2022年高中高一数学必修各章知识点总结2.docx

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1、精品_精品资料_高中高一数学必修 1各章学问点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性. 2. 元素的互异性. 3. 元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样.(4) 集合元素的三个特

2、性使集合本身具有了确定性和整体性.3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法.留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N* 或 N+整数集 Z 有理数集 Q实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说a 属于集合 A 记作 aA,相反, a 不属于集合 A记作 a.A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,写

3、在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x.R|x-32或x|x-32 4、集合的分类：1. 有限集含有有限个元素的集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 无限集含有无限个元素的集合3. 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意：有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,.（2） A 与 B 是同一集合.反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB或 BA 2“相等”关系 5 5

4、,且55,就 5=5实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A 与 B,假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=B任何一个集合是它本身的子集. AA真子集 : 假如 AB, 且A1B那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB或 BA假如 AB,BC,那么AC假如 AB同时 BA那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.三、集合的运算1交集的定义： 一般的, 由全部属于 A 且属于 B 的元素

5、所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集记作 AB读作”A 交 B” ,即 AB=x|x A,且 xB2、并集的定义：一般的,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作： AB读作”A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 xB3、交集与并集的性质： AA=A,A =,AB=BA,AA=A, A =A,AB=BA.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集（即） ,由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA即 CSA=x|x.S 且 x.A S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

6、精品资料_CsA A（ 2）全集：假如集合S 含有我们所要讨论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U 来表示.（ 3）性质： CUCUA=A CUAA= CUAA=U二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx和它对应,那么就称f ：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.与x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx|xA叫做函 数的值域留意： 2假如只给出解析式y=f

7、x,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合.3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零.2 偶次方根的被开方数不小于零.3 对数式的真数必需大于零. 4 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5假如函数是由一些基本函数 通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（ 6） 指数为零底不行以等于零6 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 又留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.构成函

8、数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对 应关系打算的, 所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全一样,即称这两个函数相等 （或为同一函数）（ 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判定方法：表达式相同.定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21页相关例 2值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2.应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域, 它是求解复杂函数值域的基础.3. 函数图

9、象学问归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx,xA中的x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 Px , y 的集合 C,叫做函数 y=fx,xA的图象C 上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系y=fx,反过来,以满意y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x , y ,均在 C 上. 即记为 C=Px,y|y=fx,xA图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,

10、以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点Px,y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质. 2、利用数形结合的方法分析解题的思路.提高解题的速度.发觉解题中的错误.4. 快去明白区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.（ 2）无穷区间. （3）区间的数轴表示5. 什么叫做映射一般的,设 A、 B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：AB

11、为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“ f ：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射,假如 aA,bB. 且元素a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应法就 f 是确定的.对应法就有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的.对于映射f ：AB 来说,就应满意： （）集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象,并且象是唯独的. （）集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个. （）不要求集合B 中的

12、每一个元素在集合A 中都有原象.常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,留意判定一个图形是否是函数图象的依据.2解析法：必需注明函数的定义域.3图象法：描点法作图要注可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_意：确定函数的定义域.化简函数的解析式.观看函数的特点.4列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意啊：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本P24-25 ）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范畴里求函数值时必需把 自变量代入相应的表达式.

13、分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形（ 1）分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数. （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,uM,u=gx,xA, 就y=fgx=Fx,x A称为 f 、g 的复合函数.例如 :y=2sinXy=2cosX2+17. 函数单调性（ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量x 1,x2,当 x1x2时,都有 fx1fx2,那么就说 fx在区间 D 上是增

14、函数.区间D称为 y=fx的单调增区间（睇清晰课本单调区间的概念）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2, 那么就说 fx在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 y=fx的单调减区间 .留意： 1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质.2必需是对于区间 D 内的任意两个自变量x1, x2.当 x1x2 时,总有 fx1fx2.（ 2）图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .3.

15、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x1,x2D,且 x11,且 * 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数此时,的次方根用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号表示式子叫做根式（radical）,这里叫做根指数（radicalexponent）,叫做被开方数（radicand）当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（0）由此可得：负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0,记作.留意：当是奇数时, ,当是偶数时,2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意

16、义,规定：,0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3. 实数指数幂的运算性质（ 1） .（ 2）.（ 3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般的,函数叫做指数函数（exponential）,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质a1 0a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象特点函数性质函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为（0,） 图象关于原点

17、和 y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延长函数的值域为 R函数图象都过定点（ 1,0） 自左向右看,图象逐步上升自左向右看, 图象逐步下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0其次象限的图象纵坐标都小于0其次象限的图象纵坐标都小于0（三）幂函数1、幂函数定义：一般的,形如的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义,并且图象都过点（1, 1）.（ 2）时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数特殊的,当时,幂函数的图象下凸.当时,幂函数的图象上凸.（ 3）时,幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内,当从

18、右边趋向原点时,图象在轴右方无限的靠近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限的靠近轴正半轴第三章函数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.2、函数零点的意义： 函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： 求函数的零点：1（代数法）求方程的实数根.2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点： 二次函数1） 0,方程有两不等实根, 二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载