线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题和解析、高考题练习和答案.pdf

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1、.直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识梳理】【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、 直线与平面垂直1定义：如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面 互相垂直， 记作l，直线l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。2判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

2、，记作.3性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即a ,b a / /b.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。2、 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面， 该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，那么此直线与平面所成的角是0的角。3、 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l，那么两个面分别为、的二面角记作l .在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线， 那么两射线所构成

3、的角叫做叫做二面角的平面角。 其作用是衡量二面角的大小；范围：0 180.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。简述为线面垂直，那么面面垂直，记作000a / /bb a l .l -优选. l3、性质：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作 m .m m l【经典例题】【经典例题】【例 1】 20122012 浙江文浙江文设l是直线,a, 是两个不同的平面A假设la,l,那么 aC假设 a,la,那么l【答案】B【解析】利用排除法可

4、得选项 B 是正确的,la,l,那么 a.如选项 A:la,l 时, a 或 a;选项 C:假设a,la,l 或l ;选项 D:假设假设 a,la,l 或l.【例 2】 20122012 四川文四川文以下命题正确的选项是A假设两条直线和同一个平面所成的角相等,那么这两条直线平行B假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行C假设一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线平行D假设两个平面都垂直于第三个平面,那么这两个平面平行【答案】C【解析】假设两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直

5、线的三点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行,故B 错;假设两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;应选项 C 正确.【例 3】 20122012 山东山东 直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：一条直线；一个平面；一个点；空集其中正确的选项是ABCD【答案】C【解析】如图 1，当直线m或直线n在平面内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到平面的距离相等且所在平面与平面垂直，那么平面为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与平面平行，那么符合题意的点为一条直线，从而选C.【例 4】 20122012 四川理四川理

6、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.【答案】90【解析】方法一:连接 D1M,易得 DNA1D1,DND1M,所以,DN平面 A1MD1,-优选B假设la,l,那么 aD假设 a,la,那么lD D1 1A A1 1D DA AB B1 1C C1 1N NC CB BMM.又 A1M平面 A1MD1,所以,DNA1D1,故夹角为 90方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体边长为 2,那么D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1

7、,0)A1(2,0,2)故,DN （0,2,1 ），MA（2，1,2）1MA1 所以,cosDN，DN MA1= 0,故 DND1M,所以夹角为 90|DN|MA1|【例 5】 20122012 大纲理大纲理三棱柱ABC A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1 CAA1 60,那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有AB1 AB AA1,BC1 AC AA1 AB,那么| AB1| (AB AA1) AB 2ABAA1 AA1 22cos60 3而AB1BC1 (AB AA1)(AC AA1 AB)【例 6】 20112011如

8、图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，假设EF平面AB1C，那么线段EF的长度等于_【答案】2【解析】EF面AB1C，EFAC.又E是AD的中点，F是DC的中点1EFAC2.2【例 7】 20122012 年山东文年山东文如图,几何体E ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CBCD,EC BD.1求证:BE DE;2假设BCD 120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.【解析】 1设BD中点为O,连接OC,OE,那么由BC CD知CO BD,又CE BD,所以BD 平面OCE.所以BD OE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE DE.2取AB中点

9、N,连接MN,DN,M是AE的中点,MNBE,ABD是等边三角形,DN AB.由BCD=120知,CBD=30,所以ABC=60+30=90,即BC AB,所以NDBC,所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,故DM平面BEC.另证:延长AD,BC相交于点F,连接 EF.因为 CB=CD,ABC 90.00因为ABD为正三角形,所以BAD 60 ,ABC 90,那么AFB 30,222200-优选.所以AB1AF,又AB AD,2所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM,又由点 M 是线段 AE 的中点知DM /EF,而DM 平面BEC,EF 平面BEC,故DM平面BEC.【例 8】 2

10、0112011 天津天津如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点1证明：PB平面ACM；2证明：AD平面PAC；3求直线AM与平面ABCD所成角的正切值【解析】 1证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO 平面ACM，所以PB平面ACM.2 证明：因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD 平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.13 取DO中

11、点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPOPO平面ABCD，得MN215平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在RtDAO中，AD1，AO ，所以DO，2215从而ANDO.在 RtANM中，24tanMANMN14545，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.AN5554【例 9】 20122012 湖南文湖南文如图，在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,ADBC,ACBD.1证明:BDPC;2假设 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30,求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】

12、1因为PA平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA BD.又AC BD,PA, AC是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD平面 PAC,而PC 平面 PAC,所以BD PC.2设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由()知,BD平面 PAC,所以DPO是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而DPO 30.由 BD平面 PAC,PO平面 PAC,知BD PO.在Rt POD中,由DPO 30,得 PD=2OD.因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AC BD,所以AOD,BOC均为等腰直角三角形,-优选.从而梯形 ABCD 的高为111ADBC (42) 3,于是梯形 ABCD

13、面积2222, AD 2 2,2在等腰三角形 AOD 中,OD 所以PD 2OD 4 2, PAPD2 AD2 4.11SPA 94 12.33故四棱锥P ABCD的体积为V 【例 10】 20122012 新课标理新课标理如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,AC BC 1证明:DC1 BC2求二面角A1 BD C1的大小.【解析】 1在RtDAC中,AD AC得:ADC45同理:A1DC1 45 CDC1 901AA1,D是棱AA1的中点,DC1 BD2得:DC1 DC,DC1 BD DC1面BCD DC1 BC2DC1 BC,CC1 BC BC 面ACC1A1 BC AC取A1B1的中点

14、O,过点O作OH BD于点H,连接C1O,C1HAC11 B1C1 C1O A1B1,面A1B1C1面A1BD C1O 面A1BDOH BD C1H BD得:点H与点D重合且C1DO是二面角A1 BD C1的平面角设AC a,那么C1O 2a,C1D 2a 2C1OC1DO 302既二面角A1 BD C1的大小为30【课堂练习】【课堂练习】1 20122012 浙江理浙江理矩形ABCD,AB=1,BC=2.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进展翻着，在翻着过程中-优选.A存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂

15、直D对任意位置,三直线AC与BD,AB与CD,AD与BC均不垂直2 20122012 四川理四川理以下命题正确的选项是A假设两条直线和同一个平面所成的角相等,那么这两条直线平行B假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行C假设一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线平行D假设两个平面都垂直于第三个平面,那么这两个平面平行320112011 重庆重庆到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A只有 1 个B恰有 3 个C恰有 4 个D有无穷多个4 20122012 上海上海空间三条直线l，m，n假设l与m异面,且l与n异面,那么Am与n异面.Bm与n相交.C

16、m与n平行.Dm与n异面、相交、平行均有可能.5 20112011烟台烟台m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有以下四个命题：假设m，n，mn，那么；假设m，n，mn，那么；假设m，n，mn，那么；假设m，n，那么mn.其中正确命题的个数为()A1B2C3D4620112011 潍坊潍坊m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是()A假设，那么B假设mn，m，n，那么C假设mn，m，那么nD假设n，n，那么7.20102010 全国卷文全国卷文直三棱柱ABC A1B1C1中，假设BAC 90，AB AC AA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于A30B45

17、C60D908.20102010 全国卷全国卷正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为A2236BCD33339.20102010 全国卷理全国卷理正四棱锥S ABCD中，SA 2 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A1B3C2D310.20102010 全国卷全国卷在半径为 2 的球面上有 ABCD 四点，假设 AB=CD=2，那么四面体 ABCD 的体积的最大值为-优选.A2 34 38 3BC2 3D33311.20102010 江西理江西理过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样

18、的直线 L 可以作A1 条B2 条C3 条D4 条12. 20122012 大纲大纲 正方形ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_.13.20102010 上海文上海文四棱椎P ABCD的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA 底面ABCD，且PA8，那么该四棱椎的体积是.14.20102010 四川卷四川卷如图，二面角l 的大小是 60，线段AB.BABl，AB与l所成的角为 30.那么AB与平面所成的角的正弦值是.15.江西卷文江西卷文长方体ABCD A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB AA11，BC 2，那么A，

19、B两点间的球面距离为A1D116. 20102010 湖南理湖南理 如下列图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点。B1C1E1求直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值；2在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F/平面 A1BE？证明你的结论。AD17.20122012四四川川文文如图,在三棱锥P ABC中,APB 90,PAB 60,AB BC CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.1求直线PC与平面ABC所成的角的大小;2求二面角B APC的大小.BP PCC C18.20122012 陕西文陕西文直三棱柱 ABC- A1B1C1中,AB=A

20、A1,CAB=21证明CB1 BA1;2AB=2,BC=5,求三棱锥C1 ABA1的体积.A AB B119.20122012 课标文课标文如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=2AA1,D 是棱 AA1的中点.1证明:平面BDC1平面BDC12平面BDC1分此棱柱为两局部,求这两局部体积的比.-优选.20. 20122012 福建文福建文 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB AD 1,AA1 2,M为棱DD1上的一点.1求三棱锥A MCC1的体积;2当A1M MC取得最小值时,求证:B1M 平面MAC.【课后作业】【课后作业】1.20122

21、012 大纲全国大纲全国正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB 2,CC1 2 2,E为CC1的中点，那么直线AC1与平面BED的距离为A2B.3C.22.20102010 湖北文湖北文用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出以下命题：假设ab，bc，那么ac；假设ab，bc，那么ac；假设ay，by，那么ab；假设ay，by，那么ab.其中正确的选项是ABCD320112011 日照日照假设l、m、n为直线，、为平面，那么以下命题中为真命题的是()A假设m，m，那么B假设m，n，那么mnC假设，那么D假设，l，那么l420112011 山东山东正方体ABCDA1B1C1D1中，E

22、、F分别是AA1、AB的中点，那么EF与对角面BDD1B1所成角的度数是()A30B45C60D1505.20102010 全国卷全国卷三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A3357BCD44446.20102010 重庆卷理重庆卷理到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A直线B椭圆C抛物线D双曲线7.20092009 四川四川如图，六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA 平面ABC,PA 2AB那么以下结论正确的选项是A.PB AD-优选.B

23、.平面PAB 平面PBCC. 直线BC平面PAED. 直线PD与平面ABC所成的角为 458.20082008 海南宁夏海南宁夏平面 平面 ，=l，点 A，Al，直线 ABl，直线ACl，直线m，m，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是A. ABmB. ACmC. ABD. AC9.20072007 江苏江苏两条直线m,n，两个平面,，给出下面四个命题：m/n,m n /,m ,n m/nm/n,m/ n/,m/n,m n 其中正确命题的序号是ABCD10. 20112011 全全 国国 直 二 面 角l ， 点A, AC l,C 为 垂 足 ，B,BD l,D为 垂 足 ， 假 设AB 2

24、,AC BD 1，那么 D 到平面 ABC 的距离等于 A362B.C.D. 133311.20092009 浙江浙江设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的选项是A假设l ,，那么l B假设l / /,/ /，那么l C假设l ,/ /，那么l D假设l / /,，那么l 12.20102010 上海上海各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V=_。13下面给出四个命题：假设平面平面，AB，CD是夹在，间的线段，假设ABCD，那么ABCD；a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c一定是异面直线过空间任一点，可以做两条直线和平面垂直；平面平面，P，PQ，那么PQ；其中正确的命题是_(

25、只填命题号) .14.20092009 江苏江苏设和为不重合的两个平面，给出以下命题：1假设内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，那么平行于；2假设外一条直线l与内的一条直线平行，那么l和平行；3设和相交于直线l，假设内有一条直线垂直于l，那么和垂直；4直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号写出所有真命题的序号. w.15，是三个不同的平面，命题，且是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个16 20122012 重庆文重庆文直三棱柱ABC A1B1C1中,AB 4,AC BC 3,D为AB的中点.1求异面直

26、线CC1和AB的距离;-优选.2假设AB1 A1C,求二面角A1CD B1的平面角的余弦值.17. 20092009山东山东 如图， 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面ABCD为等腰梯形， AB/CD， AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱 AD、AA1的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE1/平面 FCC1；（2）证明:平面 D1AC平面 BB1C1C.E1EDAF1DCBC18 20082008 山东山东如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，ABDC，是等边三角形，APADBFPB

27、D 2AD8，AB 2DC 4 5设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD；求四棱锥P ABCD的体积AMDCB1920112011 北京北京如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点1求证：DE平面BCP；2求证：四边形DEFG为矩形；3是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由20 20122012 天津理天津理如图,在四棱锥P ABCD中,PA丄平面ABCD,AC丄AD,AB丄BC,ABC=45,0PA=AD=2,AC=1.1证明PC丄AD;2求二面角APC D的正弦值;3设 E 为棱PA上的点,满足异面

28、直线 BE 与 CD 所成的角为30,求 AE 的长.0PBAC【参考答案】【参考答案】【课堂练习】1-11、BCDDBDCDABD12、9013、9614、D343216、,存在315、-优选.17、18、39,arctan2132319、(1)设知 BCCC1,BCAC,CC1 AC C,BC 面ACC1A1,又DC1面ACC1A1,DC1 BC,0由题设知A1DC1 ADC 45,CDC1=900,即DC1 DC,又DCBC C,DC1面BDC,DC1面BDC1,面BDC面BDC1;(2)1:120、(1)13(2) 将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转动 90展开,与侧面ADD1A1A1

29、,M,C 共线时,A1M+MC取得最小值AD=CD=1 ,AA1=2得M为DD1的中点连接MC1在MCC1中,MC1=MC=2,CC1=2,CC1=MC1+MC2, CMC1=90,CMMC1,B1C1平面CDD1C1,B1C1CMAMMC=CCM平面B1C1M,同理可证B1MAMB1M平面 MAC【课后作业】1-11、DCBADDDDCCC12、222613、14、(1)(2)15、216、5,13D1A1C1B1DEF17、 1在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1，连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CDA1F1为

30、平行四边形，所以 CF1/A1D，又因为 E、E1分别是棱 AD、AA1的中点，所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为EE1平面 FCC1，CF1平面 FCC1，-优选E1ACB.所以直线 EE1/平面 FCC1.2连接 AC,在直棱柱中，CC1平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形，BCF 60,ACF 为等腰三角形，且ACF 30所以 ACBC,又因为 BC 与 CC1都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而AC

31、 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面 BB1C1C.18、 1在ABD中，由于AD 4，BD 8，AB 4 5，所以AD2 BD2 AB2故AD BD又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD，BD 平面ABCD，所以BD 平面PAD，又BD 平面MBD，故平面MBD 平面PAD2VPABCD1242 3 16 3319、1证明：因为D，E分别为AP、AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.2证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF，来源:学+科+网 Z+X+X+K所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形3存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点1由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG，2分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.1与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG.2所以Q为满足条件的点-优选.20、 1以AD, AC, AP为x, y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz那么D(2,0,0), C(0,1,0),B(,0), P(0,0,2)1 12 2306AE 1010-优选23