2022年高等代数试卷及答案-- .docx

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1、精品_精品资料_一、填空题共 10 题,每题 2 分,共 20 分1. 只于自身合同的矩阵是矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 二次型fx1, x2x1 x237116x1的矩阵为.x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设 A 是实对称矩阵,就当实数t, tEA 是正定矩阵.4. 正交变换在标准正交基下的矩阵为 .5. 标准正交基下的度量矩阵为 .6. 线性变换可对角化的充要条件为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在P2 2 中定义线性变换为：abXX,写出在基cdE11, E12 , E21, E22 下的可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 设V1 、V2 都 是 线 性 空 间 V 的 子 空 间 , 且 V1V2 , 假 设dim V1dim V2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ .9表达维数公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10向量在基 1 ,2 ,n 1与基1 ,2,n 2下的坐标分别为 x 、 y ,且从基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1到基 2的过渡矩阵为A,就 x 与 y 的关系为.二、判定题 共 10 题,每题 1 分,共 10 分1. 线性变换在不同基下的矩阵是合

3、同的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设为 n 维线性空间 V 上的线性变换,就V1 0V .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 V1与 V2 分别是齐次线性方程组x1x2xn0 与 x1x2xn 的解空间,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12VVPn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn5. nx22x为正定二次型. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii

4、i 1i 16. 数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵.7. 把复数域 C 看作复数域上的线性空间,C ,令,就是线性变换.8. 假设是正交变换,那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间. 9. 欧氏空间中不同基的度量矩阵是相像的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 假设为 P x n n1 中的微分变换,就不行对角化. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、运算题共 3 题,每题 10 分,共 30 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1221设线性变换在基1,2, 3 下的矩阵为 A212,求的特点值与特点向量,并221判定是否可对角化？2

5、. t 取什么值时,以下二次型是正定的？fx , x , xx2x25x22tx x2x x4x x1231231 21 323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设三维线性空间 V 上的线性变换在基1,2 , 3 下的矩阵为：a11Aa21a31a12 a22 a32a13a23,求a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在基 1, k 2kP,且k0 , 3 下的矩阵 B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、证明题共 4 题,每题 10 分,共 40 分1. 证明：可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_1i 12i 2A与 B相像,其中i1, i2,i n 是 1,2, n 的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nin个排列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 证明：和si 1Vi 是直和的充要条件为：ViVj i 1j 10i2,3, s .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设 A 是 n 级实对称矩阵,且A2A ,证明：存在正交矩阵T ,使得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11T 1AT100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_124. 证

7、明： Ai1B与i 2合同,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nin其中 i1, i2 , in 是1,2, n 的一个排列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_39一 1零2963. 充分大4.正交矩阵5.E n 个线性无关的特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0b00a0bc0d00c0d7.8.V1V29.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dim V1V210.Xdim V1AYdim V2dim V1V2二 1.2.3.4.

8、5.126.27.8.9.10.三 1. 解： fA所 以 ,EA X2 x12 x12 x1因此, 因而属于1的全分,再用 22EA212513 分221的 特 征 值 为 11 二 重 和25 . 把 11 代 入 方 程 组0 得：2 x22 x20102 x22 x20基础解系为 n10n212 x22 x2011属于 1得两个线性无关得特点向量为：112 , 223部特点向量就是k1 1k2 2 ,k1 、k2 取遍 P 中不全为零的全部数对615 代入EA X0 得：基础解系 n31 ,因此,属于 5 的全部特点向量是 k 3 , k 是 P 中任意不等于零的数.由于有三个线性无关

9、的特点向量,所1t12. 解： f 的矩阵为： At121251t210 ,1t0 ,t1以A19 分可能对角化.10 分5t24t0 .得：4t05可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当4t50时, f 是正定的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解：a1 aka 2.5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k111 121231 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2ka12 1a22k 2ka32 32.5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 aka2.5 分可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_313 123233 3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11ka12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在基下的矩阵为 B1a21a22k1a23k2.5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a31ka32a33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四 1. 证 ： 任 意 n 维 向 量 空 间 V ,V 的 基 1 ,2 ,n , 就唯 一L V使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

11、资料_12n1212n3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即iiii1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1i1i1i 2i 2i 2ininin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在基 i1 ,i 2 ,in 下的矩阵为 B 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 与 B 相像 1 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证：sVj 是直和i 1ViVi0ji3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1ViV jViV j j 1j ii 1V

12、iV j0j12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令1s 1s0s1s 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s 1sVsVj j 1 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s0 ,同理s 1210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sVi 是直和.2 分i 13. 证：设是 A 的任一特点值0,使 AA2A2A2A,2200201或0A实对称矩阵1正交矩阵 T ,使 TAT11004. 证： A 、 B 对应的二次型分别为f x , xx2x2x21n1 122nng y , yy2y2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ni1 1i 22inin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1xi1y2xi 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,gy1 , yni 1xi1in xinfx1, xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ynxin所以, A 与 B 合同.可编辑资料 - - - 欢迎下载