2022年高等数学上册知识点.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学上册第一章函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）.2、 反函数、复合函数、函数的运算.3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数.4、 函数的连续性与间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f(x) 在x0 连续limf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳动间断点其次类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点

2、5、 闭区间上连续函数的性质： 有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限1、定义1） 数列极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim xnan0,N,nN ,xna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2） 函数极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

3、品资料_limf xA0,0,x, 当0xx0时, f(x) A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左极限：f x0 limf x右极限：f x0 limf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xA存在f x0 f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx02、极限存在准就1）夹逼准就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） ynxnzn nn0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

4、- 欢迎下载精品_精品资料_n2） lim ynlim znna lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）单调有界准就：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 定义：如lim0 就称为无穷小量. 如 lim就称为无穷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大量.2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Th1穷小o ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Th2, lim存在,就l

5、imlim（无穷小代换）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、求极限的方法1） 单调有界准就.2） 夹逼准就.3） 极限运算准就及函数连续性.4） 两个重要极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a) limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xb)

6、lim 11x xlim 11 xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx5） 无穷小代换：（ x0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a) x sin x tan x arcsin x arctan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b) 1cosx 1 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c) ex1 x（ ax1 x ln a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l

7、n1x xlog1x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_de1x（1 xaln a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章导数与微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 导数1、定义：f x0 limxx 0f xf x0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

8、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左导数：0f xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右导数：0f xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxlimxx0fxlimxx0函数 f x 在 x0 点可导xx0f x0 f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几何意义： f x0 为曲线 yf x 在点x0 ,f x0 处的切线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率.3、可导与连续

9、的关系：4、求导的方法1） 导数定义.2） 基本公式.3） 四就运算.4） 复合函数求导（链式法就） .5） 隐函数求导数.6） 参数方程求导.7） 对数求导法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、高阶导数1） 定义：d 2 ydx2ddydxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） Leibniz公式：uv n nnCk u k v nk k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 1

10、8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 微分1） 定义：yf x0xf x0 Axox ,其中 A 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 无关.2） 可微与可导的关系：可微可导,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyf x0 xf x0 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章微分中值定理与导数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 中值定理

11、1、 Rolle定理：如函数f x满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） f xC a,b .2） f xD a, b .3）f af b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就a, b, 使f0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 Lagrange中值定理：如函数f x满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） f xC a, b . 2）f xDa, b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

12、 欢迎下载精品_精品资料_就 a, b, 使fbf af ba) .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 Cauchy中值定理：如函数f x, F(x) 满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ）f x,F xC a,b. 2 ）f x, F xDa,b. 3 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x0, xa, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

13、品资料_就a, b, 使f bf af可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F bF aF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（二） 洛必达法就留意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分别非零因子）再用洛必达法就；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：lim1x24

14、cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0tanx2、对于某些数列极限问题,可化为连续变量的极限,然后用洛必达法就；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： limnnnanb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） Taylor 公式0n 阶 Taylor 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0 f x0 xx0 f x0 x 2.x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0f n x xx nf n1 xx n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

15、品资料_n.0n1.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 x0与 x 之间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x00 时,成为 n 阶麦克劳林公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下

16、载精品_精品资料_f0f0f n 0f n1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 0xx2xnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.2.n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 与 x 之间 .常见函数的麦克劳林公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e1xx121）2. x1 xn n.exn1 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 与 x 之间,x.2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_357sin xxxxx1 m 1x2 m 1sin2m12x 2 m 1可编辑资料

17、- - - 欢迎下载精品_精品资料_3.5.7. 2m1.2m1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 与 x 之间,x.3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_246cos x1xxx2.4.6.1 m2 mx12m22.cos2m2 2m.x2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

18、 - - - - -在 0 与 x 之间,x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x24） ln1xx2x3x434nx1n 1n1 n xnn111n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 与 x 之间,1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x1 x22.13.2 x31n.n1 xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n1n1.n1xn 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0 与 x 之间,1x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四） 单调性及极值1、 单 调 性 判 别 法 ：f xCa, b ,f xD a, b, 就 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 ,就f x单调增加.就如f x0 ,就f x 单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调削减.2、 极值及其判定定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a) 必要条件：f x 在x

20、0 可导,如x0 为f x的极值点,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx0 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b) 第一充分条件：f x 在x0 的邻域内可导,且f x0 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如当 xx0 时, f x0 ,当 xx0 时, fx0 ,就 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为极大值点.如当xx0 时,f x0 ,当 xx0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

21、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx0 ,就x0 为微小值点.如在x0 的两侧f x 不变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_号,就x0 不是极值点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c)

22、 其次充分条件：f x 在 x0处二阶可导,且f x0 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x0 0 ,就 x0为极大值点.如fx0 0 ,就 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为微小值点.3、 凹凸性及其判定,拐点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） f x在区间 I 上连续,如x1 , x2I ,f x1x2 2f x1 2f x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

23、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称f x在区间I上的图形是凹的.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 , x2I ,f x1x2 2f x1 2f x2 ,就称f x在区间 I上的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形是凸的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2）判定定理：f x在 a, b 上连续,在a, b 上有一阶、二阶导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就a) 如xb) 如xa,b, fa,b, f

24、x x0 ,就0 ,就f x 在 a,b 上的图形是凹的. f x 在 a,b 上的图形是凸的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3）拐点：设 yf x 在区间 I 上连续,x0 是f x 的内点,假如曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 yf x 经过点 x0 , fx0 时,曲线的凹凸性转变了,就称点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 , fx0 为曲线的拐点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

25、精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理.2、 利用函数单调性.3、 利用极值（最值） .（六） 方程根的争论1、 连续函数的介值定理. 2、 Rolle 定理.3、 函数的单调性.4、 极值、最值.5、凹凸性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（七） 渐近线1、 铅直渐近线：limf x,就 xa 为一条铅直渐近线.可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品_精品资料_xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 水平渐近线：limxf xb ,就 yb 为一条水平渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 斜 渐 近 线 ：limxf x xklim xf xkxb存 在 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykxb 为一条斜渐近线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（八） 图形描画可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤:1. 确定函数 yf x的定义域,并考察其对称性及周期性.可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求 fx, f x 并求出f x 及 fx为零和不存在的点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特别点 ,描画函数图形 .第

28、四章不定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 概念和性质1、原函数：在区间I 上,如函数F x 可导,且 F xf x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 F x 称为f x的一个原函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、不定积分： 在区间 I 上,函数f x的带有任意常数的原函数称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 f x在区间 I 上的不定积分.可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品_精品资料_3、基本积分表（ P188 ,13 个公式）.4、性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x xdxf uduu x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 第二类换元法（变量代换）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -

30、 - - 欢迎下载精品_精品资料_f x dxf t t dtt1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 分部积分法：udvuvvdu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四） 有理函数积分1、“拆.”2、变量代换（三角代换、倒代换等） .第五章定积分（一） 概念与性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：bf xdxanlimf i xi0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质：（7 条）性质7（积分中值定理）函数f x在区间 a, b上连续,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -