二重积分的变量变换公式课件.ppt

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1、关于二重积分的变量变换公式现在学习的是第1页，共14页oyxDovuD证证 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆. 用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直线分割区域直线分割区域 ,D任取其中一个小矩任取其中一个小矩T形形, 其顶点为其顶点为),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv 通过变换通过变换T, 在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形, 其对应顶点为其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)()

2、,(ohvuux现在学习的是第2页，共14页14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy当当h, k 充分小时充分小时, 曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形, 故其面积近似为故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(现在学习的是第3页，共14页vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyv

3、uxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsin cosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(现在学习的是第4页，共14页例例1 计算计算其中其中D 是是 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围区域所围区域. 解解则则令令 Dyxyxyxdde, yxu , yxv ),(21vux ),(21uvy ),(vuJxyO11vuO111 21212121 ,21 现在学习的是第5页，共14页 Dyxyxyxdde Dvuvudd21e vvvuuv

4、ded2110 10d| )e(21vvvvvu 101d)e-e (21vv4e-e1 现在学习的是第6页，共14页例例2 求抛物线求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线和直线所围区域所围区域 D 的面积的面积. xyxy ,)0,0( nm解解令令,2xyu xyv vuO mn xyOxy xy nxy 2mxy 2DD 现在学习的是第7页，共14页当积分区域是圆域或圆域的一部分当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数或者被积函数含有含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算积分的计算. 此时此时, sin,cosr

5、yrx ),(),( ryxJ cos sinr sin cosrr Dyxyxfdd),( Drrrrf dd)sin,cos(二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分现在学习的是第8页，共14页 )(1 rr D)(2 rr Ox )()(21d)sin,cos( rrrrrrf,),()(:21 rrrD则则 Drrrrf dd)sin,cos( d (ii) 若原点在若原点在 D 内，则内，则OxD)( rr )(0d)sin,cos( rrrrrf Drrrrf dd)sin,cos( 20d (i) 若原点在若原点在 D 外，外，现在学习的是第9页，共14页 (iii) 若

6、原点在若原点在 D 的边界上，的边界上， )(0d)sin,cos( rrrrrf Drrrrf dd)sin,cos( dOxD)( rr (iv) 若区域若区域 D 可表示为可表示为,),()(:2121rrrrrD DOx )()(21d)sin,cos(rrrrf Drrrrf dd)sin,cos( 11drrrr则则)(1r )(2r 2r2rr 1r1rr 现在学习的是第10页，共14页例例4 求球体求球体 2222Rzyx 被圆柱面被圆柱面xRyx 22所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解由对称性可知由对称性可知 DyxRV d4222 20

7、d4 cos022dRrrrR d)sin1(342033 R)322(343 RoxyzRyxD DrrrR dd422 cosRr 现在学习的是第11页，共14页例例5 计算计算 ,dde)(22 DyxyxI其中其中.:222RyxD 解解 DreI2rerRrd02 Rre02212 )1(2Re 2xe 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角故本题无法用直角 ddrr 20d由于由于坐标计算坐标计算.作极坐标系变换，有作极坐标系变换，有Rr 现在学习的是第12页，共14页例例6 试计算椭球体试计算椭球体1222222czbyax解解 yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积的体积V.现在学习的是第13页，共14页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第14页，共14页