函数逼近与曲线拟合.ppt

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1、关于函数逼近与曲线拟合现在学习的是第1页，共44页连续函数最佳逼近的一般提法连续函数最佳逼近的一般提法0101( ) , ,( ),( ),.,( ) , ( ),( ),.,( )nnf xXC a bxxxa bHspanxxx 设设在在上上线线性性无无关关，( )f x是是逼逼近近的的函函数数类类，求求0( )( )njjjsxcxH ( ), ( )minf xs x 使使得得（即即逼逼近近误误差差最最小小）( ) , ( ) , ( ( ), ( )minyf xC a bs xHC a bf x s x 已已知知函函数数称称为为被被逼逼近近函函数数构构造造函函数数称称为为逼逼近近函

2、函数数称称为为逼逼近近条条件件引 言现在学习的是第2页，共44页 ,sin ,( ),( )i1.2.s nHspan xxxHxaxbx 要要解解决决的的两两个个问问题题：确确定定函函数数类类：逼逼近近条条件件的的度度量量标标准准：由由某某一一组组确确定定的的基基张张成成的的函函数数空空间间。要要求求整整体体均均匀匀逼逼近近（最最佳佳逼逼近近例例：思思想想）。1000( )210000( )( )()()()()()()().()()2!nnnnnTaylorf xP xO hf xfxxxfxfxxxxxO hn 展展开开现在学习的是第3页，共44页1.( ( ), ( )max|( )(

3、 )| |( )( )|a x bf x s xf xs xf xs x 按按逼逼近近误误差差的的度度量量有有两两种种逼逼近近问问题题（即即两两种种最最佳佳逼逼近近）赋赋范范线线性性空空间间中中的的最最佳佳一一致致逼逼近近（契契比比雪雪夫夫意意义义下下的的逼逼近近）22.( ), ( ) |( )( )|f xs xf xs x 内内积积空空间间的的最最佳佳平平方方逼逼近近现在学习的是第4页，共44页 1222( ),( )( )( )baff xf xxf xdx 及及内内积积范范数数 , ( )(, )( ) ( ) ( )baC a bxf gx f x g x dx 在在中中，定定义义

4、带带权权内内积积 , C a b 构构成成内内积积空空间间。0101 , 1( ),( ),.,( ) , ( ),( ),.,( ) , nnC a bnxxxC a bHspanxxxC a b 在在内内积积空空间间中中，取取个个线线性性无无关关函函数数张张成成的的子子空空间间第一节第一节 连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近现在学习的是第5页，共44页连续函数最佳平方问题的一般提法连续函数最佳平方问题的一般提法 , ( ) , ,( ),C a bf xC a bf xH 在在内内积积空空间间中中，设设但但0( )( )njjjHs xcxH 在在中中寻寻找找一一个个函函数数22

5、22()( )( )min( )( )xHf xs xf xx 使使得得( ),( ) , xf xa b若若s s存存在在 则则称称其其为为在在上上的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数。221.( );2.( );3.|( )( )|Hs xs xf xs x 中中的的存存在在唯唯一一性性构构造造的的具具体体方方法法需需要要解解决决几几个个：误误重重要要问问题题差差。现在学习的是第6页，共44页 20202sin02sin0axbxxdxaxbx dx 即即 220,sina baxbx dx 例例：选选取取常常数数使使达达到到最最小小 220( , )sin,( , )0,0I a bax

6、bx dxa bI a bIIab 设设确确定定使使达达到到最最小小，必必须须满满足足解解：现在学习的是第7页，共44页2222000222000sinsinax dxbx dxxxdxax dxbdxxdx 32212481820.6644389,0.1147707ababab 解解得得现在学习的是第8页，共44页01 , ( ),( ),.,( )( )( )( )( )( )( )( ),( )0,(0,1,., )njjXC a bHspanxxxXs xHf xXf xs xxf xs xxjn 设设内内积积空空间间中中的的子子空空间间，函函数数是是对对的的最最佳佳平平方方逼逼近近函

7、函数数的的充充分分必必要要条条件件是是与与所所有有的的( (j j= =0 0, ,1 1, ,. . . ., ,n n) )正正交交，即即满满足足( (定定理理1 1一、一、HH中最佳平方逼近函数的存在性中最佳平方逼近函数的存在性现在学习的是第9页，共44页H( )( )f xs x ( )f x( )s x几何解释：几何解释：现在学习的是第10页，共44页220120(,.,)( )( )( )( )( )nbnjjajg c ccf xs xxf xcxdx 记记01,.,)nccc由由多多元元函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件，g g的的极极小小点点( (应应满满足足方方程程组

8、组02( )( )( )( )2( )( ),( )00,1,2,.,bnjjkjkakgxf xcxx dxcf xs xxkn 2201( ),( )( )min(,.,)ns xHf xs xg ccc 求求解解使使求求多多元元函函数数的的极极小小值值。证证：必必要要性性：现在学习的是第11页，共44页方程组（方程组（1）、（）、（2）称为）称为法方程法方程。0(,)(,), (0,1,., )(2)njjkkjcfkn 或或01( ),.,( ( )( ),( )0,0,1,2,.,(1)nkxc ccf xs xxkn 故故s s的的系系数数是是如如下下方方程程组组的的解解010(

9、)( ),.,2( )( ),( )0,0,1,.,njjnjkxcxc ccf xxxkn 设设s s，其其中中是是( ( ）的的解解，即即 ( (- -s s充充分分性性：现在学习的是第12页，共44页0( )( )( )( ( )( ), ( )0njjjxHxxf xs xx 对对于于任任意意，, ,必必有有2222222( )( )( )( )( )( )( )( )2( ( )( ), ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f xxf xs xs xxf xs xf xs x s xxs xxf xs xs xxf xs x 因因为为( )H( )s xf x

10、所所以以，是是中中对对的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数。( ) ( )( )( )( )xHf xs xf xx 要要证证对对于于任任意意有有现在学习的是第13页，共44页二、构造二、构造s(x)的具体方法的具体方法000010100010111110011( )( ),( )( )( ),( )0, (0,1,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)knjjkinnnnnnnnnnf xs xxf xcxxkncccfcccfcccf 由由得得0( )( )( )njjiHf xXs xcx 设设在在 中中，对对的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数为为现

11、在学习的是第14页，共44页0010001111(1) (1)011010101(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)( ,),( ,),( ,)( )( )( )(,)nnnnnnnnTnnnnGRFfffRGxxxGramG 其其中中矩矩阵阵 称称为为关关于于， ，的的（克克莱莱姆姆）矩矩阵阵，也也常常记记为为01( )( )( )nxxxGram 由由， ，是是线线性性无无关关的的，容容易易证证明明矩矩阵阵是是非非奇奇异异的的。101(,)TnnCc ccRGCFGCF 若若记记向向量量用用矩矩阵阵形形式式表表示示为为称称为为法法方方程程现在学习的是第15页，共44

12、页( )( )2( )( )xHGxxx j j0 01 1n n设设( (j j= =0 0, ,1 1, ,. . . ., ,n n) )是是内内积积空空间间中中的的元元素素，则则其其G Gr ra am m矩矩阵阵非非奇奇异异的的充充分分必必要要条条件件是是, , ,. . . ., ,线线定定理理性性无无关关。( )( )( )xxxG 0 01 1n n, , ,. . . ., ,线线性性证证：充充分分无无关关性性：非非奇奇异异。( )( )jGGCxx ck n nj jk kj j= =0 0反反证证：设设 奇奇异异，则则= =0 0有有非非零零解解, ,即即： （，） =

13、=0 0, , = =0 0, ,1 1, ,. . . ., ,n n有有非非零零解解。( )( )jcxx n nj jk kj j= =0 0，) )= =0 0, ,k k= =0 0, ,1 1, ,. . . ., ,n n有有非非零零解解。现在学习的是第16页，共44页01(,.,)0,0TTnGxxxxx Gx 思思考考证证明明 是是对对称称正正定定的的。即即：对对有有题题：。 解法方程解法方程 GC=F 求出求出 C 以后，就可得到最佳平以后，就可得到最佳平方逼近函数方逼近函数( )( )js xcx n nj jj j= =0 0( )( )( )xxx 0 01 1n n

14、所所以以, , ,. . . ., , ,线线性性相相关关, ,矛矛盾盾。反反之之亦亦然然。( )( )( )( )jjkcxxcxcx n nj jk kj j= =0 0n nn nj jk kj j= =0 0k k= =0 0由由，) )= =0 0, , k k= =0 0, ,1 1, ,. . . ., ,n n得得，) )= =0 0现在学习的是第17页，共44页法法方方程程的的解解是是存存在在且且定定理理3 3唯唯一一的的。证：证： 法方程组的系数矩阵为法方程组的系数矩阵为001000111101(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnnG 01

15、( ),( ),.,( ) , 0,nxxxa bGGCF 因因为为在在上上线线性性无无关关，所所以以故故法法方方程程的的解解存存在在且且唯唯一一。现在学习的是第18页，共44页 2 22 2称称为为最最佳佳平平方方逼逼近近误误差差，简简称称平平方方误误差差。222(,)(,)( ,)fsfs fsffs f ( )( )f xs x 记记max( )( )a x bf xs x 最最大大误误差差为为00(,)(,)(,)(,)njjjnjjjffcfffcf 三、逼近误差三、逼近误差现在学习的是第19页，共44页选取选取H为多项式空间为多项式空间21, ,.,( ),0,1,.,njjHsp

16、anx xxxxjn 即即取取11( )12( )( )1,1,., ,0,1,.,bj kj kj kjkaxbaxxxdxjkjk kn kn 取取权权，则则法法方方程程（ ）中中的的元元素素由由下下式式定定义义（，(,)( ),0,1,.,bkkaff x x dxkn 0101,.,( )( )( ).nnncccf xxs xcc xc x 求求解解法法方方程程组组G GC C= =F F，设设所所得得解解为为，则则得得的的最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式s s：四、用多项式空间作为逼近函数类四、用多项式空间作为逼近函数类现在学习的是第20页，共44页2( )101,1, f x

17、xxHspanxH 给给定定，取取逼逼近近空空间间，在在 中中求求其其最最佳佳平平例例：方方逼逼近近函函数数。H1,()1spanxx 取取解解：11111200101100011220100)111)1,),)23)11.147,)10.609bj kj kj kjkabaxdxjkdxxdxx dxfx dxfx xdx 由由（ ，得得（ ，（ ，（ ，（ ，（ ，0111/ 21.1471/ 21/ 30.609cc 法法方方程程为为现在学习的是第21页，共44页2200111200110(,)( ,)(,)(,)(1)(,)(,)20.934 1.1470.426 0.9060.002

18、63ffs fffccfxdxcfcf 平平方方误误差差为为201max1( )0.066xxs x 最最大大误误差差为为010.934,0.426( )0.9360.426ccs xx 解解得得，所所求求最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数为为现在学习的是第22页，共44页 ,111211112321111221nx xxnHnnnn 2 2在在0,10,1上上由由 1, ,1, ,构构造造最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式时时，法法方方程程的的系系数数矩矩阵阵是是HilbertHilbert矩矩阵阵，形形如如HilbertHilbert矩矩阵阵是是一一种种典典型型的的病病态态矩矩阵阵，随随着

19、着n n越越大大，病病态态越越严严重重。因因此此法法方方程程是是病病态态方方程程组组，数数值值计计算算结结果果是是不不稳稳定定的的。因因此此要要改改用用正正交交多多项项式式构构造造最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。现在学习的是第23页，共44页01( )(0,1,., ) , ( ),( ),( ),.,( )jnxjna bxHHspanxxx 设设是是区区间间上上带带权权的的正正交交多多项项式式组组 取取为为000011112(,)( ,)(,)( ,).(,)( ,)nnnncfcfcf 则则法法方方程程（ ）为为五、基于正交多项式的逼近函数类五、基于正交多项式的逼近函数类现在学习的

20、是第24页，共44页(,),0,1,.,(,)jjjjfcjn 解解方方程程组组，得得00(,)( )( )( )(,)nnjjjjjjjjfs xcxx 因因此此得得最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式220020(,)( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)jnjjjnjjjnjjjffs fffcfffcfffc 平平方方误误差差为为现在学习的是第25页，共44页 2001001111011, ,1( )( ),( ),( ),( )1( )()( )( )(0,1,2,)( ) ,( ) )(0,1,2)( ) ,( ) )( ) ,( ) )0,( ) ,knnnnnnkkkkk

21、kkkkkkkkkxx xxxxxxxxxaxxkxxxakxxxxx 由由线线性性无无关关序序列列可可构构成成首首 的的正正交交多多项项式式其其中中12(0,1,2)( ) )( ) ,( ) )( )( )bkkkakxxxxx xx dx 公公式式中中的的内内积积。现在学习的是第26页，共44页工程中常用的五种重要的正交多项式工程中常用的五种重要的正交多项式 22(1)( )11( )1(2)1( ) 11( )1(3)( ) 11( )1(4)( )0( )nnnxnLegendreP xxChebyshevTxxxChebyshevUxxxLaguerreLxxe 勒勒让让德德）多多

22、项项式式，在在， 上上带带权权正正交交多多项项式式；第第一一类类（契契比比雪雪夫夫）多多项项式式，在在，上上带带权权正正交交多多项项式式；第第二二类类（契契比比雪雪夫夫）多多项项式式，在在，上上带带权权正正交交多多项项式式；（拉拉盖盖尔尔）多多项项式式，在在 ，上上带带权权正正2(5)( )(,)( )xnHermiteHxxe 交交多多项项式式；（埃埃尔尔米米特特）多多项项式式，在在上上带带权权正正交交多多项项式式。现在学习的是第27页，共44页2 , 1,1,( )11( )( )(11.) ,(0,1,., )2!jjjjjjLegea bxdxP xxjnjndredx 利利用用多多项

23、项式式，求求最最佳佳平平式式取取方方逼逼近近多多项项11(,)21( )( ), (0,1,., )(,)2jjjjjPfjcf x P x dxjnP P 则则2222002( ,)(,)( ,)21jjnnjjjjf fcP Pf fcj 平平方方误误差差为为00(,)( )( )( )(,)nnjjjjjjjjLegendrePfs xc P xP xP P 因因此此得得最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式现在学习的是第28页，共44页110122334245350,( )( )2,21( )1( )1( )(31)21( )(53 )21( )(35303)81( )(637015 )

24、8mnmnPx P x dxmnnP xP xxP xxP xxxP xxxP xxxx 正正交交关关系系前前几几项项现在学习的是第29页，共44页4( ) 1,1f xx 例例：求求在在区区间间上上的的二二次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。2012( )( ),0,1,2.1( )1,( ),( )(31)2jjxPxjxxxxx 则则有有解解取取：1114542012111113514,0(31)252227cx dxcx dxcxxdx ，4220( ) 1,114 163( )( )(31)57 2735njjjf xxs xcxxx 故故在在上上的的最最佳佳平平方方逼逼近近多

25、多项项式式为为现在学习的是第30页，共44页2220182212( ,)211242 ( )( )0.011609977557jnjf fcjx dx 平平方方误误差差为为现在学习的是第31页，共44页00224401000100122210424 1,0( )0,1( )( ),( )( )( )1( )( )10.525( )( )1.252,1,1,xxf xxxxS xc pxc pxc pf xx xLegendrespanxcxpx dxxpx dxxxcxpx dxxpx dxc 例例 设设用用多多项项式式在在中中求求最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。解解：函函数数最最佳佳平

26、平方方逼逼近近多多项项式式1402429(2( )0.18752( )0.50.625(31)0.02344(35303)xpx dxS xxxx 求求得得最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式为为现在学习的是第32页，共44页01( )( )2njjjChebyshevcs xc T x 最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式为为21 , 1,1, ( )1( )( )cos( arccos ),(0,1,. , )2.jjChebya bxxxT xjxjnshev 利利用用多多项项式式，求求最最佳佳平平式式取取方方逼逼近近多多项项121(,)( )( )2, (0,1,., )(,)1jjj

27、jjTff x T xcdxjnT Tx 则则222200(,)(,)(,)2jjnnjjjjffc T Tffc 平平方方误误差差为为现在学习的是第33页，共44页1mn210,m nT ( )T( )d,m n01,m n02xxxx 正正交交关关系系0122334245356426( )1,( ),( )21,( )43 ,( )881,( )16205 ,( )3248181,T xT xxT xxT xxxT xxxT xxxxT xxxx 前前几几项项现在学习的是第34页，共44页 4012( ), 1,1,( ),( ),( )f xxxMspan T x T x T x 例例：

28、求求在在中中的的最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。2012()1,(),()21TxTxx Txx 解解：1145012211142221232,04112(21)121xxcdxcdxxxxxcdxx ，22311( )(21),11828s xxxx 于于是是所所求求最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式为为4211111max( )( )max0.1258xxf xs xxx 其其最最大大误误差差为为现在学习的是第35页，共44页1( )(2)xs tsxabba 最最后后换换回回原原变变量量( ) , LegndreChebyshevf xa b3 3、利利用用多多项项式式和和多多项

29、项式式，求求函函数数在在任任意意有有限限区区间间上上的的最最佳佳平平方方逼逼近近函函数数。 , 111,(2)22a bbabaxttxabba 作作变变量量代代换换将将区区间间变变为为，( )()( )22( ), 1,1( )( )( )nnbabaf xftF tF ttP tTtS t 对对按按或或求求最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式现在学习的是第36页，共44页arctan0,1yx 例例 求求函函数数在在上上的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。10,1 1,12arctan0,1arctan 1,12xyxxy : :解解法法1 1， 作作变变量量替替换换( (t

30、 t+ +1 1) )，将将变变换换到到，t t+ +1 1函函数数，变变解解为为，t t。01( )1,( ),arctan2 1,1P tP tty t t+ +1 1利利用用多多项项式式，求求在在上上的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。101111( )arctanln2,22( ), )arctan2ln222P tydtP tytdt t t+ +1 1（，t t+ +1 1，现在学习的是第37页，共44页001111( )ln2,24233( ), )(2ln2)22 2cP tycP ty （，001113( )( )( )(ln2)(2ln2)422 2s tc

31、P tc P tt 所所求求的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式为为13( )(ln2)(2ln2)(21)422 20.0429090.791831s xxx 即即：现在学习的是第38页，共44页arctan0,1yx 例例 求求函函数数在在上上的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式。010,1( )1( )2xxx : :解解法法2 2， 直直接接在在上上构构造造正正交交多多项项式式1 1，解解100012110100110( )( )11,11( )( )()2121( )arctanln2,4211( ), )()arctan(2ln2)24 4xxdxxxxdx

32、xyxdxxyxxdx （，（，（，现在学习的是第39页，共44页0011( )( )( )11(ln2)3(2ln2)()4222s xcxcxx所所求求的的一一次次最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式为为0.0429090.791831x 000111( )1ln2( )( )42( )3(2ln2)( )( )2xyxxxyxx 0 01 1（，c c（，（，c c（，现在学习的是第40页，共44页积分变量代换编程示例：积分变量代换编程示例：1.function y=fpt(t) y=(3*t.2-1)/2;2. function y=fbbt(t,a,b) x=(a+b+(b-a)*t

33、)/2; y=x.*cos(x);3. function y=fpbt(t,a,b) y=feval(fpt,t).*feval(fbbt,t,a,b);计算积分：计算积分：yval=quad(fpbt,-1,1,a,b)现在学习的是第41页，共44页 00( )( )( )( )( )jjjjjjnf xf xcxf xxc 令令，得得到到的的一一个个级级数数展展开开式式称称此此式式为为关关于于的的广广义义付付氏氏级级数数。称称为为广广义义付付氏氏系系数数。0( )( )( )njjjf xs xcx 的的最最佳佳平平方方逼逼近近多多项项式式六六、 f(x)f(x)的广义付氏展开的广义付氏展

34、开现在学习的是第42页，共44页,.)2 , 1,(,0cossin,.)2 , 1( , 0sinsin,.),2 , 1( , 0sin,.)2 , 1( , 0coscos,.),2 , 1( , 0cos,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos1sin)(1,cos)(1)()sincos(2)(10 nknxdxkxnknxdxkxnnxdxnknxdxkxnnxdxnxnxxxxxnxdxxfbnxdxxfaxfbanxbnxaaxfnnnnnnn 即即上上正正交交在在区区间间，三三角角函函数数系系的的傅傅里里叶叶系系数数为为、其其中中的的傅傅里里叶叶级级数数函函数数现在学习的是第43页，共44页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第44页，共44页