二维随机变量及其分布函数课件.ppt

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1、关于二维随机变量及其分布函数现在学习的是第1页，共37页图示图示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,二维随机变量二维随机变量叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 一、一、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义现在学习的是第2页，共37页实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机就是一个二维随机变量变量. . 二维随机变量二维

2、随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与 X 、Y 有关有关, ,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. .实例实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况, , 则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 ( H, W ).说明说明 现在学习的是第3页，共37页2. 2. 分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数和和量量或称为随机变或称为随机变的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数

3、对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX 现在学习的是第4页，共37页xOy),(yx yYxX ,. ),(内的概率内的概率在如图所示区域在如图所示区域的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxF现在学习的是第5页，共37页3. 分布分布函数函数的性质的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的,1),(02o yxF, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(li

4、m),( yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy现在学习的是第6页，共37页. 1),(lim),( yxFFyx.,),(, )0,(),(, ), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF , 0),(lim),( yxFFyx,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有现在学习的是第7页，共37页证明证明,2121yYyxXxP , 0 ,212yYyxXP ,22yYxXP .

5、0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,211yYyxXP ,12yYxXP ,21yYxXP ,11yYxXP 现在学习的是第8页，共37页二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数4.4.二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数现在学习的是第9页，共37页 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对所取的可能值是有限对或无限可列多对或无限可列多对, ,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量

6、为二维离散型随机变量. .1. 1. 定义定义 2. 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的联合分布律的联合分布律和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型随机称此为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布现在学习的是第10页，共37页二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为. 1, 011 ijij

7、ijpp其其中中(,)ijijP Xx YypXYjyyy21ixxx21111212122212jjiiijppppppppp现在学习的是第11页，共37页.),(. 1 , 4, 3, 2, 1 的的分分布布律律试试求求整整数数值值中中等等可可能能地地取取一一在在另另一一个个随随机机变变量量取取值值四四个个整整数数中中等等可可能能地地在在设设随随机机变变量量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX , 4, 3, 2, 1 i.的的正正整整数数取取不不大大于于 ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4, 3, 2, 1 i. ij 的的分

8、分布布律律为为于于是是),(YX例例1现在学习的是第12页，共37页XY12341234418112116108112116100121161000161现在学习的是第13页，共37页 ( X, Y ) 所取的可能值是所取的可能值是),0,0(解解),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(0, 0 YXP,28328230203 抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔, ,一支红笔一支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠支绿色圆珠笔的盒子里笔的盒子里, , 随机抽取两支随机抽取两支, , 若若 X、Y 分别表示分别

9、表示抽出的蓝笔数和红笔数抽出的蓝笔数和红笔数, ,求求 ( X, Y ) 的分布律的分布律. .1, 0 YXP,14328131203 现在学习的是第14页，共37页2, 0 YXP0, 1 YXP0, 2 YXP1, 1 YXP,14328031213 ,28128032203 ,28928130213 .28328030223 现在学习的是第15页，共37页故所求分布律为故所求分布律为XY210283289283143143028100012现在学习的是第16页，共37页例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球, ,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2, 从中任从中任取一个取一个,

10、, 不放回袋中不放回袋中, ,再任取一个再任取一个, ,设每次取球时设每次取球时, ,各球被各球被取到的可能性相等取到的可能性相等, ,以以 X , Y 分别记第一次和第二次取到分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字的球上标有的数字, ,求求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数的分布律与分布函数. .( X, Y ) 的可能取为的可能取为),2, 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2, 2(现在学习的是第17页，共37页故故 ( X , Y ) 的分布为的分布为XY21213103131,31, 02221

11、1211 pppp下面求分布函数下面求分布函数. .现在学习的是第18页，共37页2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21, 21) 2(时时当当 yx,2,21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 现在学习的是第19页，共37页,21,2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2,2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(现在学习的是第20页

12、，共37页所以所以( X ,Y ) 的分布为的分布为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或现在学习的是第21页，共37页, ),( xxyyijijpyxF说明说明离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxxji 现在学习的是第22页，共37页.,),(),(,),(,dd),(),(,),(, ),(),( 的联合概率密度的联合概率密度和和变量变量或称为随机或称为随机的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变

13、量函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称有有使对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1. 1. 定义定义 三、二维连续型随机变量及其分布三、二维连续型随机变量及其分布现在学习的是第23页，共37页. 1),(dd),()2( Fyxyxf.dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf2. 性质性质(3),(,)GxOyX YG设设是是平平面面上上的的一一个个区区域域 点点落落在在内内的的概概率率为为. ),(),(,),(),

14、()4(2yxfyxyxFyxyxf 则则有有连连续续在在若若现在学习的是第24页，共37页表示介于表示介于 f (x, y)和和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等平面之间的空间区域的全部体积等于于1.1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf 3. 说明说明.),(, ),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz 现在学习的是第25页，共37页.)();,()(.,e),(),()(XYPyxFyxyxfYXyx求求概概率率求求分分布布函

15、函数数其其他他具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量2100022例例1现在学习的是第26页，共37页解解 yxvuvufyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其其他他yxvuyxvu ., 0. 0, 0),e1)(e1(),(2其其他他得得yxyxFyx现在学习的是第27页，共37页,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标, ,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31 现在学习的是第28页，共37页二维均匀分布和二维正态分

16、布现在学习的是第29页，共37页1. 二维均匀分布二维均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其面积为其面积为 S, ,若二维随若二维随机变量机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从均匀上服从均匀分布分布. . ., 0,),(,1),(其其他他DyxSyxf现在学习的是第30页，共37页例例1 1 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布, ,试求试求( X , Y )的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数, ,其中其中D 为为 x 轴轴, ,y 轴及直线轴及直

17、线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 . .解解 ., 0,),(, 2),(其他其他得得Dyxyxf,01时时或或当当 yx0),( yxf; 0dd),(),( vuvufyxFxy ., 0,),(,1),(其其他他由由DyxSyxfxyO1 xy1 1现在学习的是第31页，共37页vuvufyxFxydd),(),( yxyuyvuvu011011d2dd2d;)22(yyx ,10,01时时当当 xyx1 xy1 11 yxxyO现在学习的是第32页，共37页,1,01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),( ;)1(d2d2101 xvuuxxyO1

18、 xy1 1x现在学习的是第33页，共37页,10,0时时当当 yxvuvufyxFxydd),(),( yyuyvuvu0011011d2dd2dxyO1 xy1 11 y;)2(yy 注：先对u积分，再对v积分更容易。现在学习的是第34页，共37页,1,1时时当当 yxvuvufyxFyxdd),(),( . 1d2d0110 uvu . 1, 1, 1, 10, 0,)2(, 1, 01,) 1(, 10, 01,)22(, 0, 1,0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或或所以所以 ( X , Y ) 的分布函数为的分布函数为现在学习的是第35页，共37页2. 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度 2222212121212)()(2)()1(21221e121),(yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且均均为为常常数数其其中中),( yx记记为为正正态态分分布布的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX),(),(222121NYX现在学习的是第36页，共37页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第37页，共37页