2022年深圳杯数学建模A题答案 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 摘要深圳作为中国经济进展的重点城市, 人口与医疗问题已经成为我们的焦点话题,是一个复杂的系统工程； 本文针对深圳地区人口年龄分布情形,外来务工人员的数量,从实际动身,在基于一些合理简化假设的基础上,建立数学模型,并充分利用 matlab 等软件简化运算,对相关问题进行了有针对性的求解；在猜测将来十年深圳常住人口时,我们运用了matlab 一元线性回来对近十年的数据进行了多次拟合, 并对这些拟合进行了比较得出深圳常住人口模型公式2为：Q x 1.0 e 005 x 0.0083 x 8.1671 , 通过拟合猜测出了将来十年深圳市常住人口的数量,

2、同时在网上 2000 年到 2022 年的人口结构的数据,通过 Leslie矩阵猜测出了将来十年人口结构的分布；通过分析深圳近人口数量和人口结构的变化,猜测将来十年深圳市人口数量和结构的进展趋势,以此为基础猜测将来全市和各区医疗床位需求呈线性递增趋势；同时选取了高血压, 脑出血, 癌症这三种疾病进行猜测,运用 matlab 最小二乘法散点拟合,得出这三种疾病的进展趋势,由此猜测出将来十年这三种疾病的就医的床位需求；关键词： matlab 、一元线性回来、 Leslie 、最小二乘法、床位需求一、问题重述从深圳的人口的结构来看, 显著的特点是流淌人口远远超过户籍人口,且年轻人口占主肯定优势； 流

3、淌人口主要从事其次、 三产业的企业一线工人等； 年轻人身体好,发病少,导致深圳目前人均医疗设施低于全国类似城市平均水平,但仍能满意现有人口的就医需求；然而,政策的调整与世界的推移会使深圳市老年人增加； 产业结构的变化也会影流淌人口的数量；直接会导致深圳市将来的医疗需求的变化；现有人口社会进展模型在面对深圳情形时,难以满意人口和医疗猜测的要1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求；为明白决此问题, 请依据深圳人口进展变化态势以及全社会医疗卫生资源投 入情形医疗设施、医护人员结构等方面收集数据、建立针对深圳具体情形的

4、数学模型,猜测深圳将来的人口增长和医疗需求,解决下面几个问题：1.分析深圳近十年常住人口、特别住人口变化特点,猜测将来十年深圳市人 口数量和结构的进展趋势,以此为基础猜测将来全市和各区医疗床位需求；2.依据深圳市人口的年龄结构和患病情形及所收集的数据,对几种病进行预 测,在不同类型的医疗机构就医的床位需求；二、问题分析背景分析深圳作为我国的经济重镇,深圳经济迅猛进展,带动人口发生了极大变化,大量的人才需求使深圳外来人口大量增加；劳动力的需求使年轻人占据的深圳的主要位置；年轻人身体健壮,发病较少,补偿了深圳医疗稍差的缺陷；然而,由 于政府的各项政策 如方案生育等 使得人口结构发生了变化, 深圳市

5、统计局 12日公布了全市第六次全国人口普查主要数据,显示深圳特区在 2000年至2022年的10年中人口增长率近 “ 50%”,人口密度大幅提高；政府部门需要更具体的人口数量与人口结构的进展趋势,以此为基础来满意 深圳市各区几种病的床位需求； 近些年来, 对人口结构的分析猜测仅限于粗线条分析,只能猜测年龄与性别的大致分布范畴；随着人们对健康要求的提高,床位的需求逐步受到重视,这就是人口与医疗需求的猜测；2.2 问题的分析题目中所给的两个问题都属于猜测的数学问题；其中问题一需要通过对深圳人口数量极其人口结构进行猜测,以此为基础猜测将来全市和各区医疗床位需 求；为明白决此问题,我们第一要对近十年的

6、常住人口与特别住人口进行分析,其次再对人口数量和结构进行分析,通过对这些已知数据的分析和统计,在猜测将来十年深圳常住人口时,我们运用了matlab对近十年的数据进行了多次拟合,并 对 这 些 拟 合 进 行 了 比 较 得 出 深 圳 常 住 人 口 模 型 公 式 为 ：Q x 1.0 e2 005 x0.0083 x8.1671,通过这个模型对将来十年深圳常住人口进2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 行猜测；接而得出将来十年,即得到深圳市2022年到2022年每年的人口增长率,得出深圳市将来十年的人口数量进展

7、趋势；通过依据年龄来划分儿童、青壮年、老年三个年龄层, 求出三个年龄层的比例模型, 通过得出关系函数在运算得出未 来十年的结构进展趋势； 通过如下关系： 年龄结构和患病率相关, 患病率和住院 率相关,住院人口数和床位有关, 建立数学模型, 猜测得出将来十年的床位需求 数；对于问题二, 要求猜测不同类型的医疗机构就医的床位需求,依据问题一中得到的全市人口年龄结构和患病情形,对高血压, 癌症,脑出血三种病症在不同类型的医疗机构就医床位需求 .依据规模大小划分深圳市的医院类别,再通过各 等级医院的床位需求与某种病的患病人数和同一等级医院的数量,可治疗这种病 的医院总个数的关系得出不同医疗机构就医床位

8、需求；三、模型假设1、假设题目所给的数据真实牢靠；2、假设在深圳政府政策的稳固前提下,生育和死亡率都比较稳固；3、不考虑战争,瘟疫,大规模流行病对人口的影响；4、假设深圳市人口为年末常住人口；5、假设同一年龄段的人死亡率相同,同一年龄段的育龄女性生育率相同；6、假设当地人们的生育观念不发生太大变化；7、假设人们生病时都能支付起医疗费；8、假设各区域的患病者不相互交换,即各区域是相互独立的；四、定义符号与说明见文中标注五、模型的建立与求解一、问题一的分析一深圳市常住人口的猜测1利用现有数据表一分析深圳从1979年到 2022年的年末常住人口数变化3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

9、 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规律；运用 Excel软件画出深圳 1979年到 2022年的人口数量折线图图一：表1：19792022年年末常住人口数图1：19792022年年末常住人口数年末常住人口数）人 万：位 单12001982198519881991199419972000200320062022年末常住人口数1000800600400（数 口 人20001979年份2通过现有的数据及其折线图,可以很明显地观看出深圳常住人口数从 1980到1992的人口处于缓慢增长, 呈线性增长； 但随着深圳高速的进展, 优质的社会公共资源对流淌人口形成了强大的吸

10、引力,因此外来人口的迁入增多导致从1994年到 2022年深圳年末常住人口数的增长率相对以前增大,的增长；3模型的建立但也基本保持一次函数我们通过运用 matlab软件对这一组数据进行多次拟合,其根本思想就是：观测散点走势来确定拟合函数,利用散点但又不拘泥于散点；他的整体思路与我们的数据分析特别相像；并对这些拟合进行了比较得出深圳常住人口模型公式为：Q x 1.0 e2 005 x0.0083 x8.1671,拟合结果如以下图图二: 图2：常住人口的拟合结果图4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二流淌人口的猜测

11、从深圳的人口的结构来看, 显著的特点是流淌人口远远超过户籍人口,因此 对深圳流淌人口的猜测对整个深圳及各区医疗床位需求的猜测中起到至关重要 的作用；1流淌人口定义流淌人口是相对于某地的常住人口而言的, 指离开常住户籍所在地 , 跨过一定的行政辖区范畴 , 在某一地区滞留的人口；其包括 : 1、 进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口；2、为探亲访友、旅行、求学、治病等而外出的人员 ; 3、 无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口；为此我们可得：Q 非Q 1Q 2Q 3其中：Q非 特别住人口总和；Q 进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口总和；Q 为探亲访友、旅行、求学、治病等

12、而外出的人员 ; Q 无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口；2求解进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口：明显对于 Q ,它是深圳市经济进展主要的带动者,因此与深圳市 GDP有很大的关系, GDP越多,就深圳市外来人口就越多；为此我们假设 Q 与外来人口所产生的 GDP成正比例关系,由此我们可得：5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Q 1p XtGDPXb 1其中：p 比例因素；X tGDP深圳市 t当年GDP总量；X 常住人口 GDP值；b进入城镇务工、经商、和从事劳动服务的暂住人口总和的初始值；

13、对于一个非平稳序列来说, 其数字特点, 如均值, 方差和协方差等是随着时间的变化而变化的； 也就是说 ,非平稳序列在各个时间点上的随机规律是不同的,难以通过序列已知的信息去把握序列整体上的随机性；而GDP时间序列都是非平稳的 ,为此我们采纳 ARIMA 模型求解：ARIMA 模型使用包括自回来项 AR 项 , 单整项和 MA 移动平均项三种形式对扰动项进行建模分析, 使模型同时综合考虑了猜测变量的过去值 , 当前值和误差值 , 从而有效地提高了模型的猜测精度；1ARIMA模型的形式：考虑序列ty,假设其能通过 d 次差分后变为平稳序列 , 即ty I d , 就u tdy t1Bdy ttu

14、为平稳序列 , 即tuI0, 于是可建立 ARIMA , p q模型：u tc1 u t1putpt1t1qt q经 d阶差分后的 ARIMA , p q 模型称为 ARIMA , , 模型；其中 p为自回归模型的阶数, q 为移动平均的阶数,t为一个白噪声过程；2建立 ARIMA 模型的一般方法：1 检验原序列的平稳性检验的标准方法是单位根检验, 假设序列不满意平稳性条件 , 就可通过数学方法 , 如差分变换或者对数差分变换使其满意平稳性条件；2 通过运算能够描述序列特点的一些统计量, 如自相关 ACP系数和偏自相关PACP系数来确定 ARIMA , p q 模型的阶数 p 和 q ,并依据

15、肯定的准就 , 如6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - ATC 准就或 SC准就等综合考虑来确定模型的参数；3估量模型的未知参数 2 , 并通过参数的 合理性；统计量检验其显著性 , 以及模型的4 进行诊断分析 , 检验模型的拟合值和实际值的残差序列是否为一个白噪声序 列；3数据的来源与描述：从深圳统计年鉴各卷统计出1979 至2006 年深圳国内生产总值 , 见表 5：并按此数据作图 1从中可以粗略地看出 X, 具有长期上升趋势 , 非水平平稳；表2：1979 2006年深圳国内生产总值统计表亿元图3 4序列的平

16、稳性处理：图47 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对 X ,进行平稳性检验 ADF 检验 ,结果如表 2 : 表3：序列 A D F 检验结果由表 7可知其不平稳；为了排除原始数据序列的不平稳性, 使数据更为平稳 , 本文采纳对深圳国内生产总值序列取对数形式 , 记为 ln X ,序列 ln X t 一阶差分后的序列记为ln X,二阶差分后的序列记为 2 ln X,按二阶差分后数据作序列图 2 , 可见时间趋势基本排除 , 可认为是平稳序列但序列图只能粗略地判定序列具有平稳性 , 理论上应用单位根检验方法检验；对

17、2 lnX, 进行平稳性检验 A D F 检验 , 结果如表 3 : 表4：序列 ADF 检验结果由表 7可知其平稳 ,说明 GDP序列为 2 阶单整序列 , 即2 lnXtI2模型的识别与建立由以上对序列 ln X t I 2 , 的A D F 检验 , 我们可确定 ARIMA p d q, 模型中的 d 应取为 2为了确定模型中的 p 和 q , 作出序列 2 ln X 直至滞后 16 阶的自相关 ACP 图和偏自相关 PACP 图, 分别见图 3 和图 4. 由图 7和图8可看出 , 少In Xt 序列的自相关图与偏自相关图都是拖尾的 , 因此可建立：8 名师归纳总结 - - - - -

18、 - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图5 图6ARIMA 模型；经反复运算比较 , 最终取p1,q2, 建立如下lnX 的ARIMA1,2,2模型 : 括号中的数据为对应估量值的T 检验统计量 2 lnXt c0.031188,AR 10.19417,MA22.087428 6.899257 4.005350 4.247829S E0.050796AIC3.009846SC2.863581即：2lnXt0.0311880.194172lnXt1t2.087428t22 R0.842DW2.23由模型 1 , 对其进行回来拟合 , 模型中的残差序列

19、Residual 以及过实际值 Actual和拟合值 Fitted 的序列图见图 9：从图9可以看出 , 模型的拟合值和 实际值的变动具有较好的一样性；其次 , 模型的残差值较小, 消 除了线性或者指数趋势 , 表现得 较为平稳 , 说明模型通过了适应 性检验 , 所以该模型仍是比较理 想的；为了进一步检验该模型的成效, 记 .tu 为该模型的残差序列 , 图 7 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对其进行 DF检验 , 得：u . t1.118299 u . t1而在 1%显著水平下 ,DF的临界值为-2.6

20、649,因此 ,残差序列 .tu , 即误差项序列能在 1 %显著水平下被看作白噪声过程,这说明2 lnX 的拟合值是实际值的无偏估量, 模型具有较好的拟合成效；作出残差序列 .tu 前16 阶的自相关 ACP和偏自相关 PACP图, 分别见图 10和图11；从两图我们也可看出 , 自相关函数和偏自相关函数均落在置信区间内 , 残差序列应为白噪声过程 , 这与上面 D F 检验的结果一样；图8: 自相关 ACP 图5模型的猜测：图9：偏自相关 PACP图由ARIMA1,2,2模型得：2.087428t22.087428t22lnXt0.0311880.194172lnXt1t又由于：2lnXt

21、lnXt2lnXt1lnXt22lnXt1t可得 lnX的猜测公式为：lnXt2lnXt1lnXt20.031188 0.19417因此得序列X 的猜测公式为：, 结果见表 4 Xt2ln eXt1lnXt20.031188 0.194172lnXt1t2.087428t2用ARIMA1,2,2模型对深圳国内生产总值作猜测10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表 5：实际值与 ARIMA 模型猜测值比较衰 亿元 为此,我们可以求出 p 和 b的值：由 Q 1 p X tGDP X b 1 可得：Q p X tG

22、DP X 出 b通过 1979年初始可知 b 31.41 , X出几乎可以忽视不计,就：通过上面数据求出 p 的平均值为：p =14.871%由此可得：Q X tGDP 14.871% 31.41就： Q 1 Q Q 常可得下表：表6：Q 与时间关系表3求解为探亲访友、旅行、求学、治病等而外出的人员：对于 Q ,探亲访友与深圳市现有人口总数成正比,旅行人数可以通过深圳市旅 211 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 游人口数情形可直接求的；求学人数同样可以通过深圳市训练机构统计数求解,但考虑到将来深圳市不断在进展,

23、所以求学人数也不断在上升, 然而整个国家已经入老龄化社会,而且据国家统计局统计年签说明,我国同学数量在不断下降,这两因素一综合, 我们假设外来求学人数为恒定不变的；对于外来治病人数, 显然与深圳市公有医院服务水平有很大关系,我们假设成正比关系, 因此我们可得：Q 2p Q Q 旅 + Q 学 Q 医 + b 2其中：p 探亲访友人数的概率；Q旅旅行人数；Q学 外来学习人数；Q医 外来求医人数；2b 其他人数；求解p,对于探亲访友人数应当和在该地区中人口成正比,在1979年,深圳刚开放,以此那时没有几乎没有其它外来人员,为此我们可得：p 20.150.00423631.41可得：表7：访友人数表

24、求解Q旅,依据现有的资料,我们查的深圳市南山区 可得：如下表：2022 年统计年签旅行情形表 8：09 年 6 月旅行者接待情形统计12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为此,依据上表我们求解出该区每天 示：平均每天接待人数和同比增长率如下表所表 9：每天平均每天接待人数和同比增长率由上表可知深圳近几年来旅行增长幅度不大,而且旅行是深圳特别住人口的一小部分,为了削减运算难度,我们忽视的这种增长；对于深圳共有 7 个区,为了简化运算, 我们假设旅客到每一区去旅行都是随机的,待人数为万可得：Q旅73.42523.9

25、27 万去每区每年 平均每天接依据资料可得：目前深圳有 35 万左右的义务训练阶段非户籍同学；这数字13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 占了深圳义务阶段同学的一半；同理可以求得：Q学35 万我们假设与公有对于外来求医人数, 深圳市公有医院服务水平有很大关系,医院的等级成正比,与公有医院的总数成正比关系,因此我们可得：Q 医=p S其中：p 公有医院等级因数；S公有医院总数；但是依据题意：此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平,但仍能满意现有人口的就医需求； 可知,对于深圳医疗水平, 相对于其它如上

26、海、广州等一些大城市相比,医疗水平很弱,因此为了简化模型,我们将 Q医 直接放到其它人口 2b 中考虑；3求解三无人口数目 Q三无 ：三无人口定义：无职业、无收入、无暂住证的三无人员即盲流人口；由此我们可以得到该三无人口显现的概率特别小,归为其它人口内；综上所述：几乎可以忽视不计, 为此我们也将他Q 非=pW GDPWb p QQ 旅+ Q 学Q 医+b 2Q 3= p W GDPWp Qb58.927综上所述求解 Q非 可得：表 10：特别住人口表14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三深圳市将来十年人口结构

27、的猜测依据 2022 , 依据每五岁为一个年龄组 , 把 099 岁划分成 20 个年龄组 , 即04 岁为第 1 个年龄组 ,5 9 岁为第 2 个年龄组 ,10 14 岁为第 3 个年龄组 , .,95 99 岁组第 20 个年龄组 ,100 岁以上为第21 个年龄组 , 并设各年龄组人口构成的初始人口列向量为 X0 = x1 0 ,x2 0 ,x3 0 , .,x21 0 T ; 第 5t 年各年龄组人口构成的人口列向量为Xt = x1 t ,x2 t ,x3 t , .,x21 t T , 称 Xt 为人口状态向量；假如设全部年龄组女性人口占同一组总人口比例的系数向量为 C = c1

28、,c2 ,c3 , .,c21 T , 那么在 5t 年时 ,女性人口的列向量应为 CX t = c1x1 t ,c2x2 t ,c3x3 t , .,c21x21 t T ；各年龄组妇女在五年内的平均生育率向量为 B = b1 ,b1 ,b2 , .,b21 T ; 由于在 2000 年以后 , 随着独生子女群体结婚高峰的到来 , 依据我国现行方案生育政策 , 这一群体答应生育其次胎 , 因此育龄妇女的生育率将会上升 ,其上升幅度现在很难精确估量 , 但总和生育率 R 应满意不等式 :1 R 2 , 即平均一对夫妇终生只能生育R 个孩子 ；假如 2000 年以后按 2000 年总和生育率1

29、125 的 a 0. 9 a 84岁由表格,比照 2022 年的年龄结构, 可以看出, 深圳市将面临老龄化严峻的问题,并且中青年人口也在总人口中的比重降低；三猜测深圳将来全市和各区医疗床位需求妨令Y 总 为全市医疗床位总需求量,Q nn1,2,8为各区医疗床位需求量, 不8. Y总n1Qnn1,2,8设 D 为各区年龄结构比例,W 为全区总人数 , R 为全市总床位数见附件, P总 为全市总人数, Z 为住院率, Q 为区床位需求,就区床位需求 =各区年龄结构全区总人数全市总床位数 /全市总人数,可得QDWZ 即GDWR P .17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 2

30、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于所给数据有限,我们只得到了 中各个年龄层的人口数量分布,运用2000 年和 2022 年的各区人数和各区 matlab 最小二乘法拟合散点,得出2000-2022 年各区床位需求大致走向是呈正向进展趋势,如下图 : 图 10：2000-2022 年各区床位需求曲线图进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式：罗湖区：Q 1 89.8t 1140 , 福田区：Q 2 156.6t 1337 , 南山区：Q 3 134t 1060 , 宝安区：Q 4 483.5t 4011 , 龙岗区：Q 5 191t 2581 , 盐田区：Q 6

31、46.3t 224 .取 t =11,12,20就全市总床位需求 R t Q 1 Q 2 Q 6,以此猜测出将来十年的各区和全市医疗床位需求；二、问题二的分析一模型建立运用 matlab 最小二乘法散点拟合,得出患高血压,脑出血,癌症的将来发展趋势函数 , 18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高血压：y 1246.6t1083 , 癌症：y 21067.3t6657.2, 脑出血：y 3=100.5t804.5；再 根 据 等 比 例 函 数 , 得 出 各 等 级 医 院 床 位 需 求 ,各级医院床位需求

32、=某种病的患病人数同一等级医院的数量；以此可以可治疗这种病的医院总个数猜测出某种病在不同类型的医疗机构就医的床位需求；依据深圳市人口年龄结构和患病情形,我们挑选 3 种具有代表性的疾病进行讨论；通过查找常见慢性病患病率的年龄分布特点及相关性分析,得出高血压,癌症,脑出血这三种病在不同年龄段的患病几率；F 所,专科医院 F 所,街道镇医院 F 所,诊所 F 所,其中专科医院中专治高血压、癌症、脑出血的医院分别为 F ,F 22,F 所.得出该年份该病的发病人数的表格如下：表 12 ：2000 年患病人数表2000 年高血压病癌症脑出血青中年878 2371 0 老年385 4881 848 表

33、13：2005 年患病人数表2005 年高血压病癌症脑出血青中年1441 3837 0 老年515 6967 1220 表 14：2022 年患病人数表2022 年高血压病癌症脑出血青中年2944 7341 0 老年785 10584 1853 依据拟合得出：高血压人口的进展趋势为y 1246.6t 1083,癌症人口的进展趋势为：y 21067.3 t6657.219 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 脑出血人口的进展趋势为：y 3100.5 t804.5.依据病情的严峻性和人群就医的一般规章,癌症和脑出血应在综合医院和专科医院救治,高血压可在综合医院,专科医院,街道镇医院进行治疗,癌症与脑出血就只能在综合医院和专科医院治疗 .对于各等级医院的床位需求 =某种病的患病人数同一等级医院的数量 /可治疗这种病的医院总个数 ；高血压床位需求：综合医院所要求的床位 :w 1y 1F 1/F 1F 22F 3, 专科医院所需床位 : w 2y 1F2/F 1F 2F 3, 街道 镇医院的床位需求w 3y 1F 3/F 1FF