高等数学第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案.pdf

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1、第第 1-51-5 章和第章和第 8-108-10 章习题和复习题参考答章习题和复习题参考答案案第第1 1章章习题习题下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1 1）y33 x 与y=x2是同一函数是同一函数（2 2）y x与y=x是同一函数是同一函数函数、极限与连续函数、极限与连续2x 1不是同一函数不是同一函数（4 4）（3 3）y x1与y=y 2ln x与y=lnx2不是同一函数不是同一函数x1指出下列函数的定义域指出下列函数的定义域. .（1 1）f (x) （3 3）f (x) 413x 4的定义域是的定义域是,)（2 2）f (x) ln

2、的定义域是的定义域是(,1)31 xln(x21)的定义域是的定义域是(,2 2,)1e（4 4）f (x) arcsin(ln x)的定义域是的定义域是,e（5 5）若）若f (x)的定义域是的定义域是4,4，则，则f (x )的定义域是的定义域是2,2（6 6）若）若f (x)的定义域是的定义域是0,3a，则，则f (x a) f (x a)的定义域是的定义域是a,2a3.3.判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性. .（1 1）fx xsin x是奇函数是奇函数（2 2）数数（3 3）fx x2 x是非奇非偶函数是非奇非偶函数（4 4）fxlg1 x是奇函数是奇函数2fx xcosx是

3、奇函是奇函1 x（5 5）fx cos(sinx)是偶函数是偶函数（6 6）fxsin x是偶函数是偶函数x（7 7）fx ln( x21 x)是奇函数是奇函数（8 8）fxcosx是偶函数是偶函数1 x2下列函数哪些在其定义域内是单调的下列函数哪些在其定义域内是单调的. .（1 1）y sin x在其定义域内不是单调的在其定义域内不是单调的（2 2）y arcsin x在其定义域内是单调递增的在其定义域内是单调递增的（3 3）y x2 x在其定义域内不是单调的在其定义域内不是单调的（4 4）a 0时，时，ya 0时，时，ya 0时，时，y eax在其定义域内是单调的，其中在其定义域内是单调的

4、，其中 eax在其定义域内是单调递减的，在其定义域内是单调递减的， eax在其定义域内是单调递增的在其定义域内是单调递增的5.5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界下列函数在给定区间中哪个区间上有界. .（1 1）y 1x在区间(1,)上有界上有界（2 2）y ln(2x 1)在区间(1,10)上有界上有界（3 3）y x 在区间(3,4)上有界上有界（4 4）y sin x在区间(,0),(,),(1,1)上分别有界上分别有界6.6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. .（1 1）y3 sin3x是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小

5、正周期是23（2 2）y cosx是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是（3 3）y tan2x是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是2（4 4）y ln(cosx 2)是周期函数，最小正周期是是周期函数，最小正周期是7.7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数下列各对函数中，哪些可以构成复合函数. .（1 1）f (u) arcsin(2u),u x不可以构成复合函数不可以构成复合函数（2 2）f (u) ln(1u),u sin2x不可以构成复合函数不可以构成复合函数21不可以构成复合函数不可以构成复合函数2 x22x（4 4）f (u) arccosu,u 可以构成复

6、合函数可以构成复合函数21 x（3 3）f (u) u,u ln8.8.将下列复合函数进行分解将下列复合函数进行分解. .（1 1）对复合函数）对复合函数f (x) （2 2）对复合函数）对复合函数f (x) ex23x 4的分解结果是：的分解结果是：f (x) u,u x23x 42x3的分解结果是：的分解结果是：f (x) e ,u 2x 3u（3 3）对复合函数）对复合函数f (x) ln(2x3)的分解结果是：的分解结果是：f (x) lnu,u 2x 3（4 4）对复合函数）对复合函数f (x) arcsin(x1)的分解结果是：的分解结果是：f (x) accsinu,u x 19

7、.9.求函数值或表达式求函数值或表达式. .（1 1）已知函数）已知函数f (x) x 2x 1,则f (2) 0, f (2) -4, f (0) 2, f (x2) x22x 12. .sin x（2 2）已知函数）已知函数f (x) 0,x 12,则f (1) 0, f () , f () 0. .42,x 1121. .22（3 3）已知函数）已知函数f (x) sin x,则f (arcsin) -（4 4）已知函数）已知函数f (sin x) cos2x，则，则f (x) 1 2x ,x1,1习题习题1.1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限用观察法判断下列数列是否有极

8、限，若有，求其极限. .（1 1）xn:1,113 1 5 1 7lim 0（2 2）xn有极限，有极限，,没有极限没有极限n2 3 4 5 6nn（3 3）xn sinnnnn没有极限没有极限（4 4）xn (1)3有极限，有极限，lim(1)n3 0n2n 1n 12.2.分析下列函数的变化趋势，求极限分析下列函数的变化趋势，求极限（1 1）lim11lim 0（2 2） 0 xxx2x 1（3 3）lim ln(x 2) （4 4）limx2x 3 2xx 23.3.图略，图略，lim f (x)不存在不存在x04.4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？下列变量中，哪些是无穷小

9、量，哪些是无穷大量？（1 1）x 0时，时，100 x是无穷小量是无穷小量（2 2）x 0时，时，22x是无穷大量是无穷大量（3 3）x 时，时，x 1x是无穷小量是无穷小量（4 4）x 时，时，e是无穷大量是无穷大量2x 1nn2sin x（5 5）n 时，时，(1)是无穷大量是无穷大量（6 6）x 时，时，是无穷小量是无穷小量n 3x（7 7）x 时，时，sin5.5.已知函数已知函数f (x) 1x是无穷小量是无穷小量（8 8）x 0时，时，2 1是无穷小量是无穷小量xx 1， 则则f (x)在在x 或或x 或或x 的过程中是无的过程中是无(x 3)2穷小量，在穷小量，在x 3或或x 3

10、或或x 3的过程中是无穷大量？的过程中是无穷大量？6.6. 当当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与下列无穷小是否同阶？是否等价？与下列无穷小是否同阶？是否等价？（）当（）当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与无穷小与无穷小1 x同阶，但不等价同阶，但不等价（）当（）当x 1时，无穷小时，无穷小1 x与无穷小与无穷小31(1 x2)同阶，而且等价同阶，而且等价2习题习题1.1.设函数设函数f (x) x，则，则limt0f (x t) f (x)1t2 xx21,x 22.2.设函数设函数f (x) ，则，则limf (x) 5, limf (x) 5,lim f (x) 5. .x2x2x22x

11、 1,x 23.3.求下列各式的极限：求下列各式的极限：x232 （1 1）lim(2x x 5) 15（2 2）lim4x1x x21x2322x2 x25 2（3 3）lim(1) （4 4）lim2xx 4x0 x 331 1 x2112n1 （5 5）lim（6 6）lim( ) x0nn22x22n2n2（7 7）limxx2 2x 2 1x311（8 8）lim 3x1xx 12（9 9）lim x( 9x 13x) x2 x x11（1010）limx11 x6(x 1)10(2x 3)10210（1111）lim2020 x(3x 5)3x2 ax 6 5，则，则a 7. .4

12、.4.已知已知limx1x 15.5.lim( x kx x) 2，则，则k 4. .x26.6.求下列极限：求下列极限：（1 1）limsin5x5tan2x sin x（2 2）lim1x0sin2xx02xcosx cos3xtan(2x x3)（3 3）lim 4（4 4）lim 222x0 x0 xsin(x x )1x sin x1（6 6）lim 0 xx0 x sin xx2arcsinx2tan x sin x1（7 7）lim（8 8）limx0 x03x32x3（5 5）lim xsin7.7.求下列极限：求下列极限：（1 1）lim(1x42x2) e8（2 2）lim

13、(1)x1 e2xxx223 xxx 1x1) e3（4 4）lim(（3 3）lim() e2x0 xx 13（5 5）lim(1 ln x)x15ln x e5（6 6）lim(1 cosx)sec x ex28.8.用等价无穷小替换计算下列各极限：用等价无穷小替换计算下列各极限：arctan6x4x 2（2 2）lim2x 2x0 x03xe11cos2xln(1 2x)（3 3）lim（4 4） 2lim 22xx0 x0 xe 1（1 1）lim习题习题x21,x 1，则，则1.1.设函数设函数f (x) x 1,x 13f (x)在在x 1处不连续处不连续2.2.指出下列函数的间断

14、点，并指明是哪一类间断点？指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？（1 1）函数函数f (x) 1的间断点有点的间断点有点x 1和点和点x 1，它们都是第二类间断点中的它们都是第二类间断点中的x211x无穷间断点无穷间断点（2 2）函数）函数f (x) e的间断点有点的间断点有点x 0，它是第二类间断点，它是第二类间断点x21（3 3）函数）函数f (x) 的间断点有点的间断点有点x 0和点和点x 1，其中点，其中点x 0是第二类间断是第二类间断(x 1)x点中的无穷间断点，点点中的无穷间断点，点x 1是第一类间断点是第一类间断点x21,x 1的间断点有点的间断点有点x 1，它是第一类间断

15、点中的，它是第一类间断点中的（4 4）函数）函数f (x) x 1,x 10可去间断点可去间断点x2 2,x 0（5 5）函数）函数f (x) x的间断点有点的间断点有点x 0，它是第一类间断点中的跳，它是第一类间断点中的跳,x 02跃间断点跃间断点x2 4,x 2的间断点有点的间断点有点x 2，它是第一类间断点中的可，它是第一类间断点中的可（6 6）函数）函数f (x) x 2,x 23去间断点去间断点sin x,x 0 x3.3.设函数设函数f (x) k,x 0，当，当k 1时，函数时，函数f (x)在其定义域内是连续在其定义域内是连续xsin11,x 0 x的的. .4.4.求下列极限

16、：求下列极限：x2 x（2 2）limlgsin x 0（1 1）limarccosx124x2esin x1ln(1 x)ln x 0（4 4）lim（3 3）limcos x ln2x0ex1 2x（5 5）lim（7 7）limxx4 x211x x（6 6）lim1x122x2x 1ln x1（8 8）limarctanx xexx1e45.5.（略）（略） 6. 6.（略）（略）复习题复习题 1 1一、单项选择题一、单项选择题1.1.下列函数中（下列函数中（C C）是初等函数）是初等函数. .（A A）y arcsin(x 2)（B B）f (x) 20 xQ1xQ x20 x 1（

17、C C）y x 1（D D）f (x) x 1x 122.2.下列极限存在的是（下列极限存在的是（B B）. .x311limsin（A A）lim4（B B）lim（C C）（D D）lim ln xx3x31xx1x0 x 1x3.3.当当x 0时，时，tan x与下列（与下列（D D）不是等价无穷小）不是等价无穷小. .（A A）tan x（B B）x（C C）sin x（D D）cos x4.4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B B）. .（A A）必要条件）必要条件（B B）充分条件）充分条件（C C）充分必要条件）充分必要条件（D D）

18、无关条件）无关条件5.5.已知已知lim22222sinax 2, ,则常数则常数a （C C）. .x0 x（A A）0 0（B B）1 1（C C）2 2（D D）4 46.6.闭区间闭区间a,b上的连续函数上的连续函数y f (x)在在a,b上一定是（上一定是（C C）. .（A A）单调函数）单调函数（B B）奇函数或偶函数（）奇函数或偶函数（C C）有界函数）有界函数（D D）周期函数）周期函数二、填空题二、填空题1.1.设设f (x) 1 x x 0， 则则f (2) 4 . 4 .x20 x 52.2.函数函数y cos 3x是由简单函数是由简单函数y u ,u cosv,v 3

19、x复合而成的复合而成的. .3.3.点点x 1是函数是函数f (x) 3x1,x 1的第一类间断点中的跳跃的第一类间断点中的跳跃间断点间断点. .3 x,x 1x4.4.当当x 时，函数时，函数y 3是无穷小是无穷小. .225.5.极限极限lim1= =e . .xx6.6.函数函数y ln(4 x)三、计算下列极限三、计算下列极限xx1的连续区间为的连续区间为1,4 . .x23x231.1.lim4=0=0 2. 2.lim不存在不存在2x2x2x 3x x 1x21x25x613.3.lim2 4. 4.lim2x12x x1x3x 8x152x48x1x2 x 15.5.lim不存在

20、不存在1 6. 6.limxx(x 2)2x257.7.limx1x2 33x21(3cos x)=0=0 8. 8.lim3xx16x 19.9.limx cosx1 cos11 10. 10.limx0sinx2ln(1 x)11121 12. 12.lim(3) x0sin2xx2x 222x 832x11.11.lim2x)13.13.lim(1x0 x122 e 14. 14.lim(1) e1xx3 x1lim15.15.x0 x四、综合题四、综合题x1 e 16. 16.lim(xx1x) e2x1x210 x 11.1.函数函数f (x) 在点在点x 1处不连续，在点处不连续，

21、在点x 2处连续，函数的图像处连续，函数的图像x1x 1略。略。exx02.2.设函数设函数f(x)1x0sinxx0 xf (x)=1,=1,f (x)在点在点x 0处连续。处连续。则则limx0sinkx,x 02x3.3.设函数设函数f (x) ，当，当k ,a为任意实数时，时，f (x)在在x52ax,x 05 0处连续。处连续。4.4.（略）（略）第第2 2章章 导数与微分导数与微分习题习题1.1. 已知质点作直线运动方程为已知质点作直线运动方程为s t 3，则该质点在，则该质点在t 5时的瞬时速度为时的瞬时速度为 10.10.2.2.用函数用函数f (x)在在x0的导数的导数f (

22、x0)表示下列极限表示下列极限: :（1 1）lim（3 3）lim2x0f (x02x) f (x0)f (x0 x) f (x0)f (x0) 2 f (x0)（2 2）lim x0 x2x2f (x0) f (x)f (x0t0) f (x0t0) f (x0) 2 f (x0)（4 4）limxx0t0 x x0t003.3.利用基本公式利用基本公式xe xe11，求下列函数的导数，求下列函数的导数: :134（1 1）y x ,则y ex13（2 2）y x,则y x35（3 3）y 31x则则y x6（4 4）y 6x1x，则，则y x8874.4.求下列曲线在指定点处的切线方程和

23、法线方程：求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：（1 1）y x在点在点1,1处的切线方程处的切线方程3x y 2 0，法线方程为，法线方程为x3y 4 03（2 2）y ln x在点在点e,1处的切线方程处的切线方程xey 0，法线方程为，法线方程为ex y 1e 02（3 3）y cosx在点在点(6,3)处的切线方程处的切线方程6x12y 6 3 0，法线方程为，法线方程为212x6y 3 3 2 05.5.在曲线在曲线y x上点（上点（6 6，3636）处的切线平行于直线）处的切线平行于直线y 12x 1，(,垂直于直线垂直于直线3x y 1 0211)处的法线处的法线6 366.

24、6.函数函数f (x) x 2,0 x 1在点在点x 1处不可导，因为处不可导，因为f(1)不存在不存在x 13x 1,习题习题1.1.求下列函数的导数求下列函数的导数: :a1x（1 1）y x a ln xcos xe的导数的导数y axa lnaax21sin xx11312（2 2）y 2 x x x的导数的导数y x2 xx22x1113121)的导数的导数y xx2（3 3）y ( x 1)(22x（4 4）y 2tanx secx 2的导数的导数y 2sec xsecxtan x（5 5）2y xex3log3x的导数的导数y ex xex3xlna（6 6）y xsin xln

25、 x的导数的导数y sin xln x xcosxln xsin x（7 7）y 55sin x的导数的导数y 1 cosx1cosx2*10 ln1010 x1（8 8）y x的导数的导数y 10 1(10 x1)22.2.求下列函数在指定点的导数：求下列函数在指定点的导数：（1 1）f (x) ln x 3cosx 2x，则，则f () x225，f () 21 2. .（2 2）f (x) x sin x， 求求f (0)，f (). .f (x) x sin x， 则则f (0) 0，f () . .22263x x23.3.曲线曲线y 在横坐标在横坐标x 3处的切线方程为处的切线方程

26、为x9y 9 0，法线方程为，法线方程为x227x3y79 0。习题习题1.1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1 1）y 2cos(4 5x)的导数的导数y 10sin(45x)（2 2）y (2x 3)的导数的导数y 8(2x 3)（3 3）y 1e的导数的导数y （4 4）y lntan x的导数的导数y 2x43ex2 1ex2sin2x2（5 5）y sec 2x的导数的导数y 4sec 2xtan2x（6 6）y arccos11的导数的导数y 2xxx 1的导数的导数y （7 7）y x4 x2x4(4 x ) 4 x2x222（8 8）y esin3x的导数的导数y e(

27、2sin2x 3cos3x)2.2.求下列函数在指定点的导数：求下列函数在指定点的导数：（1 1）y 343x，在点，在点x 1处的导数是处的导数是-12 x2（2 2）f (x) ln3，在，在x 1处的导数是处的导数是-1x 2（3 3）y 1ln2x，在，在x e处的导数是处的导数是12e3.3.设函数设函数f (x)可导，求下列函数的导数可导，求下列函数的导数: :（1 1）y f (2x 1)的导数的导数y 2 f (2x 1)222（2 2）y xf (x )的导数的导数y f (x ) 2x f (x )2习题习题1.1.求由下列方程所确定的隐函数求由下列方程所确定的隐函数y y

28、(x)的导数的导数22dy. .dx（ 1 1 ）x y xy 1所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 导导 数数2x ydyx 2ydxy(exy y)dy（2 2）xy e 2 0所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数xydxx(2y e )2xy（ 3 3 ）y x ln y所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 导导 数数dydxyy 1eydy（4 4）y 1 xe所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dx1 xeyy2.2.用对数求导法求下列函数的导数用对数求导法求下列函数的导数: :dyy(xln y y)（1 1

29、）x y所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dxx(yln x x)yx（2 2）y (cosx)1xsin x的导数的导数dy (cosx)sin x(cosxlncosx)sinxtanx)dx12dyx（3 3）y x的导数的导数 x(1ln x)dx（4 4）y 3.3.（略）（略）x 2(3 x)4dy(3 x)3(x232x 73)的导数的导数6dx(x 1)5x 2(x 1)x xy yx2y24.4.曲线曲线221在点在点(x0, y0)处的切线方程为处的切线方程为02021abab习题习题1.1.求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数: :432（1 1）y

30、 x 2x 4x1的二阶导数的二阶导数y 12x 12x（2 2）y sin(32x)的二阶导数的二阶导数y 4sin(32x)（3 3）y xln2x的二阶导数的二阶导数y 2(1ln x)的二阶导数的二阶导数y 4sin(32x)xx4 x2（4 4）y 的二阶导数的二阶导数y 12x4 x (4 x )2222.2.求下列函数在指定点处的导数：求下列函数在指定点处的导数：（1 1）y xcosx，则，则y(0)0（2 2）3.3.求下列函数的求下列函数的n阶导数阶导数: :（1 1）y xe的的n阶导数阶导数yx(n)y arctan x，则，则y(0)0 (x n)ex，xN*（2 2

31、）y ln x的的n阶导数阶导数y(n) (1)n1(n2)(n1)!*，xNnx4.4.已知函数的已知函数的(n2)阶导数阶导数y5.5. （略）（略）2ln xx(n)，则，则y的的n阶导数阶导数y3lnxxln x习题习题1.1.求下列函数的微分：求下列函数的微分：（1 1）y x sin x 3x 4的微分的微分dy (2xsin2x3)dx（2 2）y xlnx2的微分的微分dy (ln x2 ln21)dx（3 3）y lnx22x1 x2的微分的微分dy dx1 x1 x2（4 4）y 2xcosxsin2xsin2x的微分的微分dy dx2xxdxx的微分的微分dy 2sin

32、xx（5 5）y lntanexdx（6 6）y arctane的微分的微分dy 1e2x（7 7）y xarccosx的微分的微分dy (arccosxx1 x2)dx（8 8）y (e exx3)的微分的微分dy 3(e3xe3xexex)dx（ 9 9 ）x y xey1eydx所所 确确 定定 的的 隐隐 函函 数数y y(x)的的 微微 分分dy 1 xey（1010）xy 1所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的微分的微分dy 2.2.下列各括号中填入一个函数，使各等式成立下列各括号中填入一个函数，使各等式成立. .1dxx21dx d(arctanx)21 x1（3 3）2c

33、os2xdx d(sin2x)（4 4）dx d(ln x1)x1（1 1）3x dx d(x )（2 2）232(abx)1ln2x)（6 6）abxdx d(（5 5）ln xdx d(3bx2e2x112x2dx d()（7 7）2dx d()（8 8）2xe2xx3.3.求下列近似值：求下列近似值：（1 1）ln0.9 0.1（2 2）cos61 0.47（3 3）arctan1.02 1.58（4 4）e1.01232 2.754.4. 一正方体的棱长一正方体的棱长x 10米，如果棱长增长米，则此正方体体积增加的精确值为立方米，如果棱长增长米，则此正方体体积增加的精确值为立方米，近似

34、值为米，近似值为 3030 立方米立方米. .复习题复习题 2 2一、单项选择题一、单项选择题1.1.函数函数y f (x)在点在点x0处可导是它在处可导是它在x0处可微的（处可微的（C C）. .（A A）充分条件）充分条件（B B）必要条件）必要条件（C C）充分必要条件）充分必要条件（D D）无关条件）无关条件2.2.设设f (0) 2，则，则lim/x0f(x) f(x)的值为（的值为（D D）. .x（A A）1 1（B B）2 2（C C）0 0（D D）4 43.3.下列各式中（下列各式中（k为常数）正确的是（为常数）正确的是（D D）. .dxd(x ) x xx1 xx（B

35、B）(kk) kkdxdxdxd（C C）(k ) xkx1（D D）(xk) kxk1dxdx（A A）4.4.设函数设函数fxx 1lnx，则，则fx在点在点 x=1x=1 处（处（B B）. .x 1x 1（A A）连续但不可导）连续但不可导（B B）连续且）连续且f 11（C C）连续且）连续且f 1 0（D D）不连续）不连续5.5.过曲线过曲线y xln x上上M0点的切线平行直线点的切线平行直线y 2x，则切点，则切点M0的坐标是（的坐标是（D D）. .（A A） （1 1，0 0）（B B）(e,0)（C C）(e,1)（D D）(e,e)6.6.若若y y= =x x( (

36、x x 1)( 1)(x x 2)( 2)(x x 3) 3)，则，则y(0)= =（D D）. .（A A）0 0（B B）-1-1（C C）3 3（D D）-6-67.7.已知已知y cosx，则，则y8= =（B B）. .（A A）sin x（B B）cosx（C C）sinx（D D） cos x8.8.设函数设函数y f (x)可微，则当可微，则当x 0时，时，y dy与与x相比是（相比是（C C）. .（A A）等价无穷小）等价无穷小（B B）同阶无穷小）同阶无穷小（C C）高阶无穷小）高阶无穷小（D D）低阶无穷小）低阶无穷小二、填空题二、填空题1.1.若函数若函数y ln3，

37、则，则y= 0 .= 0 .2.2.设函数设函数y x1，则，则y(1)不存在不存在 . .3.3.变速直线运动的运动方程为变速直线运动的运动方程为s(t) t 2t， 则其加速度为则其加速度为a(t) 2 . 2 .4.4.曲线曲线y 2x在点（在点（4, 24, 2）处的切线方程是）处的切线方程是x4y 4 0 . .5.5.d(cos x) = =sin xdx. .6.6.设设fx xln x，且，且f x0 2，则，则fx0= =e . .三、计算题三、计算题1.1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1 1）y 1 2x x3 2x2的导数的导数y 8x312x22x2x（2 2

38、）y xln x sin x cosx的导数的导数y ln xsin xcosx134x3x23x 2（3 3）y 2的导数的导数y (x21)2x 1（4 4）y e2x1的导数的导数y 2e2x1（5 5）y lncosx的导数的导数y tan x（6 6）y arctanx的导数的导数y 12 x(1 x)2（7 7）y x sin111的导数的导数y 2xsincosxxx12x（8 8）y x1x的导数的导数y x(1ln x)dy：dxdyy dxx2.2.求由下列方程所确定的隐函数求由下列方程所确定的隐函数y y(x)的导数的导数（1 1）x y a 0所确定的隐函数所确定的隐函

39、数y y(x)的导数的导数（2 2）cosxy x所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数dy1 ysin(xy) dxxsin(xy)（3 3）y xln y所确定的隐函数所确定的隐函数y y(x)的导数的导数（4 4）ey ex xy 0，则，则f (0)03.3.求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数：dyyln ydxy x（1 1）y sinax cosbx的二阶导数的二阶导数y a sinaxb cosbxx（2 2）y xe的二阶导数的二阶导数y (x2)e222x（3 3）y sinx的二阶导数的二阶导数y 2cos x 4x sin x2222(x22)（4

40、4）y lnx 2的二阶导数的二阶导数y 2(x 2)224.4.求下列函数的微分：求下列函数的微分：（1 1）y x21的微分的微分dy xx 12dx(1 x2)cosx2xsin xsin xdx（2 2）y 的微分的微分dy (1 x2)21 x2（3 3）y sinln x的微分的微分dy （4 4）ycos(lnx)dxx excosx的微分的微分dy (sin xcos x)exdx四、应用题四、应用题1.1.有一批半径为有一批半径为1cm的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，则，则每只球大约需要用铜克每只球大约需要

41、用铜克x2,其中其中x2.2. 某公司生产一种新型游戏程序，某公司生产一种新型游戏程序， 假设能全部售出，假设能全部售出， 收入函数为收入函数为R 36x 20为公司一天的产量，为公司一天的产量，如果公司每天的产量从如果公司每天的产量从 250250 增加到增加到 260260，则估计公司每天收入的增加量则估计公司每天收入的增加量大约是大约是 110.110.第第 3 3 章章微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用习题习题1.1.函数函数f (x) cosx在在0,2上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的2.2.函数函数f (x) ln(x

42、1)在在00，11上，验证满足拉格朗日中值定理的条件（略）上，验证满足拉格朗日中值定理的条件（略） ，满足拉，满足拉格朗日中值定理结论中的格朗日中值定理结论中的11ln223 3f (x) 2x 1,g(x) x在区间在区间-1-1，22上满足柯西中值定理结论中的上满足柯西中值定理结论中的2124.4.已知已知A(1,1)与与B(3,3)是曲线是曲线y 2x x上的两点，则该曲线上点（上的两点，则该曲线上点（2 2，0 0）处的切）处的切线平行于弦线平行于弦AB. .5.5.（略）（略）6.6.（略）（略）习题习题1.1.求下列极限：求下列极限：x32x11exex (2) (2)lim不存在

43、(1)(1)limx1x04x3412x2x2ln x(3)(3)lim 0 (4) (4)lim3x0 xexxlnxsinxsinalim cosa (6) (6)1xax0lnsinxxax11111(7)(7)lim() (8) (8)lim(x) x1x1x0 xln x2e 12x(9)(9)lim xcot x1 (10) (10)lim x1(5)(5)limx0 x02 2下列极限可否用洛必塔法则去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限下列极限可否用洛必塔法则去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限. .exex（1 1）limx不可用洛必塔法则去求，不可用洛必塔法则去求，否

44、则会总是出现否则会总是出现的情形，的情形，用常规方法求用常规方法求xe exexex得得limx1xe exxsin x（2 2）lim不可用洛必塔法则去求，否则会出现等式右端无极限的情形，但并不可用洛必塔法则去求，否则会出现等式右端无极限的情形，但并xxxsin x不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得lim1xx3.3.当当a 3,b 9sin3xa2b 0时时, ,极限极限lim3x0 x2xx xc4.4.当当c ln2时时, ,极限极限lim 4xxc习题习题1.1.求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：（1 1）y ln(1 x )在

45、区间在区间(,0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(0,)内单调递增内单调递增（2 2）y x 24在区间在区间(,2)与区间与区间(2,)内单调递增，内单调递增， 在区间在区间(2,2)内单调递减内单调递减x（3 3）y x在区间在区间(0,100)内单调递增，在区间内单调递增，在区间(100,)内单调递减内单调递减x100 x2 (4) (4)y 在区间在区间(,2)与区间与区间(0,)内单调递增，在区间内单调递增，在区间(2,1)与区间与区间1 x(1,0)内单调递减内单调递减（5 5）y xln(1 x)在区间在区间(1,0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(0,)内单调递增内

46、单调递增2(6)(6)y x ln x在区间在区间(0,11)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(,)内单调递增内单调递增ee（7 7）y arctanx x在区间在区间(,)内单调递减内单调递减(8)(8)y 2x ln x在区间在区间(0, )内单调递减，在区间内单调递减，在区间( ,)内单调递增内单调递增（9 9）y 3x 4x在区间在区间(,1)内单调递减，在区间内单调递减，在区间(1,)内单调递增内单调递增（1010）y 43212122x x3在在区区间间( 2,6)与与区区间间( 2,)内内单单调调递递减减，在在区区间间3(6,0)内单调递增内单调递增32.2.（略）（略）3.

47、3.（略）（略）4.4.求下列函数的极值：求下列函数的极值：23320（1 1）y (x1) x的极小值有的极小值有y( ) ，极大值有，极大值有y(0) 052532（2 2）y 2x x2的极大值有的极大值有y(1) 1，无极小值，无极小值（3 3）y 222，无极大值，无极大值x 3x的极小值有的极小值有y() 433（4 4）非零常数）非零常数c 0时，时，y c(x 1)的极大值有的极大值有y(0) c，无极小值，无极小值非零常数非零常数c 0时，时，y c(x 1)的极小值有的极小值有y(0) c，无极大值，无极大值（5 5）y x 1 x的极大值有的极大值有y( ) （6 6）y

48、 x e（7 7）y 2x2222345，无极小值，无极小值442e的极小值有的极小值有y(0) 0，极大值有，极大值有y(2) 132 x x2的极大值有的极大值有y( ) ，无极小值，无极小值2213（8 8）y 32x1无极小值，也无极大值无极小值，也无极大值（9 9）y (x2)(3 x)121的极大值有的极大值有，无极小值，无极小值y() 2x524（1010）y 32x x2的极小值有的极小值有y(0) 0与与y(2) 0，极大值有，极大值有y(1) 125 5要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为 500500 立方米立方米. .底面为正方形，设底面

49、与四壁底面为正方形，设底面与四壁的单位造价相同，则底取的单位造价相同，则底取 1010 米高取米高取 5 5 米时，才能使所用材料最省米时，才能使所用材料最省. .6 6将边长为将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形（如图所示）等的四边形（如图所示） ，然后将其沿虚线，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子折起，做成一个无盖正三棱柱盒子. .则当图中的则当图中的xa32a取取时，该盒子容积最大，求出的最大容积为时，该盒子容积最大，求出的最大容积为. .5437.7.某厂生产某种产品，其固定成本为某厂生产某种产品，其固定成本为 100100 元，元，每多生产一

50、件产品成本增加每多生产一件产品成本增加 6 6 元，又知该产品的需元，又知该产品的需x图求函数为求函数为Q 1000 100p. .则产量为则产量为 200200 件时可使利润最大，最大利润是件时可使利润最大，最大利润是 300300 元元8 8 某个体户以每条某个体户以每条 1010 元的价格购进一批牛仔裤，元的价格购进一批牛仔裤， 设此牛仔裤的需求函数为设此牛仔裤的需求函数为Q 40 p则该个体户将销售价定为每条则该个体户将销售价定为每条 3030 元时，才能获得最大利润元时，才能获得最大利润习题习题1.1.根据函数根据函数f (x)的图像的图像（1 1）f (x)在点在点x x1、点、点