二项式展开式系数的性质课件.ppt

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1、关于二项式展开式系数的性质现在学习的是第1页，共16页：性性质质1等等。的的两两项项的的二二项项式式系系数数相相末末两两端端“等等距距离离”的的二二项项展展开开式式中中，与与首首nba)( ：性性质质 2n2二二项项式式系系数数的的和和等等于于的的二二项项展展开开式式中中，所所有有nba)( nn1n0nCCC21ba n则则分分析析：令令,：性性质质 3和和偶偶数数项项的的二二项项式式系系数数的的于于项项的的二二项项式式系系数数的的和和等等的的二二项项展展开开式式中中，奇奇数数nba)( nnn3n2n1n0nC1CCCC01b1a)(, 则则令令 1231n2rn2n0nCCCCrnnCC

2、12 n现在学习的是第2页，共16页4.()1nxyn展开式共有项。二项式系数：小大小212nnnnC当为偶数时，中间项为第项，二项式系数最大；112212112nnnnnnnCC当为奇数时，中间两项系数最大，它们是第项和第项，。：性性质质4kkknnnCkn )!()()(111 kknCkn11 时时，二二项项式式系系数数增增大大即即当当21nk11 ,kkn时时，二二项项式式系系数数减减小小即即当当21nk11 ,kkn现在学习的是第3页，共16页10311.2xx求的展开式中，系数绝对值最大的项和系数最大的项。556110( 1)2kkkkkTCx解：1k 设展开式中系数绝对值最大的项

3、是第项，则1(1)10101(1)10102222kkkkkkkkCCCC1110!110!1!(10)! 2(1)!(9)! 210!110!1!(10)! 2(1)!(11)! 2kkkkkkkkkkkk现在学习的是第4页，共16页11811102311332kkkkkk553322410215TCxx 系数绝对值最大。k当为偶数时，系数才可能最大：002244668810101010101010102 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2CCCCCC451051054511,48322561024即。5310558x第项系数最大，即。现在学习的是第5页，共16页772.(1)(12 )(2)(1

4、2 )xx求展开式中系数最大的项。求展开式中系数最大的项。1177117722(1)22kkkkkkkkCCCC解：1316533kk55567(2 )672TCxx57(2)TT中间或偏系数最大项必在，只需比较和右。447667( 2)51,( 2)4CC44457( 2 )560TCxx现在学习的是第6页，共16页501313.222i的展开式中，按降幂排列后，偶数项之和等于多少？502 5010013221313()2222iii 解：记，则50250494801250505013113132222222iCCiCi又32i其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为。现在学习的是

5、第7页，共16页14.111121!(1)!3!(3)!5!(5)!(1)!1!nnnnnnn设为偶数，求证：!()!mnnCm nm证明：，135112nnnnnnCCCC原等式由二项式系数的性质，这是成立的。现在学习的是第8页，共16页112211(1) 4444 ( 1)( 1)3nnnnnnnnnnnnCCCC 3(4 1)nn证明：112221144( 1)4( 1)4 ( 1)( 1)nnnnnnnnnnnCCCC 1122114444 ( 1)( 1)nnnnnnnnnnnCCCC 组合恒等式的证明组合恒等式的证明1. 1. 赋值法赋值法现在学习的是第9页，共16页2461357

6、(2)1( 2) cos4( 2) sin4nnnnnnnnnnCCCnCCCC2 cossin( 2) cos( 2) sin4444nnnnnii证明：222 cossin2(1)4422nnniii又12345671nnnnnnnC iCC iCC iCC i 2461357(1)()nnnnnnnCCCi CCCC、两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。现在学习的是第10页，共16页2. 2. 倒序相加法倒序相加法1231232nnnnnnCCCnCn求证：12323nnnnnsCCCnC证明：记，123123(1)nnnnnsCCCnCn则1221(1)(2)2nnnnnnsnC

7、nCCCn12122nnnnsnCnCnCn两式相加，得011()2nnnnnnnn CCCCn12nsn 1122,nnnnnnCCCC注意到现在学习的是第11页，共16页3. 3. 通项归一法通项归一法1231(1)232nnnnnnCCCnCn求证：11,kknnkCnC证明：1111nnkknnkkkCnC左边111nknknC110nknknC12nn 右边现在学习的是第12页，共16页01211111(2)(21)2311nnnnnnCCCCnn11(1)(1),kknnkCnC证明：111111kknnCCkn123111111()1nnnnnCCCCn左边11(21)1nn右边

8、现在学习的是第13页，共16页4. 4. 比较系数法比较系数法0112112.nnnnnnnnnnC CC CCCC求证：2220(1)nnkknkxC x证明：01220111(1) (1)()()nnnnnnnnnnnnnnnnxxCC xC xC xC xC xCxC2(1)(1) (1)nnnxxx，它们的展开式中各项系数对应相等。11021112nnnnnnnnnnnxC CC CC CC考察的系数，得现在学习的是第14页，共16页5. 5. 组合定义法组合定义法021 22222()()()().nnnnnnnCCCCC求证：22nnnnC证明：从个不同元素中选取个元素的取法数是。2n又我们也可将个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法也可按以下分类进行：011220011220nnnnnnnnnnnnnC CnC CnC CnC C甲组乙组取法数个个个个个个个个现在学习的是第15页，共16页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第16页，共16页