新编基础物理学第二版第二章习题解答.pdf

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1、习题二习题二2-1两质量分别为 m 和 M(M m)的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体 m 上，使两物体一起向右运动，如题图 2-1 所示，求两物体间的相互作用力。 若水平力 F 作用在 M 上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？解：以 m、M 整体为研究对象， 有题图 2-1F (m M)a以 m 为研究对象，如解图2-1（a） ，有F FMm ma由、两式，得相互作用力大小FMmMFm M若 F 作用在 M 上，以 m 为研究对象，如题图2-1（b）有FMm ma由、两式，得相互作用力大小解图 2-1FMmmF发生变化。m M2-2. .

2、 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M1和M2，在 M2上再放一质量为 m 的小物体，如题图2-2 所示，若M1=M2= 4m，求m 和 M2之间的相互作用力，若 M1=5m，M2=3m，则 m 与 M2之间的作用力是否发生变化？解： 受力图如解图 2-2，分别以 M1、M2和 m 为研究对象，有T1M1g M1a题图 2-2(M2m)g T2 (M2m)amg FM2m ma又T1T2，则FM2m=2M1mgM1 M2m解图 2-2当M1 M2 4m时FM2m8mg9当M1 5m,M2 3m时FM m210mg，发生变化。92-3.质量为 M 的气球以加速度a匀加速上

3、升，突然一只质量为 m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？vr解：设f为空气对气球的浮力，取向上为正。分别由解图 2-3（a） 、(b)可得f Mg Maf (M m)g (M m)a1由此解得a1解图 2-3Mamgm Mma ga aa1m M2-4如题图 2-4 所示，人的质量为 60kg，底板的质量为 40kg。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？解：设底板和人的质量分别为M，m，以向上为正方向， 受力图如解图 2-4（a） 、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有T1T2 F Mg 0T3 F mg 0F 为人对底板的

4、压力，F 为底板对人的弹力。有F F又因为T2T3则T2T3题图 2-41T12(M m)g 245N4解图 2-12人对绳的拉力为 245N。2-5 一质量为 m 的物体静置于倾角为的固定斜面上。 已知物体与斜面间的摩擦系数为。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。解：如解图 2-5 建立坐标系，设 x 方向沿斜面向上为正方rrr向。在mg与N所在的平面上加一外力F，且0 2（若2，此时 F 偏大）则F cosmgsin f 0f N解图 2-5N F sinmg cos 0解出F mg(cossin)sincos要求 F 最小，则分母sincos取极大值，所以

5、sincos对求导为零cossin=0得tan带入上式则sincos122112 12即Fmin此时mg(cossin)1 arctan2-6. 一木块恰好能在倾角的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v0沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？解：匀速下滑时mgsinmg cos则 tan向上滑动时mgsinmg cos ma20 v0 2aS联立求解得2S v0/ (4gsin)当它停止滑动时，会静止，不再下滑2-7.5kg 的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为 0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？解：受力分析如解图 2

6、-7 所示F cos f N (mg F sin)则F mgcossin解图 2-7要求 F 最小，则分母cossin取极大值所以cossin对求导为零，类似题 2-5 解得tan带入 F 公式，则Fmin=mg1+214.08N2-8.两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等证如解图 2-7 所示，设两个摆的摆线长度分别为l1和l2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1和2，摆线中的张力分别为F1和F2，则F1cos1m1g 02m1v1F1sin1l1sin1解得v1sin1gl1cos1第一只摆的周期为T12l1sin1

7、 2v1l1cos1gm1m2解图题2-82-8同理可得第二只摆的周期l cos2T2 22g由已知条件知l1cos1 l2cos2所以这两个摆的周期相等T1 T22-9.质量分别为 M 和 M+m 的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人与滑轮的距离都是 h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在t秒末爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为m12hgt（假定人和绳子之间的摩擦力是恒定的）M m2证明：如解图 2-9（b） 、 （c） ，分别以 M、M+m 为研究对象，设 M、M+m 对地的加速度大小分别为a1（方向向上） 、a

8、2（方向向下） ，则对 M，有1h a1t22f Mg Ma1则对 M+m，有(M m)g f (M m)a2而f f 则a2=mgt -2Mh(M+m)t22（b）(c)解图 2-9则质量重的人与滑轮的距离1m12h ha2t2hgt此题得证。2M m22-10.质量为m110kg和m2 20kg的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，2以F 200N的力沿弹簧方向作用于m2,使m1得到加速度a1120cms，求m2获得的加速度大小。解：物体的运动如解图 2-10（a ） ，以 m1为研究对象，受力分析如解图（b）所示，有F1 m1a1以 m2为研究对象，受力分析如解图（c）所示，有

9、F F1 m2a2因为F1 F1则a2F m1a1 9.4ms2m2解图 2-102-11. 在一水平的直路上，一辆汽车以v = 108 kmh?1的速度运行， 刹车后经 s =35m 距离而停止如果路面相同，但有115的下降坡度，那么这辆汽车若仍以原有速度运行，则刹车后经多少距离而停止。解：v 108kmh136ms1在水平的直路上刹车，摩擦力f mg刹车距离v2v2S 2a2g在斜坡上，对汽车有mgcosmgsin ma由此得v2cos gsina gcos gsin2S刹车距离v2v22 36.9mS 2avcos2gsinS2-12如题图 2-12 所示， 已知两物体 A、 B 的质量

10、均为m 3.0kg， 物体 A 以加速度1.0ms2运动，求物体 B 与桌面间的摩擦力。 （滑轮与绳子的质量不计）解： 受力分析如解图 2-12 所示， 以 A 为研究对象， 其中FL、FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有mAg FL FR mAaA且FL FR以 B 为研究对象，在水平方向上，有FL f mBaB又FL FL，aB 2aA,mA mB m 3kg联立以上各式，可解得aA1.0m s2rFRrFL题图 2-12rNrfrmAg（a）解图 2-12rFLrmBg（b）mg 2maBmaAf 7.2N22-13 一质量为 m 的小球最初位于如题图2-13 所示的 A 点，力.然后沿

11、半径为 r 的光滑圆轨道 ADCB 下滑，试求小球到达C 点时的角速度和对圆轨道的作用解：小球下滑过程机械能守恒mgrcos又1mv22v r,此时,v r由、可得法向rrr题图 2-132gcosrv2N mgcos mr由、可得N=3mgcos解图 2132-142-14摩托快艇以速率 v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= ?kv2（k为正常数） 。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，(1) 求速率 v 随时间 t 的变化规律。(2) 求速度 v 与路程 x 之间的关系。解解(1)由牛顿第二定律 F=ma 得kv2 ma m分离变量并积分，有dvdt0tkvd

12、vdt v20mv11ktvv0m(2)将dvdvdx= vdv代入式中得dtdt dxdxkv2 mvdvdx分离变量并积分，有0ln得xkvdvdx v0mvvk xv0mv v0ekxm2-15如题图 2-15 所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体的质量分别为m1 200g，m2100g，m3 50g.（1）求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力FT1和FT2（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略） 。解：如解图 2-15(a)、(b)、(c)，分别是m1、m2、m3的受力图。设a1、a2、a3、aB分别是m1、m2、m3、B 对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对

13、 B 的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式题图 2-15m1g T1 m1a1 m2g T2 m2a2m3g T2 m3a3又：a2 aBa2Ba3 aBa3B且a2B a3B则a2 a3 2aB, 且aB a1,则解图 215a2a3 2a1又T1T1T2T2T2 T2则由，可得4m23m1ga g 1.96(ms2)13m14m254m2m1ga g 1.96(ms2)23m14m255m 4m23gg 5.88(ms2)a313m14m25（2）将 a3的值代入式，可得T28m1m2g 0.784N3m14m2T1 2T21.57N2-16桌面上有一质量M 1.50kg的板，板上

14、放一质量为m 2.45kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板解图 216从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？解：由牛顿第二定律得aMF f1 f2M如题图 2-16（c） ，以 m 为研究对象，N1, f1分别为 M 给 m 的支持力、摩擦力。则有f1amm又因为f1 f1N1N mg,则aM am可化为f2N2m MgF (M m)g mgmgMm解出Fmin 2(m M)g 19.4 （N）2-17已知一个倾斜度可以变化但底边长L 不变的斜面：（1）求石块从斜面顶端无初速地滑到底所需时间与斜面倾角 之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为；（2）若斜面

15、倾角为600和450时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数为多大？解： （1）石块其沿斜面向下的加速度为a 又mgsinamgcosa gsin a gcosams L1at2，则：cosa2t 2Lgcosa(sinacosa)解图 217（2）当60时t1当45时2L，gcos60(sin60cos60)2Lgcos45(sin45cos45)t2根据题意t1 t2解出 0.272-18，如题图 2-18 所示，用一穿过光滑桌面上小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m 与悬挂着的质点 M 连接起来，m 在桌面上作匀速率圆周运动，问m 在桌面上圆周运动的速率v 和圆周半径 r 满足什么关系时，才能使

16、M 静止不动？解：如题图 2-18，以 M 为研究对象,有Mg T 以 m 为研究对象，水平方向上，有题图 2-18v2T man mr又有T T由、可得v2Mgrm-12-19一质量为0.15kg 的棒球以v0 40ms的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与原来方向成1350角，大小为v 50ms。如果棒与球的接触时间为0.02s，求棒对球的平均打击力大小及方向。解：在初速度方向上，由动量定理有-1t mvcos135mv0F1V在和初速度垂直的方向上，由动量定理有F2Vt mvcos45平均打击力F F12 F22由带入数据得F 624NF与原方向成arctan F2 155

17、F12-20. 高空作业时系安全带是非常必要的。 假如一质量为 51.0kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来， 由于安全带的保护， 最终使他被悬挂起来。 已知此人竖直跌落的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。解解以人为研究对象，按分析中的两个阶段进行讨论。在自由落体过程中，人跌落2.0m 时的速度为v12gh要缓冲过程中，根据动量定理，有(mg F)t mv2mv1其中v2=0，解得F mg 2-21. 两质量均为 M 的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m 的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为M m/M。解

18、：任意 t 时刻，由系统的动量守恒有m 2gh1.14103NtMv1(M m)v2 0所以两冰车的末速度之比v1M mv2M2-22质量为m的物体，由水平面上点O 以初速度v0抛出，v0与水平面成仰角。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点 O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。解： （1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有0(mv0sin) I重得I重 mv0sin方向竖直向下。（2）由于上升和下落的时间相等， 物体从发射点落回至同一水平面的过程中， 重力的冲量I重 2mv0sin方向竖直向下。2-23一个质量为 50g 的小球以

19、速率20ms做平面匀速圆周运动，在1/4 周期内向心力给它的冲量是多大？解：由解图 2-23 可得向心力给物体的冲量大小1I 2mv11.41NS解图 2232-24自动步枪连续发射时，每分钟射出 120 发子弹，每发子弹的质量为 7.90g，出口速率735ms1，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。解：由题意知枪每秒射出2 发子弹，则由动量定理有2dtmv0 Fdt由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力F F 11.6N2-25. 如题图 2-25 所示， 已知绳能承受的最大拉力为9.8N， 小球的质量为 0.5kg， 绳长 0.3m，水平冲量 I 等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止） 。解

20、：由动量定理有mv0 I由牛顿第二定律有v2F mg ml由带入数据得题图 2-25I 0.857 kgms12-26. 质量为 M 的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为m，速度为v0的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求：（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。解： （1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有mv0 (m M)v所以木块的速度v 动量mv0mMMv M（2）子弹的动量mv0mMm2v0mv m M（3）对木块由动量定理得I Mv Mmv0m M2-27一件行李的质量为

21、m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为v，它与行李间的摩擦系数为，问：（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？解： （1）对行李由动量定理有mgt mv0得t vg（2）行李在这段时间内运动的距离，由mg ma，a g得1211 v22s at =gt 222g2-28体重为 P 的人拿着重为Q的物体跳远，起跳仰角为，初速度为v0，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：在最高点由系统动量守恒定律有(PQ)v0cos PvQ(vu)增加成绩s (vv0cos)由可得v0sings v sinQu0PQg2-29. 质量为m

22、的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0 这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来， 求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）解：设V 为船对岸的速度，u 为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒MV m(V u) 0即V muM m船走过的路程为mmL V dt udt lM mM m00狗离岸的距离为ttS S0(l L) S0MlM m2-30一物体在介质中按规律x ct2作直线运动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0=0 运动到 x=l 时，阻力所做的功。 （已知阻力系数为 k

23、）解由运动学方程x ct2，可得物体速度dxv 2ctdt物体所受阻力大小为F kv2 4kc2t2 4kcx阻力做的功为vvllW F dx 0Fdx 04kcxdx 2kcl22-31一辆卡车能沿着斜坡以15kmh的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切1tan 0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速率是多少？解：如解图 2-31 所示，由于斜坡角度很小所以有sin tg 0.02且阻力f 0.04G上坡时牵引力为F f Gsin 0.06G下坡时牵引力为F fGsin 0.02G解图 2-31由于上坡和下坡时功率相同，故P Fv Fv所以v 4

24、5kmh112.5ms12-32某物块重量为 P，用一与墙垂直的压力FN使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为，试计算物块沿题图 2-32 所示的不同路径：弦AB，劣弧 AB，折线 AOB 由 A 移动到 B 时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r。题图 2-32解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f N。（1）物块沿弦 AB 由 A 移动到 B 时，重力的功WG1 mgh Pr摩擦力的功Wf1 f AB 2Nr（2）物块沿圆弧 AB 由 A 移动到 B 时，重力的功WG2 mgh Pr摩擦力的功1Wf 2 f AB Nr22（3）物块沿折线 AOB 由 A 移动到 B 时，重力

25、的功WG3 mgh Pr。摩擦力的功Wf 3 f AOB 2Nr2-33求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需做的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为 5m。解：如解图 2-33 以地下室的 O 为原点，取 x 坐标轴向上为正，建立坐标轴。选一体积元dV Sdx，则其质量为2dm pdV pSdx。把dm从地下室中抽到街道上来所需做的功为dW g(6.5 x)dm故解图 2-33W dW 01.51.50pSg(6.5 x)dx 4.23106(J)2-34一人从10 m 深的井中提水起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高 1 m 要漏去 0

26、.2 kg 的水求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功解：选竖直向上为坐标 y 轴的正方向，井中水面处为坐标原点.由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量，即F mg 0.2gy 107.81.96y人的拉力所做的功为W dW H0Fdy100(107.81.96y)dy=980 (J)解图 2-352-35一质量为 m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上， 而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所做的功。解： 选一线元dx，则其质量为mdx。l铁链滑离桌面边缘过程中，OA段的重力做的功为dm 11W1dW g( l x)dm mgl28OB 段的重力的功为1l

27、201l20W2故总功111mgl mgl2243W W1W2mgl8rv2-36一辆小汽车，以v vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，rr2F Av i，A 为常量，且A 0.6Ns2m2。（1）如小汽车以80kmh的恒定速率行驶 1km，求空气阻力所做的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？解： （1）小汽车的速率为12v 80km h1102ms19空气阻力为28000F Av2 0.6( 102)2 (N)927则空气阻力所做的功rr8000W F r 1000( J) =296(kJ)27（2）功率为(2)P Fv 8000200 6584(W)2792-37

28、一沿 x 轴正方向的力作用在一质量为3.0kg 的质点上。已知质点的运动方程为x 3t 4t2t3，这里x以 m 为单位，时间t以 s 为单位。试求：（1）力在最初4.0s内做的功；（2）在t=1s时，力的瞬时功率。解：(1)v(t) 则dx 38t 3t2dtv(4) 19ms1, v(0) 3ms1由功能原理，得W Ek(2)a(t) 1mv(4)2v(0)2 528(J)2dv 6t 8dtF ma 3.0(68) 6.0(N)v(1) 383 2(ms1)t 1s时则瞬时功率P Fv 12W2-38质量为 m 的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，

29、并以速度v0向右运动， 弹簧的劲度系数为k， 物体与支承面间的滑动摩擦系数为，求物体能达到的最远距离。解：设物体能达到的最远距离为x(x 0)根据机械能守恒定律，有mvv01212mv0kx mgx22即2mv02mgx x 0kk2解图 2-38解得x mgkv02 1221kmg2-39. 质量为 3.0kg 的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g 的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm 后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有Mv0 (M m)v一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有1

30、(M m)v2(M m)gl2由带入数据有v0 600(m s1)2-40. 光滑水平平面上有两个物体A 和 B，质量分别为mA、mB。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以vA、vB的速度做惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为：解：由系统的动量守恒有EkAmB。EkBmAmAvAmBvB 0所以vAmBvBmA物体的动能之比为2EkA(1/ 2)mAvAmB2EkB(1/ 2)mBvBmA2-41如题图 2-41 所示，一个固定的光滑斜面，倾角为 ，有一个质量为 m 小物体，从高 H 处沿斜面自由下滑，滑到斜面底 C 点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设

31、 m 所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m 到达 C 点瞬间的速度；（2）m 离开 C 点的速度；（3）m 在 C 点的动量损失。解： （1）由机械能守恒有题图 241mgH 带入数据得12mvc2vc2gH方向沿 AC 方向（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以mvccos mv，得v 2gH cos方向沿 CD 方向。（3）由于受到竖直的冲力作用，m 在 C 点损失的动量p m 2gH sin方向竖直向下。2-42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的

32、速度相同。)解：设铁钉进入木板内x时，木板对铁钉的阻力为f kx由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故kxdx 01x1kxdx解得x 2cm所以，第二次时能击入( 2 1)cm深。2-43从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为 r 的圆轨道上运转？解： 设卫星在距地心半径为r 的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为 M, 半径为Re,卫星质量为 m.根据机械能守恒，有1GMm1GMm2mv0mv22Re2r又由卫星圆周运动的向心力为GMmmv2FN2rr卫星在地面附近的万有引力即其重力，故GMm mg2Re联立以上三式，得1 Rev02gRe12 r2-44

33、一轻弹簧的劲度系数为k 100Nm，用手推一质量1m 0.1kg的物体 A 把弹簧压缩到离平衡位置为x1 0.02m处， 如题图2-44所示。 放手后， 物体沿水平面移动距离x2 0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热） 。根据能量关系，有题图 2-4412kx1mgx22所以 0.22-45一质量m 0.8kg的物体 A，自h 2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩x0 0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。解：如解图2-45 所示，设弹簧下压0.1m时

34、物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。当弹簧从原长向下压缩x0 0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即mg(h x0) 当弹簧下压x 0.1m时，12kx02121kx mg(x0 x) mv222解图 2-45mg(h x0) 所以v 3.1g=5.5(ms1)2-46长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m 的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为 d 处有一钉子。 小球从水平位置无初速释放， 欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证 d 至少为0.6l。证：如解图2-46 所示，小球运动过程中机械能守恒，选择小球

35、最低位置为重力势能的零点。设小球在 A 处时速度为v，则1mgl 2mg(l d)mv22又小球在 A 处时向心力为mv2FN mg l d其中，绳张力为零时等号成立。联立以上两式，解得d 0.6l解图 2-462-47弹簧下面悬挂着质量分别为m1、m2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把m1与m2的连线剪断后，m1的最大速率是多少？设弹簧的劲解图 2-471度系数k 8.9Nm，而m1 500g,m2 300g。解： 如解图 2-47 所示， 设连线剪断前时弹簧的伸长为x， 取此位置为重力势能的零点。m1系统达到平衡位置时弹簧的伸长为x,根据胡克定律，有kx (m1m2)gkx M1

36、g系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得12121kx kx m1g(x x)m1v2222联立两式，解之v 1.4ms12-482-48质量 m1= 2.010kg 的子弹，击中质量为 m2=10 kg 的冲击摆，使摆在竖直方向?2升高 h= 710 m，子弹嵌入其中，问：(1)子弹的初速度v0是多少？(2)击中后的瞬间，系统的动能为子弹初动能的多少倍？解解(1) 动量守恒m1v0 (m1m2)v子弹和冲击摆一起上升 h 高过程机械能守恒由上两式可解得?21(m1m2)v2 (m1m2)gh2m1m2m12gh 587 (ms1)v0(2) 子弹的初动能E011 (m1m2)

37、2v22m1v022m1击中后的瞬间，系统的动能1E (m1+m2)v222-492-49一劲度系数为k 的轻质弹簧， 一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA的物体 A，放在光滑水平面上。当把弹簧压缩 x0后，再紧靠着 A 放一质量为 mB的物体 B，如题图 2-49 所示。 开始时， 由于外力的作用系统处于静止，题图 2-49若除去外力， 试求 B 与 A 离开时 B 运动的速度和 A 能到达的最大距离。解解选弹簧处于自然长度时，物体 A 的位置为坐标原点 O，向右为 x 轴正方向。系统的机械能守恒，且 A、B 离开时恰好是 A 处于原点处，因此此时 B 的速度121kx0(mAmB)v22

38、2v kx0mAmB分离后，物体 A 继续向右运动 A 和弹簧组成系统机械能守恒，且 A 达到最大距离时其速度为零。112mAv2kxm22解得xm112-50地球质量为6.010 kg，地球与太阳相距1.510 m，视地球为质点，它绕太阳24mAx0mAmB做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。解：2r21.510111124L rmv rm1.510 6.010 2.681040(kgm2s1)T3652460602-51我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近 439km，远地点高度d远 2384km，地球半径R地 6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。解：角动量守恒(d

39、近 R地)mv近 (d远 R地)mv远所以v近d远+R地1.28v远d近+R地rrr2F (3t 4t)i (12t 6) j中运动，式中 t 为时间，2-52一个具有单位质量的质点在力场设该质点在t 0时位于原点，且速度为零，求t 2s 时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。解：对质点由牛顿第二律得vvdv又因为a 所以dtF ma得vv0rrtvtr2dv adt (3t 4t)i (12t 6) jdt00rrv322v (t 2t )i (6t 6t) jrvdr同样由v 得dtr1423rr32r ( t t )i (2t 3t ) j43rrrrM r F 40k(N

40、m)rrrvL r mv 16k(kg m2s1)所以 t=2 时rrv2-53. 一质量为 m 的粒子位于（x, y）处，速度为v vxi vyj，并受到一个沿 x 方向的力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。解：角动量rrrrrrrvL r mv (xi yj)m(vxi vyj) m(xvy yvx)k力矩rrrrrrrM r f (xi yj) f i yf k2-54电子的质量为9.110已知电子的角动量为解：由角动量定义L r m得231kg，在半径为5.31011m的圆周上绕氢核作匀速率运动。h34（h 为普朗克常量,h 6.6310Js)，求其角速度。2L 4.1

41、31016rads12mr2-55 在光滑的水平桌面上， 用一根长为l的绳子把一质量为 m 的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O 最接近的距离为 b，当此质点与 O 的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。并回答能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对 O 的角动量如何变化？解： （1）当质点做圆周运动时，质点角动量守恒mv0b mvl可得其速度v v0所以最终动能与初始动能之比bl1bm(v0)22Ekbl12212Ek0l

42、mv02其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转化为分子内能.（2）绳子断后，质点将按速度v v0动量b沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0 点的角lJ mv0b 恒量。2-56A、B 两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以4ms的速率在相距 1.5m 的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心做圆周运动，如题图 2-56 所示，将此二人作为一个系统，求：（1）该系统的总动量和总角动量；（2）开始作圆周运动时的角速度解： （1）系统的总动量1rvvP m1v1m2v20总角动量题图 2-56L r1m1v1r2m2v2 420kg m2s1（2）作圆周运动时的角速度v4 5.33 (rads1)r1.5/ 22-57 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其他星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？答：人造卫星的动量不守恒， 因为它总是受到外力地球引力的作用人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。