2022年高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧---强烈-推荐 .docx

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1、精品_精品资料_一数列的概念数学数列部分学问点梳理S1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 数列的前 n 项和与通项的公式Sna1a 2an .anSnSn1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 数列的分类： 递增数列 :对于任何nN ,均有an 1an .递减数列 :对于任何 nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均有 an 1an .摇摆数列 :例如 :1,1,1,1, 1,. 常数数列 :例如 :6,6,6,6, .有界数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列: 存在

2、正数 M 使 an一、等差数列M , nN .无界数列 :对于任何正数 M ,总有项an 使得 anM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 通项公式 ana1n1d , a1 为首项, d 为公差.前 n 项和公式 Snna12an 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snna11 n n 21) d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 等差中项：2Aab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 等差数列的判定方法：定义法：an 1and （ nN , d 是常数）an是等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数

3、列.中项法：2an 1anan2 nN an 是等差数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4） 等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列an是等差数列,就数列anp 、pa n（ p 是常数）都是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在 等 差 数 列an中 , 等 距 离 取 出 如 干 项 也 构 成 一 个 等 差 数 列 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an , ank , an2 k , an3k ,为等差数列,公差为kd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ anamnmd. a

4、nanb a , b 是常数 . Snan2bn a , b 是常数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 如 mnpqm, n, p, qN ,就 amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如等差数列an的前 n 项和Sn ,就Sn是等差数列.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当项数为2nnN ,就 S偶 S奇nd, S偶S奇an 1 .an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当项数为 2n1nN ,就 S奇 S偶S偶n1an,.S奇n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_7设是等差数列,就（是常数）是公差为的等差数列.8设, 就有.(9) 是等差数列的前项和,就.(10) 其他衍生等差数列：如已知等差数列,公差为,前项和为,就为等差数列,公差为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（即）为等差数列,公差.（即）为等差数列,公差为.11二、等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 通项公式： ana qn, a1 为首项, q 为公比 .前 n 项和公式： 当 q1 时, Snna1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 q1 时, Sna1 1qn a1anq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、1q1q2） 等比中项： G 2a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 等比数列的判定方法：定义法：an 12anq （ nN , q0 是常数）an是等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列.中项法：an 1anan2 nN 且 an0an是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4） 等比数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列an是等比数列,就数列pan、 pan （ q0 是常数）都是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） anaqnm n, mN 可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品_精品资料_m（ 3）如 mnpqm, n, p, qN ,就 amanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）如等比数列数列 .an的前 n 项和Sn ,就Sk 、 S2 kSk、 S3kS2k、 S4 kS3k是等比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）设,是等比数列,就也是等比数列.（ 6）设是等比数列,是等差数列,且就也是等比数列（即等比数列中等距离分别出的子数列仍为等比数列）.（ 7）设是正项等比数列,就是等差数列.（ 8）设, 就有.（ 9）其他衍生等比数列：如已知等比数列,公比为,前项和为,就为等比数列,公比为.（即）为等比

8、数列,公比为. 三、解题技巧：A 、数列求和的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特别数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、错项相减法：适用于差比数列（假如an等差,bn 等比,那么anbn叫做差比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即把每一项都乘以bn 的公比 q,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有

9、限几项,可求和.适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 于 数 列1和anan 11anan 1（ 其 中an等 差 ）. 可 裂 项 为 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 11 ,11 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aadaan 1ndaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1nn 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B、等差数列前 n 项和的最值问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0

10、 ,就前 n 项和Sn 有最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最大an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（）如已知Spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_（）如已知通项an ,就Sn 最小an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（）如已知Spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C、依据递推公式求通项： 1、构造法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1递推关系形如“an 1panq ”,利用待定系数法求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知数列an 中, a11, an 12an3 ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_2递推关系形如“,两边同除n 1p或待定系数法求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】 a11, an 12 an3n ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3递推已知数列an中,关系形如“an 2p an 1q an ”,利用待定系数法求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知数列an 中, a11, a 22, an 23an 12an ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4递推关系形如 anpan 1qan an（1p,q0 ,两边同除以anan 1

13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知数列an中, anan 12anan（1n2,a 12 ,求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】数列an 中, a12, an 12 annN ,求数列an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4an2、迭代法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a、已知关系式an 1anf n ,可利用迭加法或迭代法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ananan 1an 1an 2 an 2an 3a 2a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_【例题】已知数列an 中, a12,anan 12n1 n2) ,求数列an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b、已知关系式an 1anf n ,可利用迭乘法 . ananan 1an 1an 2an 2an 3a3a2a1a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知数列an满意：anan 1n1 nn12, a12 ,求求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、给出关于Sn 和am 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【 例 题 】 设 数 列 an的 前 n 项 和 为Sn , 已 知

15、 a1a, an 1S3n nN , 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nbnSn3n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列bn 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、典型例题：A 、求值类的运算题（多关于等差等比数列） 1）依据基本量求解（方程的思想）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知Sn 为等差数列an 的前 n 项和, a 49, a 96, Sn63 ,求 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）依据数列的性质求解（整体思想）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已

16、知Sn 为等比数列an 前 n 项和, Sn54 , S2n60 ,就S3n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B、求数列通项公式（参考前面依据递推公式求通项部分） C、证明数列是等差或等比数列1) 证明数列等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】已知列.Sn 为等差数列an的前 n 项和, bnSn n nN .求证：数列bn是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）证明数列等比【例题】数列 a n 的前 n 项和为 Sn,数列 b n 中,如 an+Sn=n.设 cn=an 1,求证：数列 c n是等比数列.D、求数列的前 n 项和可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 1】求数列2 n2n3 的前 n项和Sn .（拆项求和法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 2】求和： S=1+11211231123（裂项相消法）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 3】设f xx211x 2,求：f 1 43f 12f 1 f 2f 3f 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 f 2022 f 2022 f 1 f 1

18、f 2 f 2022f 2022. （ 倒序相加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 4】如数列an 的通项 an2n1) 3n,求此数列的前 n 项和Sn .（错位相减法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 5】已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12n n2,求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn. E、数列单调性最值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】数列an中, an2n49,当数列an的前 n项和Sn 取得最小值时, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

19、料_练习1 数列 an 满意 a12 , anan 110 ,n N,就此数列的通项an 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An21B n1C 1nD3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 个数a,b, c ,既是等差数列,又是等比数列,就a,b, c 间的关系为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AbacbBb2acCabcDabc0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 差数列 an 的

20、前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,就它的前 3m 项和是A130B170C210D260可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 差数列13an 中,已知 a1, a2a54,an33 ,就 n 为（）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A48B 49C50D51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 知等比数列 an 的公比 q1 ,就 a13a2a3a5a4a6a7 等于a8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1B3C1D333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 各项都为正数的等比数列（）.an 中,如a5a6

21、9, 就 log3 a1log 3 a2Llog 3 a10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A12B10C8D2log3 57 和 81 之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,就这两个数的和等于（）.A80B70C18D16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 两各等差数列 a 、 b 前n 项和分别为AnA 、 B ,满意7n1 nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a11b11nn的值为（）nnBn4n27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A749 Sn

22、是等差数列（ ）.B32an的前 n 项和, S636, SnC43324, Sn 6144 nD78716 ,就 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A15B16C17D1810 列 1 1111 ,An2112n, 前 n 项和为（B）n212n 112Cn2n12n1,3,5,724816可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Dn2n112n2二、填空题：（每道题 4 分,共 16 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 等比数列an中, a66, a99 ,那么 a3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 差数列an 共

23、有 2n1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,就中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间项为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 差数列an 前 n 项和为Sn ,已知 a113,S3S11, n 为时,Sn 最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 列an的前 n 项的和 Sn2n 2n1 ,就an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题15本小题满分 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在等比数列an中, a1a2a327 , a 2a 430可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

24、_试求：（I ） a1和公比 q .（ II）前 6 项的和 S6 .16本小题满分 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求和 12 x3x2Lnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17本小题满分 9 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知数列 an的前 n 项和Sn248n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n(1) 求数列的通项公式 ;(2) 求 Sn 的最大或最小值 .18本小题满分 9 分某城市 1995 年底人口总数为 500 万,人均住房面积为 6 平方米,假如该市每年人口的平均增长率为 1% .而每年平均新建住房面

25、积为30 万平方米 .那么到 2022 年年底,该市的人均住房面积数约为多少.精确到 0.01 平方米可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案一、挑选题题号12345678910答案DDCCBBBCDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题：11、412、2913、714、an2n14n3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题15、本小题满分 8 分解：（I）在等比数列an 中,由已知可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

26、1 a1qa1qa1a q 2271q 330可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：a11a11或q3q3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（II） Sna1 11q n q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11当 q3 时, S611136 31362364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11当时, S6q3 111336 3614182可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1

27、6、本小题满分 8 分解：当 x=1 时,Sn =1+2+3+n=n1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,S =1+2x+3x 2+nxn-1nnx S =x+2x 2+n-1 x n-1+nxn 1xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_- : 1-xSn =1xx2x3Lxn 1nxn =1xnxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1xnnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn =1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

28、迎下载精品_精品资料_17、解1a1S11248147可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n2 时anSnSn248n n1248n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1a1 也适合上式an2n49 nN 2n49可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a149, d2 , 所以 Sn 有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由an2n490得 23 1n24 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12 n149022可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又nNn24即 Sn 最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S2424 47242322576可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或: 由 Snn248nn242576可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n24时, Sn取得最小值 -576 .18、解: 依题意1995 年共有住房面积为 65003000 万平方米 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 1995 年开头, 各年住房面积是以首项所以到 2022 年底, 该市共有住房面积为300010303300 万平方米 a13000, 公差 d30 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又从 1995 年开头, 人口数组成首项所以到 2022 年底该市人口数为b1500,公比 q1.01 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5001.0110552.31 万人故 2022 年底人均住房面积为 33005.97 平方米552.31可编辑资料 - - - 欢迎下载