函数奇偶性与周期性.ppt

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1、关于函数奇偶性与周期性现在学习的是第1页，共11页1奇偶性的定义 设函数yf(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有xD，且f(x) f(x)(或f(x)-f(x)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)2关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数(3)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为0，但逆命题不成立若f(x)为偶函数，则恒有f(x

2、)f(|x|)现在学习的是第2页，共11页(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)现在学习的是第3页，共11页例 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)(x1)1x1x； (2) f(x) x2xx0； (3) f(x) 3x2 x23； (4) f(x)1ax112 (a0 且 a1) 现在学习的是第4页，共11页 点评 如何判断函数奇偶性如何判断函数奇偶性? 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对第一，求函数定义

3、域，看函数的定义域是否关于原点对 称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数 第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的， 则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保 持定义域不改变；持定义域不改变； 第三，利用定义进行等价变形判断第三，利用定义进行等价变形判断 第四，分段函数利用图象判断较为方便第四，分段函数利用图象判断较为方便现在学习的是第5页，共11页g(2)g(0)f(1) 现在学习的是第6页，共11页 例3设奇函数f(x)的定义域为5，5若当x0,5时，

4、f(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解是_ 变式： 设f(x)，g(x)都是R上的奇函数，若F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+)上的最大值为5，求F(x)在(-,0)的最小值.点评 奇函数在对称区间的单调性相同， 偶函数在对称区间的单调性相反；现在学习的是第7页，共11页3.函数的周期性 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(xT) = f(x) ,那么函数f(x)叫做周期函数T叫做这个函数的一个周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期例4设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实

5、数x，恒有f(x2)f(x). 求证：f(x)是周期函数；现在学习的是第8页，共11页例5已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，并且当x(0,1时，f(x)x21，则f(462)的值为 A2B0C1D1 解析：解析：f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)， f(x)图象关于直线图象关于直线x1对称，对称， f(2x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)， f(4x)f(2(2x)f(2x)f(x)， f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数， f(462)f(11542)f(2)， f(2x)f(x)成立，成立，f(2)f(0)， 又又f(x)是是R上奇函数，上奇

6、函数， f(0)0，f(462)0.故选故选B.现在学习的是第9页，共11页例 6满足下列条件，判断 f(x)的周期性(1)f(x2)f(x2)(2)f(x)f(x2)(3)f(1x)+f(1x)=0 且 f(2x)+f(2x)=0(4)f(1x)+f(1x)=0 且 f(x)f(3-x)1(5) ( )(2)f xf x 点评第一，若一个函数两条对称轴、或两个对称中心、或一条 对称轴和一个中心，则这个函数一定是一个周期函数， 那么它的中心和对称轴也会有无限多；第二，处理这类问题时，可以借助三角函数进行类比。现在学习的是第10页，共11页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第11页，共11页