2022年高等数学教案偏导数.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8 2偏导数一、偏导数的定义及其运算法对于二元函数 z fx y 假如只有自变量x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数z fx y对于 x 的偏导数定义设函数 z fx y在点x0 y0的某一邻域内有定义当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量x 时 相应的函数有增量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如极限fx0x y0fx0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limx0f x0x, y0 xf x0, y0
2、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 就称此极限为函数z fx y在点x0 y0处对 x 的偏导数 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zx x0x y y0fx x0x yy0zx x x0y y0或 f xx0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如:fx x0, y0 limx 0f x0x, y0xf x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 函数 z fx y在点x0 y0处对 y 的偏导数定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limy
3、0f x0, y0yfyx0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y y0记作z x x y0fyx x0y y0zy x x0y y0或 fyx0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数 假如函数 z fx y在区域 D 内每一点 x y处对 x 的偏导数都存在那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z fx y对自变量 x 的偏导函数 记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zfzx 或xxfxx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导函数的定义式fxx, yl
4、imx0f xx, yxf x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 可定义函数 z fx y对 y 的偏导函数记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z fzy 或yyf y x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
5、资料_偏导函数的定义式fy x, ylimy 0f x, yyf yx, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求f时只要把 y 临时看作常量而对x 求导数求xf时只要把 x 临时看作常y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量而对 y 求导数争论以下求偏导数的方法是否正确?可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0fxx, y x x0y y0f yx0 , y0 f y x, y x x0y y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f
6、 x x0 , y0 df x, y0 dxx x0fy x0, y0 df x0 , y y ydy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数的概念仍可推广到二元以上的函数例如三元函数 u fx y z在点x y z处对 x的偏导数定义为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x, y, zlimx0f xx, y, zxf x, y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中x y z是函数u fx y z的定义域的内点它们的求法也仍然是一元函数的微分法问题例 1 求 z x23xyy2 在点12处的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
7、品资料_解z2x3y xz3x2 y yz x 12 13 28xy 2z x 13 12 27yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解z2xsin 2y xz2x2 cos2y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 设 zx y x0,x1 求证xzyx1ln xz2z y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证zyxy 1xzx y ln x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xz1z yxln xyx yxy 1y1ln xx y ln
8、 xx yx y2z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 求 rx2y2z2 的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解rxxrxx2y2z2ryyyx2y2z2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已知抱负气体的状态方程为pV=RTR 为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
9、_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证p V证由于 pVT1TpRTpRTVVV 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_VRTVRpTpTpVTVRpR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以pVTVTpRTR V V 2pRRT1pV可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数 z fx y在点x0 y0的偏导数的几何意义fxx0 y0 fx y0x 是截线 zfx y0在点 M0 处切线 T
10、x 对 x 轴的斜率fyx0 y0fx0 y y 是截线 z fx0 y在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续 例如xyx2y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, yx2y20x2y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点0 0有 fx000 fy0 00但函数在点 0 0并不连续提示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, 0f x0, 00f 0, y0d f x, 00f y0, 0d f0,y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdy
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