2022年高数微积分知识总结 .docx

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1、精品_精品资料_问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分定义：bfx dxabnlimfixi0 i1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算方法 :fx dxF bFaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元定积分几何意义 : 连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_物理意义：变力沿直线做功应用 几何 ：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积 已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用 物理 ：水压力、质量与引力、边际成本一元

2、不定积分：解打算积分的运算问题,将积分问题与求导问题联系起来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分定义：Dfx, y dnlimf0 i 1i , ii积分定义：fx, y, z dvlimf0i 1i ,i ,ivi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算方法 : 关键问题是定限,在直角坐标下 d=dxdy,在极坐标下 d=rdrd运算方法 : 直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标 xr cos , yr sin, zz,dv=rdrddz

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二重积分 几何意义 : 以D为底, fx, y 为曲顶柱体的体积的代数和三重积分球面坐标 x2r sincos , yr sinsin, zr cos,dv=rsindrdd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_物理意义：应用 几何 ：求平面图形的面积dD应用 物理定限的方法参考二重积分几何意义、物理意义应用 几何应用 物理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题引例：曲线形构件的质量nn问题引例 : 曲面不匀称薄片的质量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分定义

4、：Lfx, y dslimf0 i 1i , isi ,Lfx, y, z dslimf0 i 1i ,i ,isi积分定义：fx, y, z dSnlimf0i ,i ,iSi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算方法 : 用路径函数L化简fx, y,化为一元定积分i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22弧长元素 ds=dxdy2对面积的曲面积分第一型曲面积分运算方法 :1 、投影, 2、代入, 3、转换fx, y, z dSfx, y, z x, y1z 2z 2 dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ds=1+ y xdxxyDxy可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22对弧长的曲线积分第一型曲线积分2ds=1+ x ydy应用 几何 ：运算曲面面积应用 物理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ds=t+tdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ds=r几何意义、物理意义应用 几何应用 物理22+ r d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题引例：变力沿曲线作功nWlimP0i 1i ,ixiQi ,iyi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn可编辑资料 - - - 欢

6、迎下载精品_精品资料_积分定义：P x, y dxLlimP0i 1i ,ixi ,Q x, y dyLlimQ0i 1i , iyi1、定义：假如一阶微分方程Px, y dxQ x, y dy0的左端恰好是某一个二元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对坐标的曲线积分积分的定义可推广到空间的情形,并可简写成P x, y dxQ x, y dyL函数 u的全微分,此时方程的通解为2、求解方法：u = C ,因此全微分方程的关键就是求u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次型曲线积分运算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x全微分方程uu可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品_精品资料_两种曲线积分的关系：PdxQdyPcosQcosds不定积分法：凑微分法P,uPdxy ,xyPdxyQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PdxQdyRdzPcosQcosRcosds积分因子法：见笔记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 cos, cos,cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_问题引例：曲面的侧的定义指明白曲面是有方向的曲面的投影,流体力学中流量问题=v d Sn积分定义：lim0 i 1nPi , i ,i

8、SzyQi ,i ,iSxzRi ,i ,iSxyPcosQcosRcosdS对坐标的曲面积分其次型曲面积分limP0i ,i ,iSzyQi , i ,iSxzRi ,i ,iSxyPdydzQdxdzRdxdyi 1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出.其次式是我们普遍用的其次型曲面积分两个式子反应的是一个东西,也就阐明白两类曲面积分的联系运算方法：投影、代入、转换应用：流量的运算格林定理：曲线正向的定义.LPdxQdyQDxPdxdy, L为D的取正向的边界曲线y应用格林公式应留意：曲1线L必需封闭.2Q 、 P 在D内每点具有一阶连续偏导. xy3 L为正向曲线A格林公式 曲线积分的

9、路径无关性：概念,积分值只与初始点的坐标有关BPdxQdy四个等价命题：在一个单连通区域内,函数就下面四个命题等价：Px, y 、Q x, y 在G内有一阶连续偏导Q =xP . yLPdxQdy0.LPdxQdy与路径无关.存在函数ux, y , 使duPdxQdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS cosxxyzcoscos=A d S, divA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分应用归纳几何应用：1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做,用三重积分可做3、曲面的面积

10、 :1dSdS. 牟合方盖的表面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fy, z ds,fx, z ds柱面面积=fx, y ds 牟合方盖的表面积L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_LL该柱面以L为准线,母线平行于z轴,介于 z0与曲面zfx, y之间的部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、平面的面积：其实就是曲面面积的特别情形,用一元定积分可做,用二重积分可做物理应用：1、质量平面直线杆一元定积分线状质量 线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就说明白为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片 二重积分面

11、状质量 面密度面积说明白为什么对曲面的面积积分化为二重积分空间面片 对曲面的面积积分立体快质量 体密度体积三重积分= fP ; MfP d2、质心 物理重心 质心 几何中心 形心概念说明 :物理重心 是在重力场中,物体处于任何方位时全部各组成质点的重力的合力都通过的那一点.规章而密度匀称物体的重心就是它的几何中心.质心 质量中心简称质心,指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点.与重心不同的是,质心不肯定要在有重力场的系统中.值得留意的是,除非重力场是匀称的,否就同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上.形心 面的形心 就是截面图形的几何中心,质心是针对实物体而言的, 而形心是针对抽象几何体而言的,对于密度匀称的实物体,质心和形心重合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质心的运算： 引入了静力矩的概念xx, y dyx, y d块：xxdvdvy, y薄片: xDx, y d, yDdvdvx, y d平面DD空间 面片: xxdd, yxx, y dsyx, y dsy dd曲线杆 : xL, yLx, y dsx, y dsxLL曲杆: xds, ydsy dsds3、转动惯量：定义： II xy2Mr 2x, ydDI yx2x, y dDI 0x2y2x, y dD可编辑资料 - - - 欢迎下载