2022年高二数学上册各章节知识点总结2.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高二数学复习学问点归纳总结不等式单元学问总结ab7cda cb d 异向不等式可减 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 两个实数 a 与 b 之间的大小关系一、不等式的性质ab 08cd 0ac bd 同向正数不等式可乘 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ab0a b.2ab = 0a = b. 3ab0a bab 090cdab 异向正数不等式可除 cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、4a 1ab.bab 010anNnbn 正数不等式可乘方 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a、bR ,就a5ba6= 1a = b. 1abab 011nNn a n11b 正数不等式可开方 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2. 不等式的性质12a b 03. 肯定值不等式的性质a b 正数不等式两边取倒数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) abba对称性 a baa 0 ,1|a| a. |a|= aa 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 2bcac 传递性 (

3、2) 假如 a 0,那么|x|ax 2a2axa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) abacbc加法单调性 ab|x|ax 2a2xa或x a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 0ac bc3|a b| |a| |b| 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 乘法单调性 aba 4| b |a|b|b 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 0ac bc5|a| |b| |a b| |a| |b| 6|a 1 a2 an| |a 1| |a 2| |a n| 二、不等式的证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(

4、5) abca c b移项法就 a b1. 不等式证明的依据(1) 实数的性质：a、b同号ab 0.a、b异号ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6cda cb d 同向不等式可加 a b 0ab.ab 0a b. ab = 0a = b(2) 不等式的性质 略可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223 重要不等式： |a| 0. a 0. a b 0a 、b R22 a b 2aba 、b R,当且仅当 a=b 时取“ =”号 abfx4gx 0与fx 0或gx 0fx 0同解gx 0gx 0可编辑资料 - - -

5、 欢迎下载精品_精品资料_ aba、bR 2,当且仅当a = b时取“= ”号 5|fx|gx 与 gx fx gx 同解 gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 不等式的证明方法(1) 比较法：要证明 a ba b ,只要证明 ab 0a b 0 ,这种证明不等式的方法叫做比较法6|fx|gx 与 fx gx 或 fx gx 其中 gx 0 同解.与 gx 0 同解fx gx 2fx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判定符号(2) 综合法：从已知条件动身,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等 式成

6、立,这种证明不等式的方法叫做综合法(3) 分析法：从欲证的不等式动身,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判定 为正确时,从而肯定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法(7) fx gx与(8) fx gx 与fxfx 0gx 0fx gx 2fx 0gx或同解gx 0同解fxgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明不等式除以上三种基本方法外,仍有反证法、数学归纳法等三、解不等式(9) 当 a 1 时, a a与 fx gx 同解,当 0 a1 时, a afx gx与 fx gx 同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 解不等式问题的分类(

7、1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式.解分式不等式.解无理不等式.(10) 当a 1时, log a fx log agx 与当0a1时, log a fx log agx与fx 0fx gx fx 0gx 0同解同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解指数不等式.解对数不等式.解带肯定值的不等式.解不等式组一、坐标法1. 点和坐标直线和圆的方程单元学问总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 解不等式时应特殊留意以下几点：(1) 正确应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对

8、数函数的增、减性建立了平面直角坐标系后,坐标平面上的点和一对有序实数x , y 建立了一一对应的关系2. 两点间的距离公式设两点的坐标为 P1x 1, y 1 , P2x 2, y 2 ,就两点间的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 留意代数式中未知数的取值范畴3. 不等式的同解性|P1P2|=x 2x 2 y122y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx gx 0与fx 0gx 0fx 0fx 0或gx 0fx 0同解特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的肯定值表示：(1) 当 x1=x2 时 两点在 y 轴上或两点连线平行于y 轴 ,就|P 1P2

9、|=|y 2 y1|(2) 当 y1=y2 时 两点在 x 轴上或两点连线平行于x 轴 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fx gx 0与或gx 0gx 0同解|P 1P2|=|x 2 x1|3线段的定比分点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 3fxgx 0与fx 0或gx 0fx 0同解gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 定义：设 P点把有向线段线段 P1P和 PP2 的数量的比,就是P1PP1P2 分成 P1 P和 PP2

10、两部分,那么有向P点分 P1P2 所成的比,通常用 表示,(1) 点斜式已知直线过点 x 0, y 0 ,斜率为 k,就其方程为： y y 0=kx x 0(2) 斜截式已知直线在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,就其方程为： y=kx b(3) 两点式已知直线过两点 x 1, y1 和x 2, y2 ,就其方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 =PP,点P叫做分线段P1 P2 为定比 的定比分点yy1xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2=y 2y 1x 2x 1x 1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当P点内分 P1P2 时

11、, 0.当P点外分P1P2时, 0(4) 截距式已知直线在 x, y 轴上截距分别为 a、b,就其方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 公式：分 P1x 1, y2 和 P2 x 2,y 2 连线所成的比为 的分点坐标是xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1x2x1 1ab5 参数式已知直线过点 Px 0,y 0 ,它的一个方向向量是a , b ,xxat可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy 11y2就其参数式方程为0yy0btt 为参数 ,特殊的,当方向向量为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品_精品资料_特殊情形,当P是P1P2的中点时, = 1,得线段P1P2 的中点坐标vcos , sin 为倾斜角 时,就其参数式方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式x 1x 2x x0y y0t cos t sin t 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2这时, t的几何意义是,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1y 2y2二、直线1. 直线的倾斜角和斜率(1) 当直线和 x 轴相交时,把 x 轴围着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角, 叫做这条直线的倾斜角当直线和 x 轴平行线重合时,规定直线的倾斜角为0

13、 所以直线的倾斜角 0 , (2) 倾斜角不是 90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜tv = p0 p|t|=|p 0p|=|p 0 p|(6) 一般式 Ax ByC=0 A 、B 不同时为 0 (7) 特殊的直线方程垂直于 x 轴且截距为 a 的直线方程是 x=a, y 轴的方程是 x=0 垂直于 y 轴且截距为 b 的直线方程是 y=b, x 轴的方程是 y=0 3两条直线的位置关系(1) 平行：当直线 l 1 和 l 2 有斜截式方程时, k 1=k2 且 b1 b2A 1B 1C1当l1和l 2是一般式方程时,A 2B 2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率

14、,直线的斜率常用k表示,即 k = tan (2) 重合：当 l 1 和 l 2 有斜截式方程时, k1=k2 且 b1=b2,当 l 1 和 l 2 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 k 0 时, =arctank 锐角一般方程时, A 1A 2B 1C1B 2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k 0 时, = arctank 钝角 3 相交：当 l 1, l 2 是斜截式方程时, k 1 k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 斜率公式：经过两点P1x 1, y1 、P2x 2, y2 的直线的斜率为当l , l是一般式方

15、程时,A 2B 1AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1k =x x 121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x12. 直线的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点：A 1xB1yC10的解A 2xB 2 yC20二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,即各个不等式所表示的平面区域的公共部分2 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜 到角： l1到l 2 的角ta

16、nk 2k1 11k 1k 2k 1k 2 0例如, z=ax by ,其中 x, y 满意以下条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交k 2k 1A 1 xB1yC1 0或 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角公式：l1和l2 夹角tan|1k 1k 2|1k 1k 2 0A 2xB2 yC2 0或 0*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直当l1 和l 2 有叙截式方程时,k1 k 2 = 1A n xBnxCn 0或 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当l1 和l 2 是一般式

17、方程时,A 1A 2 B 1B 2 = 0求 z 的最大值和最小值, 这就是线性规划问题, 不等式组 * 是一组对变量 x、y 的线性约束条件,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 点 Px 0, y 0 与直线 l ： Ax By C=0 的位置关系：z=ax by 叫做线性目标函数满意线性约束条件的解x ,y 叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 0By 0 C = 0P在直线l上 点的坐标满意直线方程 做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解 三、曲线和方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

18、料_Ax 0 By 0 C 0P在直线l外|Ax+ By+ C|1. 定义在选定的直角坐标系下,假如某曲线C 上的点与一个二元方程fx ,y=0 的实数解建立了如下关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点Px, y 到直线 l的距离为： d =00系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2200AB1 曲线 C 上的点的坐标都是方程fx , y=0 的解 一点不杂 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 两条平行直线 l 1 Ax By C1=0, l 2 AxBy C2=0 间|CC |2 以方程 fx , y=0 的解为坐标的点都是曲线C上的点 一点

19、不漏 这时称方程 fx , y=0 为曲线 C的方程.曲线 C 为方程 fx ,y=0 的曲线 图形 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离为： d =6. 直线系方程12A 2B 2设 P= 具有某种性质 或适合某种条件 的点 ,Q=x ,y|fx, y=0 ,如设点 M 的坐标为 x 0,y 0 ,就用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为：1M Px 0, y0 Q,即PQ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程的特点是除含坐标变量x, y 以外,仍含有特定的系数 也称参变量 确定一条直线需要两个独立的条件,在

20、求直线方程的过程中往往先依据一个条件写出所求直线所在的直线系方程,然后再依据另一个条件来确定其中的参变量(1) 共点直线系方程：经过两直线 l 1 A1x B1yC1=0,l 2 A2x B2y C2=0 的交点的直线系方程为： A1x B1y C1 A 2x B2y C2=0 ,其中 是待定的系数在这个方程中,无论 取什么实数,都得不到A2x B2y C2=0,因此它不表示 l 2当 =0 时,即2x 0 ,y 0 QM P,即QP以上两条仍可以转化为它们的等价命题 逆否命题 ：1x 0,y 0 QMP. 2MPx 0, y0 Q明显,当且仅当 PQ且QP,即P = Q时,才能称方程fx,

21、y = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 A1x B1y C1=0,此时表示 l 1(2) 平行直线系方程：直线y=kx b 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程与直线AxBy C=0平行的直线系方程是Ax By =0 C, 是参变量(3) 垂直直线系方程：与直线Ax By C=0A 0,B 0 垂直的直线系方程是： Bx Ay =0 假如在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解7. 简洁的线性规划1 二元一次不等式Ax By C 0 或 0 表示直线 Ax By C=0 某一侧全部点组成的平面区域为曲线 C 的方程.曲

22、线 C 为方程 fx , y=0 的曲线 图形 2. 曲线方程的两个基本问题(1) 由曲线 图形 求方程的步骤：建系,设点：建立适当的坐标系,用变数对x ,y 表示曲线上任意一点M的坐标.立式：写出适合条件p 的点 M的集合 p=M|pM .代换：用坐标表示条件pM ,列出方程 fx , y=0 .化简：化方程 fx ,y=0 为最简形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法” ,在步骤中如化简过程是同解变形过程.或最简方程的解集与原始方程的解集相同,就步骤可省略不写,由于此

23、时所求得的最简方程就是所求曲线的方程xar cos ybr sin 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由方程画曲线 图形 的步骤：争论曲线的对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点 .特殊的,以 0 , 0 为圆心,以 r 为半径的圆的参数方程为xr cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求截距：f x, y0yr sin 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组y0的解是曲线与x轴交点的坐标.3. 点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d,圆的半径为 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

24、载精品_精品资料_f x, y0(1) 点在圆外d r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组x0的解是曲线与y轴交点的坐标.(2) 点在圆上d = r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论曲线的范畴.列表、描点、画线3. 交点(3) 点在圆内d r4. 直线与圆的位置关系设直线 l ： Ax By C=0和圆 C：x a222y b =r ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组4曲线系方程过两曲线 f 1x ,y=0 和 f 2x , y=0 的交点的曲线系方程是f 1x ,y f 2 x , y=

25、0 R|AaBbC|dA 2B 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、圆1. 圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 叫圆2. 圆的方程(1) 标准方程 x a 2 y b 2=r 2 a , b 为圆心, r 为半径(1) 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解,(2) 相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解,(3) 相离直线与圆的方程组成的方程组无解,5. 求圆的切线方法0或dr.= 0或d = r. 0或dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222特殊的：当圆心为 0 ,0 时,方程为 x y =r1 已知圆 x y Dx Ey F=0222 一

26、般方程 x y DxEy F=0如已知切点 x 0, y 0 在圆上,就切线只有一条,其方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DED 2E24 Fx xy yD xx 0 E yy0 F0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_配方 x 2 y20022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224当x 0, y 0 在圆外时,x 0x 0 xy 0 y D2xy 0E2y F = 0 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当D 2 E 2 4F 0时,方程表示以D,E为圆心,以过两个切点的切点弦方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

27、1D 2222E 24F为半径的圆.如已知切线过圆外一点x 0,y0 ,就设切线方程为 y y 0=kx x0 ,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于y 轴的切线如已知切线斜率为k,就设切线方程为y=kx b,再利用相切条件求b,这时必有两条切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当D 2 E 2 4F = 0时,方程表示点 D , E (2) 已知圆 x y =r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22如已知切点 P0x 0, y 0 在圆上,就该圆过P0 点的切线方程为 x0x y 0y=

28、r 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D E 4F 0 时,方程无实数解,无轨迹(3) 参数方程以a ,b 为圆心,以 r 为半径的圆的参数方程为已知圆的切线的斜率为6. 圆与圆的位置关系k,圆的切线方程为y = kxrk 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为 r 1、r 2,就条件M|MF 1 |+|MF 2 |=2a , 2a |F1F2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 两圆外切(2) 两圆内切|O1O 2 |= r1r2.|O1O 2 |

29、=|r 1 r2 |.M|MF 1|MF 2 |= e, 0e 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 两圆相交|r1 r2| |O1O 2| r1r2 点M 到l 1 的距离点M到l 2 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准方程x 2a2y2b21ab 0x 2y 2b 2a21ab 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆锥曲线单元学问总结顶点A1 a , 0, A2a , 0 B1 0 , b, B20 , bA10 , a, A2 0 , a B1 b , 0, B2 b , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、圆锥

30、曲线1. 椭圆(1) 定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 大于 |F 1F2| ,这个动点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫焦点 轴对称轴： x 轴, y 轴长轴长 |A1 A2|=2a ,短轴长 |B1B2 |=2b 焦点F1 c , 0, F2c , 0F10 , c , F20 , c 焦距|F1F2|=2cc 0 , c 2=a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 2：点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常c离心率ec 0 e1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数e0 e1 时,这个点的轨迹是椭圆aa2a

31、2准线方程l1 ： x.l 2 ：xa2a2l 1 ：y. l 2 ：y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 图形和标准方程焦点半径c|MF 1| a ex0 ,|MF 2| a ex0ccc|MF 1| a ey0 ,|MF 2| a ey0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点和椭圆外x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_001 x , y 在椭圆上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关系a2b 200内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 为切线斜率2 2, 2k 为切线斜率22, 2y kx a kby k

32、x b ka可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程x 0 x a2y 0 y 1 b2x 0 x b 2y0 y 1 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0 , y 0 为切点x 2y2x 0 , y 0 在椭圆外x 0 , y0 为切点x 0 , y0 在椭圆外可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图8 1的标准方程为：a 2 b2 1a b 0切点弦方 程x 0 x a2y 0 y 1 b 2x 0 x b 2y0 y 1 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图8 2 的标准

33、方程为：x2y 2b2 a 2 1a b 0|xx | 1 + k 2 或|y y |1 +1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22112k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 几何性质弦长公式其中 x 1 , y 1,x 2 , y2 为割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 定义P M|MF 1 | |MF2 | 2a , a 0 , 2a |F1F2 | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 1：平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 条件PM|MF 1 |点M 到l 1 的距离|MF 2 |点M 到l 2 的距离 e, e 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 2：动点到肯定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数ee 1 时,这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点 (2) 图形和标准方程标准方程x y 22a