概率论及数理统计答案.pdf

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1、-习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以*表示取出的 3 只球中的最大，写出随机变量*的分布律.【解】【解】故所求分布律为*P30.140.350.62.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以*表示取出的次品个数，求：1*的分布律；2*的分布函数并作图；(3)133PX ,P1 X ,P1 X ,P1 X 2.222【解】【解】故*的分布律为*P012223512351352 当*0 时，F*=P*=0当 0*1 时，F*=P*=P(*=0)=22353435当 1*2 时，F*=P*

2、=P(*=0)+P(*=1)=当*2 时，F*=P*=1故*的分布函数(3)3.射手向目标独立地进展了3 次射击， 每次击中率为 0.8， 求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率.【解】【解】设*表示击中目标的次数.则*=0，1，2，3.故*的分布律为*00.00810.09620.38430.512P分布函数4.1 设随机变量*的分布律为P*=k=akk!，其中k=0，1，2，0 为常数，试确定常数a.2 设随机变量*的分布律为P*=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数a.z.-【解】【解】 1 由分布律的性质知故ae(2) 由分布律的性

3、质知即a 1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次，求：1 两人投中次数相等的概率;2 甲比乙投中次数多的概率.【解】【解】分别令*、Y表示甲、乙投中次数，则*b3，0.6,Yb(3,0.7)(1)P(X Y) P(X 0,Y 0) P(X 1,Y 1) P(X 2,Y 2)212 (0.4)3(0.3)3C130.6(0.4) C30.7(0.3)+(2)P(X Y) P(X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P(X 3,Y 0)=0.2436.设*机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在*一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问

4、该机场需配备多少条跑道，才能保证*一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落).【解】【解】设*为*一时刻需立即降落的飞机数，则*b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有即kN1200k200kCk(0.02) (0.98) 0.01200利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站， 每天有大量汽车通过， 设每辆车在一天的*时段出事故的概率为 0.0001,在*天的该时段有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少利用泊松定理.【解】【解】设*表示出事故的次数，则*b1000，0.00018.

5、在五重贝努里试验中成功的次数*满足P*=1=P*=2，求概率P*=4.【解】【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故p 134所以P(X 4) C5( )14210.332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，1 进展了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；2 进展了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】【解】 1 设*表示 5 次独立试验中A发生的次数，则*65，0.3(2) 令Y表示 7 次独立试验中A发生的次数，则Yb7，0.310.*公安局在长度为t的时间间隔收到的紧急呼救的次数*服从参数为1/2t的泊松分布，而与

6、时间间隔起点无关时间以小时计.1 求*一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；2 求*一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.z.-【解】【解】 1P(X 0) ekk32(2)P(X 1)1 P(X 0) 1e,k=0,1,25211.设P*=k=C C2p (1 p)2km4mPY=m=C Cm,m=0,1,2,3,44p (1 p)分别为随机变量*，Y的概率分布，如果P*1=【解】【解】因为P(X 1)5，试求PY1.954，故P(X 1).992而P(X 1) P(X 0) (1 p)4,91即p .3故得(1 p) 2从而P(Y 1)1 P(Y 0) 1

7、(1 p) 465 0.802478112.*教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】【解】令*为 2000 册书中错误的册数，则*b(2000,0.001).利用泊松近似计算,e225 0.0018得P(X 5) 5!13.进展*种试验， 成功的概率为31， 失败的概率为.以*表示试验首次成功所需试验的次数，44试写出*的分布律，并计算*取偶数的概率.【解】【解】X 1,2,k,14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在1 月

8、1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：1 保险公司赔本的概率;2 保险公司获利分别不少于10000 元、20000 元的概率.【解】【解】以“年为单位来考虑.1 在 1 月 1 日，保险公司总收入为250012=30000 元.设 1 年中死亡人数为*，则*b(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上P保险公司获利不少于20000 P(300002000X 20000) P(X 5)即保险公司获利不少于 200

9、00 元的概率约为 62%15.随机变量*的密度函数为.z.-,*+,求： 1A值； 2P0*1;(3)F(*).|*|f(*)=Ae【解】【解】 1 由f (x)dx1得1.211x11(2)p(0 X 1)e dx (1e )202x11(3) 当*0 时，F(x) exdx ex22x101x1当*0 时，F(x) e|x|dx exdxexdx2202故A 1xe , 2故F(x) 11ex2x 0 x 016.设*种仪器装有三只同样的电子管，电子管使用寿命*的密度函数为100,x 100,f(*)=x2x 100.0,求： 1 在开场 150 小时没有电子管损坏的概率；2 在这段时间

10、有一只电子管损坏的概率；3F*.【解】【解】1001dx .100 x23411 22(2)p2 C3( ) 3 391P(X 150) 150(3) 当*100 时F*=0当*100 时F(x)xf(t)dt100,x 1001故F(x) xx 00,17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以*表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间的概率与这小区间长度成正比例，试求*的分布函数.【解】【解】由题意知*0,a，密度函数为故当*a时，F*=1即分布函数.z.xf (t)dt f (t)dt 0 xx01xdt aa-18.设随机变量*在2，5上服从均匀分布.现对*进展三次独立观测，求至少

11、有两次的观测值大于 3 的概率.【解】【解】*U2,5，即故所求概率为19.设顾客在*银行的窗口等待效劳的时间*以分钟计服从指数分布E( ).*顾客在窗口等待效劳，假设超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以Y表示一个月他未等到效劳而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】【解】依题意知X E( )，即其密度函数为该顾客未等到效劳而离开的概率为1515Y b(5,e2),即其分布律为20.*人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间*服从N40，102 ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间*服从N50，42.1 假设动身时离火车开车只有1

12、 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些.2 又假设离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些.【解】【解】 1 假设走第一条路，*N40，102 ，则假设走第二条路，*N50，42 ，则 X 506050P(X 60) P(2.5) 0.9938+44故走第二条路乘上火车的把握大些.2 假设*N40，102 ，则假设*N50，42 ，则故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设*N3，22 ，1 求P2*5，P4*10，P*2，P*3;2 确定c使P*c=P*c.【解】【解】 1P(2 X 5) P 23X 353222(2) c=322.由*机器生产的螺栓长度cm*N10.0

13、5,0.062,规定长度在 10.050.12 为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】【解】P(| X 10.05| 0.12) P X 10.050.120.060.0623.一工厂生产的电子管寿命*小时服从正态分布N160，2 ，假设要求P120*2000.8，允许最大不超过多少.【解】【解】P(120 X 200) P120160X 160200160.z.-故24.设随机变量*分布函数为40 31.251.29A Bext,x 0,F*=( 0),x 0.0,1 求常数A，B；2 求P*2，P*3；3 求分布密度f*.lim F(x) 1A1x【解】【解】 1由得lim F(x)

14、lim F(x)B 1x0 x02P(X 2) F(2) 1e2ex,x 0(3)f (x) F(x) x 00,25.设随机变量*的概率密度为 x,f*=2 x,0,0 x 1,1 x 2,其他其他.求*的分布函数F* ，并画出f*及F*.【解】【解】当*0 时F*=0当 0*1 时F(x) 当 1*0;x 00 x 11 x 2x 2bx,0 x 1,11 x 2,(2)f(*)=2,x0,其他其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F*.z.-【解】 1 由f (x)dx1知1ae|x|dx 2aexdx 02a故a 2xe,x 02即密度函数为f (x) exx 02当*0 时F(x)

15、当*0 时F(x) 故其分布函数(2) 由1xf (x)dx 1exdx ex22xxf (x)dx 102exdxx20exdxf (x)dx bxdx0211b1dx x222得b=1即*的密度函数为当*0 时F*=0当 0*1 时F(x) xf (x)dx 0f (x)dxf (x)dx0 x当 1*0 时，FY(y) P(Y y) P(e y) P(X lny)故fY(y) (2)P(Y 2X 11)12dFY(y)111ln2 y / 2fx(ln y) e, y 0dyyy2当y1 时FY(y) P(Y y)02当y1 时FY(y) P(Y y) P(2X 1 y)d1FY(y)

16、故fY(y) dy4(3)P(Y 0) 12fXy 1y 1y 1 fX22当y0 时FY(y) P(Y y)0.z.-当y0 时FY(y) P(|X| y) P(y X y)故fY(y) dFY(y) fX(y) fX(y)dy31.设随机变量*U0,1 ，试求：1Y=e*的分布函数及密度函数；2Z=2ln*的分布函数及密度函数.【解】【解】 1P(0 X 1)1故P(1Y ee)1X当y 1时FY(y) P(Y y)0X当 1ye 时FY(y) P(e y) P(X lny)X当ye 时FY(y) P(e y)1即分布函数故Y的密度函数为2 由P0*0 时，FZ(z) P(Z z) P(2

17、lnX z)即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量*的密度函数为2x,0 x ,f(*)=2其他.0,试求Y=sin*的密度函数.【解】【解】P(0 Y 1)1当y0 时，FY(y) P(Y y)0当 0y1 时，FY(y) P(Y y) P(sinX y)当y1 时，FY(y)1故Y的密度函数为33.设随机变量*的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.z.-【解】【解】由limF(x)1知填 1。x由右连续性lim F(x) F(x0) 1知x0 0，故为 0。+xx0从而亦为 0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数*的分布律.【解】【解】设Ai=第

18、i 枚骰子出现 6 点。 i=1,2,P(Ai)=抛掷出现 6 点。则故抛掷次数*服从参数为1.且A1与A2相互独立。再设C=每次611的几何分布。3635.随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9【解】【解】令*为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则*b(n,0.1)即(0.9)0.1n得n22即随机数字序列至少要有22 个数字。36.0,1F*=x ,21,x 0,10 x ,21x .2则F*是随机变量的分布函数.A 连续型；B离散型；C 非连续亦非离散型.【解】【解】因为F*在,+上单调不减右连续，且limF(x)0 xxlim F(x) 1,所以F*

19、是一个分布函数。但是F*在*=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F*是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选C37.设在区间a,b上，随机变量*的密度函数为f(*)=sin*，而在a,b外，f(*)=0，则区间 a,b等于(A)0,/2;(B)0,;(C) /2,0;(D)0,3.2/2【解】【解】在0,上 sin*0，且sin xdx 1.故f(*)是密度函数。02在0,上0sin xdx 2 1.故f(*)不是密度函数。.z.-,0上sin x 0，故f(*)不是密度函数。233在0,上，当 x 时，sin*0=1，故 01e2*1，即P0Y1=1当y0 时，FYy=0当y1 时，FYy=

20、12x当 0y1 时，FY(y) P(Y y) P(e1 y)即Y的密度函数为即YU0，141.设随机变量*的密度函数为.z.- 13,0 x 1, 2f(*)=,3 x 6,9其他.0,假设k使得P*k=2/3，求k的取值围.(2000 研考)【解】【解】由P*k=21知P*k=33假设k0,P(*k)=0假设 0k1,P(*k)=当k=1 时P*k=k01k1dx 333131k11假设 1k3 时P*k=dx0dx 031311k2211假设 3k6，则P*6,则P*k=1故只有当 1k3 时满足P*k=42.设随机变量*的分布函数为2.3x 1, 0,0.4,1 x 1,F(*)=0.

21、8,1 x 3,x 3.1,求*的概率分布.1991 研考【解】【解】由离散型随机变量*分布律与分布函数之间的关系，可知*的概率分布为*P10.410.430.243.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.假设A至少出现一次的概率为 19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】【解】令*为三次独立试验中A出现的次数，假设设PA=p,则*b(3,p)由P*1=故p=198知P*=0=1p3=27271344.假设随机变量*在1，6上服从均匀分布，则方程y2+*y+1=0 有实根的概率是多少.【解】【解】45.假设随机变量*N2，2 ，且P2*4=0.3，则P*0=.z.-【解】【解】0.3

22、P(2 X 4) P(222X 242)故() 0.8因此P(X 0) P(X 2022) ()46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经调试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器假设各台仪器的生产过程相互独立.求1 全部能出厂的概率；2 其中恰好有两台不能出厂的概率；3其中至少有两台不能出厂的概率.【解】【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B=AAB，且令*为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则*6n，0.94,故47.*地抽样调查结果

23、说明，考生的外语成绩百分制近似服从正态分布，平均成绩为72分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率.【解】【解】设*为考生的外语成绩，则*N72，2故(查表知从而*N72，12 224) 0.97724 2,即=12故P(60 X 84) P 6072X 72847212121248.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，*种电子元件损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2假设电源电压*服从正态分布N220，252 .试求：1 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240

24、V 的概率【解】【解】设A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V，A3=电压超过 240V，B=元件损坏。由*N220，252知由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量*在区间1，2上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2*的概率密度fY(y).【解】【解】fX(x) 1,1 x 20,其他因为P1*2=1,故Pe2Ye4=1.z.-当ye2时FYy=P(Yy)=0.2X当 e2y1 时，FY(y) P(Y y) P(e y) P(X lny)11,y即FY(y) 0,y1y 1 12,故fY(y) y0,51.设随机变量*的密度函数为y1y 1f*(*)=求Y=131,2 (

25、1 x )x的密度函数fY(y).【解】【解】FY(y) P(Y y) P(13X y) P(X (1 y)3)3(1 y)2故fY(y) 1(1 y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间发生故障的次数Nt服从参数为 t的泊松分布.z.-1 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；2 求在设备已经无故障工作8 小时的情形下， 再无故障运行 8 小时的概率Q.1993研考【解】【解】 1 当tt与N(t)=0等价，有1et,t 0即FT(t) 0,t 0即间隔时间T服从参数为的指数分布。e1682Q P(T 16|T 8) P(T 16)/ P(T 8) 8 ee53.设随机变量*的绝对值不

26、大于 1，P*=1=1/8，P*=1=1/4.在事件1*1出现的条件下，*在1，1任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求*的分布函数F*=P*.(1997 研考)【解】【解】显然当*1 时F*=0；而*1 时F*=1由题知P(1 X 1)1115848x12当1*1 时，P(X x|1 X 1)此时F(x) P(X x)当*=1 时，F(x) P(X x) P(X 1)18故*的分布函数54. 设随机变量*服从正态分N1,12),Y 服从正态分布N(2,22)，且P|*-1|P|Y-2|1，试比拟1与2的大小.(2006 研考)解：解：依题意X 11N(0,1)，Y 22N(0,1)，则P X 11 PX 11Y 211，PY 21 P因为PX 11 PY 21，即212.PX 11111 PY 1212，所以有112，即12.z.