分部积分法 (2).ppt

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1、关于分部积分法 (2)现在学习的是第1页，共9页分析分析1. 引例引例一、探索公式一、探索公式试求下列不定积分试求下列不定积分(2) ln;xdxarctan xdx, sin(ln )x dx2, ln xdx,sin ,tdt(1);xxde(4)(ln )xdx(3);xe dx;xeC(4)(ln ).xdx(ln )xx dxx xdx.xC问题问题从以上分析中，发现了什么现象或规律？从以上分析中，发现了什么现象或规律？一个积分难以求解，但是，将微分号一个积分难以求解，但是，将微分号“d ”前后前后(3)xe dx两个函数的位置交换之后的另一个积分却易于求解两个函数的位置交换之后的另

2、一个积分却易于求解.(1)(2)暂无法求解；暂无法求解；这种现象在积分问题中还大量存在这种现象在积分问题中还大量存在. 如，如，现在学习的是第2页，共9页2. 寻求积分寻求积分与积分与积分udvvdu之间的关系之间的关系()d uv ddvuuvudvvdu()d uvvduudv()d uvvduudvuv一、探索公式一、探索公式分析分析1. 引例引例试求下列不定积分试求下列不定积分(2) ln;xdx(1);xxde(4)(ln )xdx(3);xe dx;xeC(4)(ln ).xdx(ln )xx dxx xdx.xC问题问题 从以上分析中，发现了什么现象或规律？从以上分析中，发现了什

3、么现象或规律？(3)xe dx(1)(2)暂无法求解；暂无法求解；现在学习的是第3页，共9页二、解读公式二、解读公式1. 公式名称的由来公式名称的由来2. 公式成立的条件公式成立的条件分部积分分部积分vvduvuud 分部积分公式分部积分公式若函数若函数u 和和v 均均 可微可微 ，.vvvduuud3. 公式蕴涵的思想公式蕴涵的思想 integration by parts.则则其中蕴涵了其中蕴涵了“正难则反正难则反”“”“化难为易化难为易”的的 转化思想转化思想 .4. 公式体现的公式体现的“美美”它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型它是一个十分简洁、对称、优美的不定积分模型.现在学

4、习的是第4页，共9页三、使用公式三、使用公式例例1 1（引例（引例（2）求不定积分求不定积分ln.xdx解解ln xdx xln xln(ln )xxxx dx1lnxxxdxxlnxxdxln x ( )dx.xCvvduvuud 分部积分公式分部积分公式lnxx检验检验( ln)xxxC ln xln . x11xx 等于被积函数等于被积函数现在学习的是第5页，共9页例例2 2 求不定积分求不定积分2.tt e dt分析分析vvduvuud 分部积分公式分部积分公式2()ttd t e2()tt t edt2(2)ttttet e dt2( )2tt (2 )2,t 的导数有简化趋势；的导

5、数有简化趋势；2t( )( ),ttteee的导函数无简化趋势的导函数无简化趋势. .te解解22()ttt e dtte dt2tt de2 tt ed2tte2tt e2 ttt ee dt2 t22( )tt etdte22( )tt ette .Cte dt2tte2te导函数趋于简化的导函数趋于简化的函数留作函数留作udvxu现在学习的是第6页，共9页sin ()tt e dtsinsinttete dtsin ttetedtsincos ()ttett e dtsincosttettdesintet sintsinttdecostsintetdt costetcoste dtsin

6、cos tttetetedtvvduvuud 分部积分公式分部积分公式sin.tetdt例例3 3 求不定积分求不定积分sintetdt2sintetdt sincosttetetsintetdt 1(sincos )2tett1C.C解解同同类类函函数数同类函数同类函数11()2CC集合方程集合方程现在学习的是第7页，共9页四、总结公式四、总结公式 3. 当多个函数都可凑进，但又不能同时凑进微分号时，要选择当多个函数都可凑进，但又不能同时凑进微分号时，要选择易于积分的函数凑进微分号，导数有简化趋势的函数留在微分号前易于积分的函数凑进微分号，导数有简化趋势的函数留在微分号前面，再用分部积分公式

7、面，再用分部积分公式. 1. 分部积分法，就是用分部积分公式求解不定积分问题的分部积分法，就是用分部积分公式求解不定积分问题的方法方法. 其核心是分部积分公式的使用其核心是分部积分公式的使用. 分部积分法，通常要和凑分部积分法，通常要和凑微分法和换元法结合使用微分法和换元法结合使用. 2. 当被积函数是多个函数的乘积时，要尽量使更多的函数凑到当被积函数是多个函数的乘积时，要尽量使更多的函数凑到微分号后面去，直到不再有函数可凑进微分号为止，再用分部积分微分号后面去，直到不再有函数可凑进微分号为止，再用分部积分公式公式. 4. 当几个函数积分和微分的难易程度相当，且需多次使用分部当几个函数积分和微分的难易程度相当，且需多次使用分部积分公式时，每次要将同类函数凑进微分号，否则，积分过程将原积分公式时，每次要将同类函数凑进微分号，否则，积分过程将原路返回路返回.现在学习的是第8页，共9页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第9页，共9页