 3）,只要证（-） 2（ 4）明显,（ 4）是成立的.当且仅当a=b 时,（ 4）中的等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）懂得基本不等式abab的几何意义2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究： 课本第 110 页的“探究”在右图中, AB 是圆的直径,点C 是 AB 上的一点, AC=a,BC=

7、b.过点 C作垂直于ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB的弦 DE,连接 AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式何说明吗？2易证 t A D t DB,那么 D AB即Dab .ab的几2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个圆的半径为ab ,明显,它大于或等于CD,即 ab 22ab ,其中当且仅当点C 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心重合,即a b 时,等号成立.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此：基本不等式评述： 1. 假如把ab几何意义是“ 半径不小于半弦”

8、2ab 看作是正数a、b 的等差中项,ab 看作是正数a、b 的等比中项,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在数学中,我们称ab 为 a、b 的算术平均数,称ab 为 a、b 的几何平均数 . 本2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_节定理仍可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 补充例题 例 1已知 x、y 都是正数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) y xx2.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

9、资料_22333 32 （ x y）（ x y ）（ x y ） x y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：在运用定理：ab2ab 时,留意条件a、b 均为正数,结合不等式的性质 把可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_握好每条性质成立的条件 ,进行变形 .可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品_精品资料_解： x, y 都是正数x 0,yy 0,x20, y2 0,x3 0, y3 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0xy(1) x yy2xxyyx 2 即xyy 2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x y 2xy 0x2 y2 20x2 y23 3 2x3 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ x y）（ x2 y2 ）（ x3 y3） 2xy 2x 2 y 2

11、2x3 y3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y322333 3即（ x y）（ x y ）（ x y ） x y .3. 随堂练习1. 已知 a、b、c 都是正数,求证（ a b）（ b c）（ c a） abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：对于此类题目,挑选定理：果.解： a, b, c 都是正数 a b 2 ab 0 b c2 bc 0 c a2 ac 0abab 2（ a 0, b 0）敏捷变形,可求得结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a b）（ bc）（ c a） 2ab 2bc 2ac abc即（ a b）（ b c）

12、（c a） abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2 b22ab.两正数a、 b 的算术平均数（ab ）, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几何平均数 （ab ）及它们的关系 （ab ab ）. 它们成立的条件不同,前者只要求a、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 都是实数,而后者要求a、b 都是正数 . 它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 下一节我们将学习它们的应用. 我们仍可以用它们下面的等价变形来解决问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题： aba 2b22

13、, ab（ab2） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 评判设计课本第 113 页习题 A 组的第 1 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【板书设计】【授后记】第周第课时授课时间： 20年月日（星期）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 新授课【教学目标】课题 : 3.4 基本不等式第 2 课时a

14、bab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能： 进一步把握基本不等式能够解决一些简洁的实际问题abab 2.会应用此不等式求某些函数的最值.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2过程与方法：通过两个例题的讨论,进一步把握基本不等式理求某些函数的最大、最小值.ab,并会用此定2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基本不等式ab【教学难点】 利用基本不等式【教学过程】1.

15、课题导入ab的应用2abab 求最大值、最小值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1重要不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a ,bR, 那么 a 2b 22ab当且仅当 ab时取号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab2基本不等式：假如a,b 是正数,那么2ab 当且仅当 ab时取号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们称ab 为a, b 的算术平均数,称2ab为a, b 的几何平均数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

16、资料_a 2b 22ab和 ab 2ab 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数,而后者可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要求 a,b 都是正数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2. 讲授新课例 1（ 1）用篱笆围成一个面积为100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（ 2）

17、段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少.解：（ 1）设矩形菜园的长为x m ,宽为 y m ,就 xy=100,篱笆的长为2（x+y ） m.由xyxy ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得xy2100 ,2 xy40.等号当且仅当x=y 时成立, 此时 x=y=10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm,就长为（ 36 2x）m,其中0

18、 x1 ,其2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112 x362x36 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积 S x（ 36 2x） 2x（36 2x）22228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当2x36 2x,即 x9 时菜园面积最大,即菜园长9m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为 y m ,就 2x+y=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2 .由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxy189 ,可得xy81可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_22当且仅当x=y,即 x=y=9 时,等号成立.因此,这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积是81m 2归纳： 1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即如a, bR ,且 a bM, M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2为定值,就ab M4,等号当且仅当a b 时成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即如a,b R ,且 ab P,P 为定值,就a b 2P ,等号当且仅当a b 时成立 .例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3

20、,深为 3m ,假如池底每1m2的造价为150 元,池壁每1m2 的造价为120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？分析： 此题第一需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为l 元,依据题意,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l240000720x1600x1600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2400002400007207202x240x297600可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1600 ,即xx40时,l 有最小值 2976000.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当水池的底面是边长为40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元评述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用,应留意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中

22、的应用,应留意不等式性质的适用条件.归纳： 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1) 先懂得题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2) 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3) 在定义域内,求出函数的最大值或最小值.(4) 正确写出答案 .3. 随堂练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 已知 x0,当 x 取什么值时,x 2课本第113 页的练习1、2、3、481 的值最小 .最小值是多少 .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关

23、系顺当解决了函数的一些最值问题. 在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在详细求解时,应留意考查以下三个条件：1 函数的解析式中,各项均为正数.2 函数的解析式中,含变数的各项的和或积必需有一个为定值.3 函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件：一正二定三取 等.5. 评判设计课本第 113 页习题 A 组的第 2、 4 题【板书设计】【授后记】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第周第课时授课时间： 20年月日（星期）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_授课类型： 习题课【教学目标】课题 : 3.4 基本不等式第 3 课时abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1学问与技能： 进一步把握基本不等式abab 2.会用此不等式证明不等式, 会应用此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式求某些函数的最值, 能够解决一些简洁的实际问题.2过程与方法：通过例题的讨论,进一步把握基本不等式某些函数的最大、最小值.abab,并会用

25、此定理求2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3情态与价值：引发同学学习和使用数学学问的爱好,进展创新精神,培育实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.【教学重点】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把握基本不等式【教学难点】abab,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用此不等式求函数的最大、最小值.【教学过程】1. 课题导入1基本不等式：假如a,b是正数,那么ab2abab当且仅当 ab时取 号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

26、2用基本不等式2. 讲授新课ab求最大（小）值的步骤.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）利用基本不等式证明不等式例 1已知 m0,求证 246mm24 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维切入 由于 m0,所以可把 24 和 6m 分别看作基本不等式中的a 和 b,直接利用基本不m等式. 证明 由于m0, ,由基本不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_246m2246m224621224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm当且仅当24 = 6m ,即 m=2时,取等号.m规律技巧总结留意： m0这一前提条件和3. 随堂练

27、习 1246m =144 为定值的前提条件.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展1已知 a,b,c,d都是正数,求证abcd acbd 4 abcd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展2求证a 2b 2 c2d 2 acbd 2 .可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品_精品资料_例 2求证 :4a7 .a3 思维切入 由于不等式左边含有字母a, 右边无字母 , 直接使用基本不等式, 无法约掉字母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, 而左边4aa34aa333 . 这样变形后 , 在用基本不等式即可得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 证明 434a3a3a3324g a a3332437可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当4=a-3 即 a=5 时, 等号成立 .a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精

29、品_精品资料_规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 利用不等式求最值例 3 1如 x0, 求f x4x9的最小值 ;x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 x0和 4x9=36 两个前提条件;2中 x0 来转化 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1由于 x0由基本不等式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x4 x924x923612, 当且仅当4x93即 x=时 ,9f x4 x取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx最小值 12.x2x可编辑资料 - - -

30、欢迎下载精品_精品资料_(2) 由于x0,由基本不等式得:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x4 x9 4 x9 24 x 9 23612 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx所以f x12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当4x93即 x=-时,f x4x9取得最大 -12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x规律技巧总结利用基本不等式求最值时, 个项必需为正数, 如为负数 , 就添负号变正 .随堂练习 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 思维拓展1求f x4x9x5 的最小值 .x5可编辑资料

31、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 思维拓展2如 x0,y0, 且 281 , 求 xy 的最小值 .xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 课时小结用基本不等式abab证明不等式和求函数的最大、最小值.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 评判设计证明：a 2b222 a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x1,就 x 为何值时x1有最小值,最小值为几？x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【板书设计】【授后记】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载