函数的极限高等数学.ppt

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1、关于函数的极限高等数学关于函数的极限高等数学现在学习的是第1页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第2页，共40页问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言

2、刻划函数“无限接近无限接近”.现在学习的是第3页，共40页定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或:. 1 定定义义定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim现在学习的是第4页，共40页:.10情形情

3、形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2.另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且现在学习的是第5页，共40页xxysin 3.几何解释几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA现在学习的是第6页，共40页xxysin 例例1. 0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 X1 ,

4、 , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 现在学习的是第7页，共40页二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程度程度接近接近体现体

5、现xx 现在学习的是第8页，共40页定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或:. 1 定义定义定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当现在学习的是第9页，共40页2.几何解释几何解释:)(xfy AAA

6、0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 现在学习的是第10页，共40页例例2).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证

7、证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 现在学习的是第11页，共40页例例4. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx现在学习的是第12页，共40页例例5.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00

8、 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明现在学习的是第13页，共40页3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy现在学习的是第14页，共40页左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当00

9、0:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作现在学习的是第15页，共40页.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x现在学习的是第16页，共40页三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性定定理理 若若在在某某个个过过程

10、程下下, ,)(xf有有极极限限, ,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻, ,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.现在学习的是第17页，共40页推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设现在学习的是第18页，共40页).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(

11、lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论现在学习的是第19页，共40页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即则称数列则称数列时时使得使得有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(limA

12、xfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理现在学习的是第20页，共40页证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又现在学习的是第21页，共40页例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要

13、条件是它的任何子列的极限都存在函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在, ,且相等且相等. .现在学习的是第22页，共40页xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且现在学习的是第23页，共40页 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 现在学习的是第24页，共40页四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一

14、定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)现在学习的是第25页，共40页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(现在学习的是第26页，共40页思考题思考题试试问问函函数数 0,50,10

15、0,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？现在学习的是第27页，共40页思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.现在学习的是第28页，共40页.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必必

16、有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题现在学习的是第29页，共40页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存在存在时的极限是否时的极限是否在在四、讨论：函数四、讨论：函数 xxxx 现在学习的是第30页，共40页一、一、1 1、0.00020.0002； 2 2、397. .四、不存在四、不存在. .练习题答案练习题

17、答案现在学习的是第31页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第32页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第33页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第34页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第35页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第36页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第37页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第38页，共40页.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限现在学习的是第39页，共40页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第40页，共40页